《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案.pdf
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1、复变函数与积分变换 期末考试试卷 A及答案 共 6 页第页2 ?复变函数与积分变换?期末试题( A)答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题( A) 一填空题(每小题3 分,共计 15 分) 1 2 31i 的 幅 角 是 (2, 1,0,2 3 kk) ; 2. )1(iLn 的 主 值 是 (i 4 3 2ln 2 1 );3. 2 1 1 )( z zf ,)0( )5( f( 0 ) ; 40z是 4 sin z zz 的 (一级)极点;5 z zf 1 )(, ),(Rezfs (-1) ; 二选择题(每小题3 分,共计 15 分) 1解析函数),(),()(yxivyxuzf
2、的导函数为( B ) ; (A) yx iuuzf)(; (B) yx iuuzf)( ; (C) yx ivuzf)( ; (D) xy ivuzf)( . 2C是正向圆周3z,如果函数)(zf( D ) ,则0d)( C zzf (A) 2 3 z ;(B) 2 )1(3 z z ; (C ) 2 )2( )1(3 z z ; (D ) 2 )2( 3 z . 3如果级数 1n n nz c 在2z点收敛,则级数在( C ) (A)2z点条件收敛;(B)iz2点绝对收敛; (C )iz1点绝对收敛;(D )iz21点一定发散 下列结论正确的是 ( B ) (A)如果函数)(zf在 0 z点
3、可导,则)(zf在 0 z点一定解析; 共 6 页第页3 (B) 如果)(zf在 C所围成的区域内解析, 则0)( C dzzf (C )如果0)( C dzzf,则函数)(zf在 C所围成的区域内一定解析; (D)函数 ),(),()(yxivyxuzf 在区域内解析的充分必要条件是 ),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是( D ) (A) 的可去奇点;为 z 1 sin (B) 的本性奇点;为zsin (C) ; 1 sin 1 的孤立奇点为 z (D) . sin 1 的孤立奇点为 z 三按要求完成下列各题(每小题10 分,共计 40 分) (1) 设)(
4、)( 2222 ydxycxibyaxyxzf 是解析函数,求 .,dcba (2) 计算 C z z zz e d )1( 2 其中 C是正向圆周:2z; (3)计算 3 3422 15 d )2()1 ( z z zz z (4)函数 3 232 )(sin )3()2)(1( )( z zzzz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇 点?,如果有极点,请指出它的级. 四、 (本题 14 分)将函数 )1( 1 )( 2 zz zf在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110z, (2)10z, (3)z1 五 (本题 10 分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题 1)0()0( )
5、(4)(5)( yy exyxyxy x 共 6 页第页4 六、 (本题 6 分)求 )()(0 t etf的傅立叶变换,并由此证明: t ed t 2 0 22 cos 三按要求完成下列各题(每小题10 分,共 40 分) ( 1 ) 设)()( 2222 ydxycxibyaxyxzf 是 解 析 函 数 , 求 .,dcba 解:因为)(zf解析,由 C-R条件 y v x u x v y u ydxayx22,22dycxbyax ,2,2 da ,,2,2dbca, 1, 1 bc 给出 C-R条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。 (2) 计算 C z z zz e
6、d )1( 2 其中 C是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计 算,仅给出用前者计算过程 因为函数 zz e zf z 2 ) 1( )(在复平面内只有两个奇点1, 0 21 zz,分别以 21,z z 为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 21,c c 且 位 于c内 21 d ) 1( d ) 1( d ) 1( 2 2 2 C z C z C z z z z e z z z e z zz e i z e i z e i z z z z 2 )1( 2)(2 0 2 1 无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他 酌情给分。
7、共 6 页第页5 (3) 3 3422 15 d )2()1 ( z z zz z 解:设 )(zf在有限复平面内所有奇点均在:3z内,由留数定理 ),(Re2d )2()1( 3 3422 15 zfsiz zz z z -(5 分) 1 ) 1 (Re2 2 zz fsi -(8 分) 2 342 2 15 2 1 ) 1 (2() 1 1( ) 1 ( 1 ) 1 ( z zz z zz f 0,z )12()1 ( 11 ) 1 ( 34222 有唯一的孤立奇点 zzzzz f 1 )12()1( 11 ) 1 (0 , 1 ) 1 (Re 3422 0 2 0 2 limlim zz
8、zz zf zz fs zz 3 3422 15 2d )2()1( z iz zz z -(10 分) (4)函数 2 3 32 ) 3( )(sin )2)(1( )(z z zzz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇 点?,如果有极点,请指出它的级. 解: ,的奇点为,3,2, 1,0, )(sin )3()2)(1( )( 3 232 kkz z zzzz zf (1)的三级零点,)为(03210 3 zkkzsin, (2) 的可去奇点,是的二级极点,为,)()(,zfzzfzz210 (3) 的一级极点,为)(3zfz (4)的三级极点;,为)(4,3,2zfz (5)的非孤立奇点
9、。为)(zf 备注:给出全部奇点给5 分 ,其他酌情给分。 四、 (本题 14 分)将函数 )1( 1 )( 2 zz zf在以下区域内展开成罗朗级数; 共 6 页第页6 (1) 110z, (2)10z, (3)z1 解: (1)当 110z )11( 1 )1( 1 )1( 1 )( 2 zzzz zf 而 )1() 1( )11( 1 0n nn z z 0 1 )1() 1( n nn zn 0 21 ) 1()1()( n nn znzf -6分 (2)当10z )1( 1 ) 1( 1 )( 22 zzzz zf = 0 2 1 n n z z 0 2 n n z -10分 (3)
10、当 z1 ) 1 1( 1 )1( 1 )( 3 2 z z zz zf 0 3 0 3 1 ) 1 ( 1 )( n n n n zzz zf -14分 每步可以酌情给分。 五 (本题 10 分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题: 1)0(1)0( )(4)(5)( yy exyxyxy x 解:对 )(xy的Laplace变换记做)(sL,依据Laplace变换性质有 1 1 )(4)1)(51)( 2 s sLssLssLs(5 分) 共 6 页第页7 整理得 )4(15 1 ) 1(6 5 )1(10 1 1 1 )4(15 1 )1(6 1 )1(10 1 1 1 )4)
11、(1)(1( 1 )( sss ssss ssss sL ( 7 分) xxx eeexy 4 15 1 6 5 10 1 )( (10 分) 六、 (6 分)求)()(0 t etf的傅立叶变换,并由此证明: t ed t 2 0 22 cos 解:)()(0dteeF tti -3分 )()(0 0 0 dteedteeF ttitti )( )()( 0 0 0 dtedte titi )( )()( 0 0 0 i e i e titi )()(0 211 22 ii F -4分 )()()(0 2 1 dFetf ti - -5分 )(0 2 2 1 22 de ti )()sin(
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