中考数学压轴试题复习专题四因动点产生的平行四边形问题.pdf
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1、因动点产生的平行四边形问题 课前导学 我们先思考三个问题: 1已知 A、B、 C 三点,以 A、B、C、D 为顶点的平行四边形有几个,怎么画? 2在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD 的对边 AB 与 DC 平行且相等? 3在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD 的对角线互相平分? 图 1 图 2 图 3 如图 1,过 ABC 的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D 如图 2,已知 A(0, 3),B(2, 0),C(3, 1),如果四边形ABCD 是平行四边形,怎样求点 D 的坐标呢? 点 B 先向右平移2 个单位, 再向上平移3 个单位与点A 重合,因为 BA 与
2、CD 平行且相 等,所以点C(3, 1) 先向右平移2 个单位,再向上平移3 个单位得到点D(5, 4) 如图 3,如果平行四边形ABCD 的对角线交于点G,那么过点G 画任意一条直线(一 般与坐标轴垂直) ,点 A、C 到这条直线的距离相等,点B、D 到这条直线的距离相等 关系式 xAxCxBxD和 yA yCyByD有时候用起来很方便 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合 如图 4,点 A 是抛物线y x22x3 在 x 轴上方的一个动点,ABx 轴于点 B,线段 AB 交直线 yx1 于点 C,那么 点 A 的坐标可以表示为(x,x22x3), 点 C 的坐标可以表示为(x, x1),
3、 线段 AB 的长可以用点A 的纵坐标表示为 AByA x 22x3, 线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标 图 4 表示为 ACyAyC(x 22x3)(x1) x2x2 通俗地说, 数形结合就是:点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐 标表示点到坐标轴的距离 例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24 题 如图 1,抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、 C 10 (0,) 3 三点设点E(x, y)是抛物线上一动点, 且在 x 轴下方,四边形OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形 (1)求抛物线的解析式; (2)当点 E(x, y)运动时,试求平行四边形OEBF 的
4、面积 S与 x 之间的函数关系式,并求出面积S的最大 值; (3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF 为正方形?若存在,求点E、F 的坐标;若不存在,请 说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 岳阳 24” ,拖动点E 运动,可以体验到,当点E 运动到抛 物线的顶点时, S最大当点 E 运动到 OB 的垂直平分线上时,四边形 OEBF 恰好是正方形 思路点拨 1平行四边形OEBF 的面积等于 OEB 面积的 2 倍 2第(3)题探究正方形OEBF,先确定点E 在 OB 的垂直平分线上,再验证EOEB 图文解析 (1)因为抛物线与x 轴交于 A(1, 0)、B(5, 0)两
5、点,设ya(x1)(x5) 代入点 C 10 (0,) 3 ,得 10 5 3 a解得 2 3 a 所以抛物线的解析式为 2 2210 (1)(5)4 333 yxxxx (2)因为 SS平行四边形 OEBF2SOBEOB (yE) 2210 5(4) 33 xx 210 (65) 3 xx 21040 (3) 33 x 所以当 x3 时, S取得最大值,最大值为 40 3 此时点 E 是抛物线的顶点(如图2) (3)如果平行四边形OEBF 是正方形,那么点E 在 OB 的垂直平分线上,且EOEB 当 x 5 2 时, 22355 (1)(5)() 33222 yxx此时 E 55 (,) 2
6、2 如图 3,设 EF 与 OB 交于点 D,恰好 OB2DE 所以 OEB 是等腰直角三角形所以平行四边形OEBF 是正方形 所以当平行四边形OEBF 是正方形时,E 55 (,) 22 、F 5 5 (,) 2 2 图 2 图 3 考点伸展 既然第( 3)题正方形OEBF 是存在的,命题人为什么不让探究矩形OEBF 有几个呢? 如图 4,如果平行四边形OEBF 为矩形,那么OEB90 根据 EH 2HO HB,列方程 2 2 (1)(5)(5) 3 xxxx 或者由 DE 1 2 OB 5 2 ,根据 DE 225 4 ,列方程 2 25225 ()(1)(5) 234 xxx 这两个方程
7、整理以后都是一元三次方程4x328x253x200,这个方程对于初中毕 业的水平是不好解的 事实上,这个方程可以因式分解, 51 (4)()()0 22 xxx 如图 3,x 5 2 ;如图 4,x4;如图 5,x 1 2 ,但此时点E 在 x 轴上方了 这个方程我们也可以用待定系数法解: 设方程的三个根是 5 2 、m、n,那么 4x 328x253x205 4()()() 2 xxm xn 根据恒等式对应项的系数相等,得方程组 441028, 1010453, 1020. mn mnmn mn 解得 4, 1 . 2 m n 图 4 图 5 例 25 2014年湖南省益阳市中考第20 题
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