全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第10讲整式的乘法与除法.pdf
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1、全国初中数学竞赛辅导 ( 八年级 ) 教学案全集 第十讲 整式的乘法与除法 中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的,因而保留着许多 数的特征, 研究的内容与方法也很类似 例如,整式的四则运算就可以在 许多方面与数的四则运算相类比; 也像数的运算在算术中占有重要的地位 一样,整式的运算也是代数中最基础的部分,它在化简、求值、恒等变形、 解方程等问题中有着广泛的应用通过整式的运算, 同学们还可以在准确 地理解整式的有关概念和法则的基础上,进一步提高自己的运算能力 为 此,本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法 整式是多项式和单项式的总称 整式的乘除主要是多项式的乘除下 面先复习一下整式计算的常用
2、公式,然后进行例题分析 正整数指数幂的运算法则: (1)a M a n=aM+n ; (2)(ab) n=anbn; (3)(a M ) n=aMn ; (4)a M a n=aM-n(a 0,m n); 常用的乘法公式: (1)(a+b)(a+b)=a 2-b2; (2)(a b) 2=a22ab+b2; (4)(d b) 3=a33a2b+3ab2b3; (5)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 例 1 求x 3-(x -1)2(x -1)展开后, x2项的系数 解 x 3-(x -1)2(x -1)=x3(x -1) -(x -1)3因为 x2项只在 -(x -
3、1)3 中出现,所 以只要看 -(x -1) 3=(1-x)3 中 x 2 项的系数即可根据乘法公式有 (1 -x) 3=1-3x+3x2-x3, 所以 x 2 项的系数为 3 说明 应用乘法公式的关键,是要理解公式中字母的广泛含义,对公 式中的项数、次数、符号、系数,不要混淆,要达到正确、熟练、灵活运 用的程度,这样会给解题带来极大便利 (x -2)(x 2-2x+4)-x(x+3)(x -3)+(2x -1)2 解 原式=(x 3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1) =(x 3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1) =13x-7=9-
4、7=2 说明 注意本例中 (x -2)(x 2-2x+4)x3-8 例 3 化简(1+x)1 -x+x 2-x3+(-x)n-1 ,其中 n 为大于 1 的整数 解 原式=1-x+x 2-x3+(-x)n-1 +x-x 2+x3+-( -x)n-1 +(-x) n =1+( -x) n 说明 本例可推广为一个一般的形式: (a-b)(a n-1 +a n-2b+abn-2 +b n-1 )=a n-bn 例 4 计算 (1)(a -b+c-d)(c -a-d-b); (2)(x+2y)(x-2y)(x 4-8x2y2+16y4) 分析与解 (1) 这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数,所以
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