函数的跟与方程的零点.pdf
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1、31函数与方程 31.1方程的根与函数的零点 学习目标 1.理解函数零点的定义,会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函 数的零点与方程的根的联系 教学重难点: 1 重点:函数零点的概念和函数零点的求法 2 难点:零点的确定 知识链接 考察下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程 x 22x30 与函数 yx22x 3; (2)方程 x 22x10 与函数 yx22x 1; (3)方程 x 22x30 与函数 yx22x 3. 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗? 答案 方程x22x30x2 2x10x22x30 函数yx 22x3 yx 22x 1
2、 yx 22x3 函数的图象 方程的实数根x1 1,x23x1x21无实数根 函数的图象与 x 轴的交点 (1,0)、(3,0)(1,0)无交点 预习导引 1函数的零点 对于函数yf(x),我们把使f(x)0 的实数 x 叫做函数yf(x)的零点 2方程、函数、图象之间的关系; 方程 f(x) 0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 y f(x)有零点 3函数零点存在的判定方法 如果函数yf(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0.那么,函 数 yf(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c(a, b),使得 f(c)0,这个 c
3、也就是方程f(x) 0 的根 温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可,否则不一定存在零点;反过来,若函数y f(x)在区间 (a,b)内有零点,则f(a) f(b)0 不一定成立 要点一求函数的零点 例 1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出 (1)f(x)x 27x 6; (2)f(x)1log2(x3); (3)f(x)2 x13; (4)f(x) x 24x 12 x 2 . 解(1)解方程 f(x)x27x 60, 得 x 1 或 x 6, 所以函数的零点是1, 6. (2)解方程 f(x)1log2(x 3) 0,得 x 1, 所以函数的零点是1. (3)解方程 f(x)2 x
4、130,得 x log 26, 所以函数的零点是log26. (4)解方程 f(x)x 24x12 x2 0,得 x 6, 所以函数的零点为6. 规律方法求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程f(x)0 的实数根; (2)几何法:对于 不能用求根公式的方程,可以将它与函数y f(x)的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零 点 跟踪演练 1判断下列说法是否正确: (1)函数 f(x)x 22x的零点为 (0,0),(2,0); (2)函数 f(x)x1(2x5)的零点为x1. 解(1)函数的零点是使函数值为0 的自变量的值,所以函数f(x)x22x 的零点为0 和 2, 故(1)错 (2)
5、虽然 f(1)0,但 1?2,5 ,即 1 不在函数f(x)x1 的定义域内,所以函数在定义域2,5 内无零点,故 (2)错 要点二判断函数零点所在区间 例 2在下列区间中,函数f(x)ex4x3 的零点所在的区间为() A. 1 4 , 0B. 0, 1 4 C. 1 4, 1 2 D. 1 2, 3 4 答案C 解析f 1 4 4 e20, f(1 2) e 10,f 1 4 f 1 2 0, 零点在 1 4, 1 2 上 规律方法1.判断零点所在区间有两种方法:一是利用零点存在定理,二是利用函数图象 2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用,若 f(x)图象在 a
6、,b上连续,且f(a) f(b)0,则 f(x)在(a,b)上必有零点,若f(a) f(b) 0,则 f(x)在 (a,b) 上不一定没有零点 跟踪演练 2函数 f(x)exx2 所在的一个区间是() A( 2, 1) B(1,0) C(0,1) D (1,2) 答案C 解析f(0)e002 10, f(1)e 112 e10,f(0) f(1)0, f(x)在(0,1)内有零点 要点三判断函数零点的个数 例 3判断函数f(x)ln xx23 的零点的个数 解方法一函数对应的方程为ln xx230, 所以原函数零点的个数即为函数y ln x 与 y3x 2 的图象交点个数 在同一坐标系下,作出
7、两函数的图象(如图 ) 由图象知,函数y3x2与 yln x 的图象只有一个交点从而ln xx230 有一个根, 即函数 yln xx 23 有一个零点 方法二由于 f(1)ln 1123 20, f(2)ln 22 23ln 2 10, f(1) f(2)0, 又 f(x)ln xx 23 的图象在 (1,2)上是不间断的,所以 f(x)在(1,2)上必有零点, 又 f(x)在(0, )上是递增的,所以零点只有一个 规律方法判断函数零点个数的方法主要有:(1)对于一般函数的零点个数的判断问题,可 以先确定零点存在,然后借助于函数的单调性判断零点的个数;(2)由 f(x)g(x)h(x)0,
8、得 g(x)h(x), 在同一坐标系下作出y1g(x)和 y2h(x)的图象,利用图象判定方程根的个数; (3)解方程,解得方程根的个数即为函数零点的个数 跟踪演练 3函数 f(x)2x|log 0.5x| 1 的零点个数为() A1 B2 C3 D4 答案B 解析令 f(x)2x|log 0.5x| 10, 可得 |log 0.5x| 1 2 x. 设 g(x)|log 0.5x| ,h(x) 1 2 x,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x)的图象,可以发现两 个函数图象一定有2 个交点,因此函数f(x)有 2 个零点 1函数 y4x2 的零点是 () A2 B (2,0) C.
9、1 2,0 D.1 2 答案D 解析令 y4x20,得 x 1 2. 函数 y4x2 的零点为 1 2. 2对于函数f(x),若 f(1) f(3)0,则 () A方程 f(x)0 一定有实数解 B方程 f(x)0 一定无实数解 C方程 f(x)0 一定有两实根 D方程 f(x)0 可能无实数解 答案D 解析函数 f(x)的图象在 (1,3)上未必连续, 故尽管 f(1)f(3)0, 但未必函数yf(x)在( 1,3)上有实数解 3函数 ylg x 9 x 的零点所在的大致区间是() A(6,7) B(7,8) C(8,9) D(9,10) 答案D 解析因为 f(9)lg 910, f(10)
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