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1、八年级数学培优讲义 1 第十九章四边形 测试 1 平行四边形的性质 (一) 学习要求 1理解平行四边形的概念,掌握平行四边形的性质定理; 2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算,并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题 课堂学习检测 一、填空题 1两组对边分别_的四边形叫做平行四边形它用符号“”表示,平行四边形ABCD 记作 _。 2平行四边形的两组对边分别_且 _;平行四边形的两组对角分别_;两邻角 _;平行四边形 的对角线 _;平行四边形的面积底边长_ 3在ABCD 中,若 A B40,则 A_, B_ 4若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两边的长度分别为_
2、5若ABCD 的对角线AC 平分 DAB,则对角线AC 与 BD 的位置关系是_ 6如图,ABCD 中, CEAB,垂足为E,如果 A115,则 BCE_ 6 题图 7如图,在ABCD 中, DB DC、 A65, CEBD 于 E,则 BCE _ 7 题图 8若在ABCD 中, A30, AB7cm,AD6cm,则 SABCD_ 二、选择题 9如图,将ABCD 沿 AE 翻折,使点B 恰好落在AD 上的点 F 处,则下列结论不一定成立 的是 ( ) (A) AFEF (B) ABEF (C)AEAF (D) AFBE 10如图,下列推理不正确的是( ) (A) ABCD ABC C180 (
3、B) 1 2 ADBC 八年级数学培优讲义 2 (C)ADBC 3 4 (D) A ADC180ABCD 11平行四边形两邻边分别为24 和 16,若两长边间的距离为8,则两短边间的距离为( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 综合、运用、诊断 一、解答题 12已知:如图,ABCD 中, DEAC 于 E,BF AC 于 F求证: DEBF 13如图,在ABCD 中, ABC 的平分线交CD 于点 E, ADE 的平分线交AB 于点 F,试判断AF 与 CE 是否相 等,并说明理由 14已知:如图,E、F 分别为ABCD 的对边 AB、 CD 的中点 (1)求证: DEFB; (2)
4、若 DE、CB 的延长线交于G 点,求证: CBBG 15已知:如图,ABCD 中, E、F 是直线 AC 上两点,且AECF 求证: (1)BEDF ;(2)BE DF 八年级数学培优讲义 3 拓展、探究、思考 16已知:ABCD 中, AB5,AD2, DAB120,若以点A 为原点,直线AB 为 x 轴,如图所示建立直角 坐标系,试分别求出B、C、D 三点的坐标 17某市要在一块ABCD 的空地上建造一个四边形花园,要求花园所占面积是ABCD 面积的一半,并且四边形 花园的四个顶点作为出入口,要求分别在ABCD 的四条边上,请你设计两种方案: 方案 (1):如图 1 所示,两个出入口E、
5、F 已确定,请在图1 上画出符合要求的四边形花园,并简要说明画法; 图 1 方案 (2):如图 2 所示,一个出入口M 已确定,请在图2 上画出符合要求的梯形花园,并简要说明画法 图 2 测试 2 平行四边形的性质 (二) 学习要求 能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题 课堂学习检测 一、填空题 1平行四边形一条对角线分一个内角为25和 35,则 4 个内角分别为_ 2 A B C D中 , 对 角 线A C和B D交 于O , 若A C 8 , B D 6 , 则 边A B 长 的 取 值 范 围 是 _ 3平行四边形周长是40cm,则每条对角线长不能超过_cm 4如图,
6、在ABCD 中, AE、AF 分别垂直于BC、CD,垂足为E、F,若 EAF30, AB6,AD10,则 CD _;AB 与 CD 的距离为 _;AD 与 BC 的距离为 _; D_ 八年级数学培优讲义 4 5ABCD 的周长为 60cm,其对角线交于O 点,若 AOB 的周长比 BOC 的周长多10cm,则 AB _,BC _ 6在ABCD 中, AC 与 BD 交于 O,若 OA 3x,AC 4x12,则 OC 的长为 _ 7在ABCD 中, CA AB, BAD 120,若 BC10cm,则 AC_,AB _ 8在ABCD 中, AEBC 于 E,若 AB 10cm,BC15cm,BE6
7、cm,则ABCD 的面积为 _ 二、选择题 9有下列说法: 平行四边形具有四边形的所有性质; 平行四边形是中心对称图形; 平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形; 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4 个面积相等的小三角形 其中正确说法的序号是( ) (A) (B) (C)(D) 10平行四边形一边长12cm,那么它的两条对角线的长度可能是( ) (A)8cm 和 16cm (B)10cm 和 16cm (C)8cm 和 14cm (D)8cm 和 12cm 11以不共线的三点A、B、C 为顶点的平行四边形共有( )个 (A)1 (B)2 (C)3 (D)无数 12在A
8、BCD 中,点 A1、A2、 A3、A4和 C1、C2、C3、C4分别是 AB 和 CD 的五等分点,点 B1、B2、和 D1、D2分 别是 BC 和 DA 的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则ABCD 的面积为 ( ) (A)2 (B) 5 3 (C) 3 5 (D)15 13根据如图所示的(1),(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( ) (1) (2) (3) (A)3 n(B)3n(n1) (C)6n(D)6n(n1) 综合、运用、诊断 一、解答题 14已知:如图,在ABCD 中,从顶点D 向 AB 作垂线,垂足为E,且 E 是 AB
9、 的中点,已知ABCD 的周长为 8.6cm, ABD 的周长为6cm,求 AB、BC 的长 八年级数学培优讲义 5 15已知:如图,在ABCD 中, CEAB 于 E,CF AD 于 F, 2 30,求 1、 3 的度数 拓展、探究、思考 16已知:如图,O 为ABCD 的对角线AC 的串点,过点O 作一条直线分别与AB、CD 交于点 M、 N,点 E、F 在直线 MN 上,且 OEOF (1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来; (2)求证: MAE NCF 17已知:如图,在ABCD 中,点 E 在 AC 上, AE2EC,点 F 在 AB 上, BF2AF,若 BEF 的面积为2
10、cm 2, 求ABCD 的面积 测试 3 平行四边形的判定 (一) 学习要求 初步掌握平行四边形的判定定理 课堂学习检测 八年级数学培优讲义 6 一、填空题 1平行四边形的判定方法有: 从边的条件有:两组对边_的四边形是平行四边形; 两组对边 _的四边形是平行四边形; 一组对边 _的四边形是平行四边形 从对角线的条件有:两条对角线_的四边形是平行四边形 从角的条件有:两组对角_的四边形是平行四边形 注意:一组对边平行另一组对边相等的四边形_是平行四边形(填“一定”或“不一定”) 2四边形ABCD 中,若 A B 180, C D180,则这个四边形_(填 “是” 、 “不是”或“不一定是”)平
11、行四边形 3一个四边形的边长依次为a、b、c、d,且满足a 2 b2c2d22ac2bd,则这个四边形为 _ 4四边形 ABCD 中, AC、BD 为对角线, AC、BD 相交于点 O,BO4,CO6,当 AO_,DO_时, 这个四边形是平行四边形 5如图,四边形ABCD 中,当 1 2,且 _ _时,这个四边形是平行四边形 二、选择题 6下列命题中,正确的是( ) (A) 两组角相等的四边形是平行四边形 (B) 一组对边相等,两条对角线相等的四边形是平行四边形 (C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 (D) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 7已知:园边形ABCD 中, A
12、C 与 BD 交于点 O,如果只给出条件“ABCD” ,那么还不能判定四边形ABCD 为平 行四边形,给出以下四种说法: 如果再加上条件“BCAD” ,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; 如果再加上条件“BAD BCD” ,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; 如果再加上条件“OAOC” ,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; 如果再加上条件“DBA CAB” ,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是( ) (A) (B) (C)(D) 8能确定平行四边形的大小和形状的条件是( ) (A) 已知平行四边形的两邻边 (B) 已知平行四边形的相邻两角 (C)已知平行四边形的两
13、对角线 (D) 已知平行四边形的一边、一对角线和周长 综合、运用、诊断 一、解答题 9如图,在ABCD 中, E、F 分别是边AB、CD 上的点,已知AECF,M、N 是 DE 和 FB 的中点,求证:四边 形 ENFM 是平行四边形 八年级数学培优讲义 7 10如图,在ABCD 中, E、F 分别是边AD、BC 上的点,已知AECF,AF 与 BE 相交于点G,CE 与 DF 相交 于点 H,求证:四边形EGFH 是平行四边形 11如图,在ABCD 中,E、F 分别在边 BA、DC 的延长线上,已知AECF,P、Q 分别是 DE 和 FB 的中点,求 证:四边形EQFP 是平行四边形 12如
14、图,在ABCD 中, E、F 分别在 DA、BC 的延长线上,已知AECF,FA 与 BE 的延长线相交于点R,EC 与 DF 的延长线相交于点S,求证:四边形RESF 是平行四边形 13已知:如图,四边形ABCD 中, ABDC,ADBC,点 E 在 BC 上,点 F 在 AD 上, AF CE,EF 与对角线 BD 交于点 O,求证: O 是 BD 的中点 14已知:如图, ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是线段 BC 延长线上一点,过点A 作 BE 的平行线与线段ED 的延 长线交于点F,连结 AE、CF求证: CFAE. 八年级数学培优讲义 8 拓展、探究、思考 15已知:如
15、图,ABC,D 是 AB 的中点, E 是 AC 上一点, EFAB,DFBE (1)猜想 DF 与 AE 的关系; (2)证明你的猜想 16用两个全等的不等边三角形ABC 和三角形ABC(如图 ),可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行 四边形 ?请分别画出相应的图形加以说明 测试 4 平行四边形的判定 (二) 学习要求 进一步掌握平行四边形的判定方法 课堂学习检测 一、填空题 1如图,ABCD 中, CEDF,则四边形ABEF 是_ 1 题图 2如图,ABCD,EFAB,GHAD,MNAD,图中共有 _个平行四边形 八年级数学培优讲义 9 2 题图 3 已 知 三 条 线 段 长 分
16、别 为1 0 , 1 4 , 2 0 , 以 其 中 两 条 为 对 角 线 , 其 余 一 条 为 边 可 以 画 出 _个平行四边形 4 已 知 三 条 线 段 长 分 别 为7 , 1 5 , 2 0 , 以 其 中 一 条 为 对 角 线 , 另 两 条 为 邻 边 , 可 以 画 出 _个平行四边形 5已知:如图,四边形AEFD 和 EBCF 都是平行四边形,则四边形ABCD 是_ 5 题图 二、选择题 6能判定一个四边形是平行四边形的条件是( ) (A) 一组对边平行,另一组对边相等(B) 一组对边平行,一组对角互补 (C)一组对角相等,一组邻角互补(D) 一组对角相等,另一组对角
17、互补 7能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是( ) (A) ADBC,AB CD(B) A B, C D (C)ABBC,ADDC(D)ABCD,CDAB 8能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是:A B C D 的值为 ( ) (A)1 234 (B)1 423 (C)1221 (D)1 2 12 9如图, E、F 分别是ABCD 的边 AB、CD 的中点,则图中平行四边形的个数共有( ) (A)2 个(B)3 个 (C)4 个(D)5 个 10ABCD 的对角线的交点在坐标原点,且AD 平行于 x 轴,若 A 点坐标为 ( 1,2),则 C 点的坐标为 ( ) (A)(1 , 2
18、) (B)(2 , 1) (C)(1 , 3) (D)(2, 3) 11如图,ABCD 中,对角线AC、BD 交于点 O,将 AOD 平移至 BEC 的位置,则图中与OA 相等的其他线段 有( ) (A)1 条(B)2 条 (C)3 条(D)4 条 综合、运用、诊断 八年级数学培优讲义 10 一、解答题 12已知:如图,在ABCD 中,点 E、F 在对角线AC 上,且 AECF请你以 F 为一个端点,和图中已标明字母 的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可) (1)连结 _; (2)猜想: _; (3)证明: 13如图,在 ABC 中, EF
19、为 ABC 的中位线, D 为 BC 边上一点 (不与 B、C 重合 ),AD 与 EF 交于点 O,连结 EF、DF ,要使四边形AEDF 为平行四边形,需要添加条件_(只添加一个条件) 证明: 14已知:如图, ABC 中,ABAC10,D 是 BC 边上的任意一点,分别作DF AB 交 AC 于 F,DEAC 交 AB 于 E,求 DEDF 的值 15已知:如图,在等边ABC 中, D、F 分别为 CB、BA 上的点,且CD BF,以 AD 为边作等边三角形ADE 八年级数学培优讲义 11 求证: (1) ACD CBF; (2)四边形 CDEF 为平行四边形 拓展、探究、思考 16若一
20、次函数y2x 1 和反比例函数 x k y 2 的图象都经过点(1, 1) (1)求反比例函数的解析式; (2)已知点 A 在第三象限,且同时在两个函数的图象上,利用图象求点A 的坐标; (3)利用 (2)的结果,若点B 的坐标为 (2,0),且以点 A、O、B、P 为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出 点 P 的坐标 17如图,点A(m, m 1),B(m3, m1)在反比例函数 x k y的图象上 (1)求 m,k 的值; (2)如果 M 为 x 轴上一点, N 为 y 轴上一点,以点A,B, M,N 为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN 的函数表达式 测试 5 平行四边形的性质与
21、判定 学习要求 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算 课堂学习检测 一、填空题 : 1平行四边形长边是短边的2 倍,一条对角线与短边垂直,则这个平行四边形各角的度数分别为_ 2从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线,如果这两条高线夹角为135,则这个平行四边形的各内角的度数为 _ 3在ABCD 中, BC 2AB,若 E 为 BC 的中点,则AED _ 八年级数学培优讲义 12 4在ABCD 中,如果一边长为8cm,一条对角线为6cm,则另一条对角线x 的取值范围是_ 5ABCD 中,对角线AC、BD 交于 O,且 AB AC2cm,若 ABC60,则 OAB 的周
22、长为 _cm 6如图,在ABCD 中, M 是 BC 的中点,且AM9,BD12,AD 10,则ABCD 的面积是 _ 7ABCD 中,对角线AC、BD 交于点 O,若 BOC120AD7,BD10,则ABCD 的面积为 _ 8如图,在ABCD 中, AB6, AD9, BAD 的平分线交BC 于点 E,交 DC 的延长线于点F,BGAE,垂足 为 G, AF5,24BG,则 CEF 的周长为 _ 9 如 图 , BD为ABC D的 对 角 线 , M 、 N 分 别 在AD 、 AB 上 , 且M N BD , 则SD M C_ _ SBNC(填“”、 “”或“” ) 综合、运用、诊断 一、
23、解答题 10已知:如图,EFC 中, A是 EF 边上一点, ABEC,ADFC ,若 EAD FABABa,AD b (1)求证: EFC 是等腰三角形; (2)求 ECFC 11已知:如图,ABC 中, ABC90, BDAC 于 D,AE 平分 BAC,EFDC,交 BC 于 F求证: BE FC 八年级数学培优讲义 13 12已知:如图,在ABCD 中,E 为 AD 的中点, CE、BA 的延长线交于点F若 BC2CD,求证: F BCF 13如图,已知:在ABCD 中, A60,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且AB2AD求证: BFBD3 3 拓展、探究、思考 14如图 1,已
24、知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(2, 1),且 P(1, 2)是双曲线上的一点,Q 为 坐标平面上一动点,PA 垂直于 x 轴, QB 垂直于 y 轴,垂足分别是A、B 图 1 (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; 八年级数学培优讲义 14 (2)当点 Q 在直线 MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q,使得 OBQ 与 OAP 面积相等 ?如果存在, 请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由; (3)如图 2,当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边 形 OPCQ 周长的最小值 图 2 测试 6 三角形的中位线 学习
25、要求 理解三角形的中位线的概念,掌握三角形的中位线定理 课堂学习检测 一、填空题 : 1(1)三角形的中位线的定义:连结三角形两边_叫做三角形的中位线 (2)三角形的中位线定理是三角形的中位线_第三边,并且等于_ _ 2如图,ABC 的周长为64,E、 F、 G 分别为AB、AC、BC 的中点, A、 B、 C分别为EF、EG、 GF 的 中点, ABC的周长为 _如果 ABC、 EFG、 ABC分别为第1 个、第2 个、第 3 个三角形,按照上述方法继续作三角形,那么第n 个三角形的周长 是_ 3 ABC 中, D、E 分别为 AB、AC 的中点,若DE4,AD3,AE2,则 ABC 的周长
26、为 _ 二、解答题 4已知:如图,四边形ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点 八年级数学培优讲义 15 求证:四边形EFGH 是平行四边形 5已知: ABC 的中线 BD、 CE 交于点 O,F、G 分别是 OB、OC 的中点 求证:四边形DEFG 是平行四边形 综合、运用、诊断 6已知:如图,E 为ABCD 中 DC 边的延长线上的一点,且CE DC,连结 AE 分别交 BC、BD 于点 F、G,连 结 AC 交 BD 于 O,连结 OF求证: AB2OF 7已知:如图,在ABCD 中, E 是 CD 的中点, F 是 AE 的中点, FC 与 BE 交于
27、G求证: GFGC 八年级数学培优讲义 16 8已知:如图,在四边形ABCD 中, ADBC,E、F 分别是 DC、AB 边的中点, FE 的延长线分别与AD、 BC 的 延长线交于H、G 点 求证: AHF BGF 拓展、探究、思考 9已知:如图,ABC 中, D 是 BC 边的中点, AE 平分 BAC,BEAE 于 E 点,若 AB5,AC 7,求 ED 10如图在 ABC 中, D、E 分别为 AB、AC 上的点,且BDCE, M、N 分别是 BE、CD 的中点过MN 的直线 交 AB 于 P,交 AC 于 Q,线段 AP、AQ 相等吗 ?为什么 ? 测试 7 矩形 学习要求 理解矩形
28、的概念,掌握矩形的性质定理与判定定理 课堂学习检测 一、填空题 1(1)矩形的定义: _的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的性质:矩形是一个特殊的平行四边形,它除了具有四边形和平行四边形所有的性质,还有:矩形的四 八年级数学培优讲义 17 个角 _;矩形的对角线_;矩形是轴对称图形,它的对称轴是_ (3)矩形的判定:一个角是直角的_是矩形;对角线_的平行四边形是矩形;有_个角是直角的四 边形是矩形 2矩形 ABCD 中,对角线AC、BD 相交于 O, AOB60, AC10cm,则 AB_cm,BC_cm 3在 ABC 中, C90, AC5,BC 3,则 AB 边上的中线CD_ 4如图,四边形
29、ABCD 是一张矩形纸片,AD2AB,若沿过点D 的折痕 DE 将 A 角翻折,使点A 落在 BC 上的 A1 处,则 EA1B_。 5如图,矩形ABCD 中, AB2,BC3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD,BC 于点 E、 F,连结 CE,则 CE 的长 _ 二、选择题 6下列命题中不正确的是( ) (A) 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 (B) 矩形的对角线相等 (C)矩形的对角线互相垂直 (D) 矩形是轴对称图形 7若矩形对角线相交所成钝角为120,短边长3.6cm,则对角线的长为( ) (A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm 8矩形邻边之比34
30、,对角线长为10cm,则周长为 ( ) (A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm 9已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线,则图中1 与 2 一定不相等的是( ) (A) (B) (C) (D) 综合、运用、诊断 一、解答题 10已知:如图,ABCD 中, AC 与 BD 交于 O 点, OAB OBA 八年级数学培优讲义 18 (1)求证:四边形ABCD 为矩形; (2)作 BEAC 于 E,CF BD 于 F,求证: BECF 11如图,在 ABC 中, D 是 BC 边上的一点,E 是 AD 的中点,过点A 作 BC 的平行线交BE 的延长线于F,且 AFDC,连结
31、 CF (1)求证: D 是 BC 的中点; (2)如果 ABAC,试猜测四边形ADCF 的形状,并证明你的结论 12如图,矩形ABCD 中, AB6cm,BC 8cm,若将矩形折叠,使点B 与 D 重合,求折痕EF 的长。 13已知:如图,在矩形ABCD 中, E、F 分别是边BC、AB 上的点,且EFED,EFED 求证: AE 平分 BAD 拓展、探究、思考 14如图,在矩形ABCD 中, AB2,3AD 八年级数学培优讲义 19 (1)在边 CD 上找一点 E,使 EB 平分 AEC,并加以说明; (2)若 P 为 BC 边上一点,且BP2CP,连结 EP 并延长交AB 的延长线于F
32、求证: ABBF; PAE 能否由 PFB 绕 P 点按顺时针方向旋转而得到?若能,加以证明,并写出旋转度数;若不能,请说 明理由。 测试 8 菱形 学习要求 理解菱形的概念,掌握菱形的性质定理及判定定理 课堂学习检测 一、填空题 : 1菱形的定义:_的平行四边形叫做菱形 2菱形的性质:菱形是特殊的平行四边形,它具有四边形和平行四边形的_:还有:菱形的四条边_; 菱形的对角线_,并且每一条对角线平分_;菱形的面积等于_,它的对称轴是 _ 3菱形的判定:一组邻边相等的_是菱形;四条边_的四边形是菱形;对角线_ _的平行四边形是菱形 4已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数之比为12,则较长对角
33、线的长为_cm 5若菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则它的周长为_cm,面积为 _cm 2 二、选择题 6对角线互相垂直平分的四边形是( ) (A) 平行四边形(B) 矩形(C)菱形(D)任意四边形 7顺次连结对角线相等的四边形各边中点,所得四边形是( ) (A) 矩形(B) 平行四边形(C)菱形(D)任意四边形 8下列命题中,正确的是( ) (A) 两邻边相等的四边形是菱形 (B) 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 (C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 (D) 对角线垂直的四边形是菱形 9如图,在菱形ABCD 中, E、F 分别是 AB、AC 的中点,如果EF2,那么
34、菱形ABCD 的周长是 ( ) 八年级数学培优讲义 20 (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 10菱形 ABCD 中, A B1 5,若周长为8,则此菱形的高等于( ) (A) 2 1 (B)4 (C)1 (D)2 综合、运用、诊断 一、解答题 11如图,在菱形ABCD 中, E 是 AB 的中点,且DEAB,AB4 求: (1)ABC 的度数; (2)菱形 ABCD 的面积 12如图,在菱形ABCD 中, ABC120, E 是 AB 边的中点, P 是 AC 边上一动点, PBPE 的最小值是3, 求 AB 的值 13如图,在ABCD 中, E,F 分别为边AB,CD 的中点,连结
35、DE,BF,BD (1)求证: ADE CBF (2)若 ADBD,则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论 14如图,四边形ABCD 中, ABCD,AC 平分 BAD,CEAD 交 AB 于 E 八年级数学培优讲义 21 (1)求证:四边形AECD 是菱形; (2)若点 E 是 AB 的中点,试判断ABC 的形状,并说明理由 15如图,ABCD 中, ABAC,AB1,BC5对角线 AC,BD 相交于点O,将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转, 分别交 BC,AD 于点 E,F (1)证明:当旋转角为90时,四边形ABEF 是平行四边形; (2)试说明在旋转过程中,线段AF 与 E
36、C 总保持相等; (3)在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,画出图形并写出此时AC 绕 点 O 顺时针旋转的度数 16如图,菱形ABCD 的边长为2,BD2,E、F 分别是边AD,CD 上的两个动点,且满足AE CF2 (1)求证: BDE BCF; (2)判断 BEF 的形状,并说明理由; (3)设 BEF 的面积为S,求 S的取值范围 拓展、探究、思考 17请用两种不同的方法,在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形,且菱形的四个顶点都在矩形的边上(保 留作图痕迹 ) 八年级数学培优讲义 22 18如图,菱形 AB1C1D1的边长为 1,B1 60;
37、作 AD2B1C1于点 D2,以 AD2为一边, 作第二个菱形AB2C2D2, 使 B260;作 AD3B2C2于点 D3,以 AD3为一边, 作第三个菱形AB3C3D3,使 B360;依此类推, 这样作的第n 个菱形 ABnCnDn的边 ADn的长是 _ 测试 9 正方形 学习要求 1理解正方形的概念,了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系; 2掌握正方形的性质及判定方法 课堂学习检测 一、填空题 1正方形的定义:有一组邻边_并且有一个角是_的平行四边形叫做正方形,因此正方形既是一个特殊 的有一组邻边相等的_,又是一个特殊的有一个角是直角的_ 2正方形的性质:正方形具有四边形
38、、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形的四个角都_;四条边 都_且_; 正方形的两条对角线_, 并且互相 _, 每条对角线平分_对角它 有_条对称轴 3正方形的判定: (1)_ 的平行四边形是正方形; (2)_ 的矩形是正方形; (3)_ 的菱形是正方形; 4对角线 _的四边形是正方形 5若正方形的边长为a,则其对角线长为_,若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线,则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于_ 6延长正方形ABCD 的 BC 边至点 E,使 CEAC,连结 AE,交 CD 于 F,那么 AFC 的度数为 _,若 BC 4cm,则 ACE 的面积等于 _ 7
39、在正方形ABCD 中, E 为 BC 上一点, EFAC, EGBD,垂足分别为F、G,如果cm25AB,那么 EF EG 的长为 _ 二、选择题 八年级数学培优讲义 23 8如图,将一边长为12 的正方形纸片ABCD 的顶点 A 折叠至 DC 边上的点E,使 DE5,折痕为PQ,则 PQ 的 长为 ( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 9如图,正方形ABCD 的边长为 4cm,则图中阴影部分的面积为( )cm 2 (A)6 (B)8 (C)16 (D) 不能确定 综合、运用、诊断 一、解答题 10已知:如图,正方形ABCD 中,点 E、M、N 分别在 AB、 BC、AD 边
40、上, CEMN, MCE35,求 ANM 的度数 11已知:如图,E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点,且AEAB,EFAC,交 BC 于 F求证: BFEC 12如图,边长为3 的正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转30后,得到正方形EFCG,EF 交 AD 于 H,求 DH 的长 八年级数学培优讲义 24 13如图, P 为正方形ABCD 的对角线上任一点,PEAB 于 E,PFBC 于 F,判断 DP 与 EF 的关系,并证明 拓展、探究、思考 14如图,在边长为4 的正方形ABCD 中,点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动,连结DP 交 AC 于点 Q (1)试证明:
41、无论点P 运动到 AB 上何处时,都有ADQ ABQ; (2)当点 P 在 AB 上运动到什么位置时,ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的 6 1 ; (3)若点 P 从点 A 运动到点B,再继续在BC 上运动到点C,在整个运动过程中,当点P 运动到什么位置时, ADQ 恰为等腰三角形 测试 10 梯形 (一) 学习要求 1理解梯形的有关概念,理解直角梯形和等腰梯形的概念 2掌握等腰梯形的性质和判定 3初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法,使问题进行转化 课堂学习检测 一、填空题 1梯形有关概念:一组对边平行而另一组对边_的四边形叫做梯形,梯形中平行的两边叫做底,按_分 八年级数学培优讲义
42、 25 别叫做上底、下底(与位置无关 ),梯形中不平行的两边叫做_,两底间的 _叫做梯形的高一腰垂直于 底边的梯形叫做_;两腰 _的梯形叫做等腰梯形 2等腰梯形的性质:等腰梯形中_的两个角相等,两腰_,两对角线 _,等腰梯形是轴对称图形, 只有一条对称轴,_就是它的对称轴 3等腰梯形的判定:_的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角_的梯形是等腰梯形 4如果等腰梯形两底差的一半等于它的高,那么此梯形较小的一个底角等于_度 5等腰梯形上底长为3cm,腰长为 4cm,其中锐角等于60,则下底长是_ 6如图,梯形ABCD 中, ADBC,ABCDAD1,B60,直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴, P
43、 为 MN 上 一点,那么PCPD 的最小值为 _ 二、选择题 7课外活动时,王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为450cm 2,则两条对角线 所用的竹条至少需( ) (A)cm230(B)30cm (C)60cm (D)cm260 8如图,梯形ABCD 中, ADBC, B30, BCD60, AD2,AC 平分 BCD,则 BC 长为 ( ) 8 题图 (A)4 (B)6 (C)34(D)33 9如图,ABCD 是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形,这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是( ) 9 题图 (A)1 2 (B)23 (C)35 (D)47 综合、运用、诊断 一、解答题 10已知:如图,梯形ABCD 中, ADBC,ABCD,延长 CB 到 E,使 EBAD,连结 AE求证: AECA 八年级数学培优讲义 26 11如图,在梯形ABCD 中, ABDC,DB 平分 ADC ,过点 A 作 AEBD,交 CD 的延长线于点E,且 C2 E (1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形; (2)若 BDC 30, AD5,求 CD 的长 12如图,在梯形ABCD 中,ADBC,ABDCAD, C60, AEBD 于点 E,AE1,
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