利用导数证明不等式的常见题型第七计.pdf
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1、第 1 页 共 4 页 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓 1、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点, 也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得 不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 【例 1】已知函数xxxf) 1ln()(,求证:当1x时,恒有 xx x ) 1ln( 1 1 1 分析: 本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数 1 1 1 )1ln()( x xxg,从其导
2、数入手即可证明。 【绿色通道 】 1 1 1 1 )( x x x xf 当01x时,0)(xf,即)(xf在)0 ,1(x上为增函数 当0x时,0)(xf,即)(xf在),0(x上为减函数 故函数( )f x的单调递增区间为)0, 1(,单调递减区间),0( 于是函数( )f x在), 1(上的最大值为0)0()( max fxf, 因此,当1x时,0)0()(fxf, 即0)1ln(xxxx)1ln((右面得证) , 现证左面,令1 1 1 )1ln()( x xxg, 22 )1()1( 1 1 1 )( x x xx xg则 当0)(,), 0(; 0)(,)0, 1(xgxxgx时当
3、时, 即)(xg在)0, 1(x上为减函数,在),0(x上为增函数, 故函数)(xg在), 1(上的最小值为0)0()( min gxg, 当1x时,0)0()(gxg,即01 1 1 ) 1ln( x x 1 1 1)1ln( x x,综上可知,当xx x x) 1ln(1 1 1 ,1有时 【警示启迪 】如果( )f a是函数( )f x在区间上的最大(小)值,则有( )f x( )f a(或( )f x( )f a) , 那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证 2、直接作差构造函数证明 【例 2】已知函数.ln 2 1 )( 2 xxxf求证:在区间), 1(上,函数)(xf
4、的图象在函数 3 3 2 )(xxg的 图象的下方; 第 2 页 共 4 页 分析: 函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方)()(xgxf不等式问题, 即 32 3 2 ln 2 1 xxx, 只 需 证 明 在 区 间), 1(上 , 恒 有 32 3 2 ln 2 1 xxx成 立 , 设 )()()(xfxgxF,),1 (x,考虑到0 6 1 )1(F 要证不等式转化变为:当1x时,)1()(FxF,这只要证明:)(xg在区间), 1(是增函数即可。 【绿色通道 】设)()()(xfxgxF,即xxxxFln 2 1 3 2 )( 23 , 则 x xxxF 1 2)( 2 =
5、 x xxx)12)(1( 2 当1x时,)(xF= x xxx)12)(1( 2 从而)(xF在), 1(上为增函数,0 6 1 )1 ()(FxF 当1x时0)()(xfxg,即)()(xgxf, 故在区间), 1 (上,函数)(xf的图象在函数 3 3 2 )(xxg的图象的下方。 【警示启迪 】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数), 并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式。读者也可以 设)()()(xgxfxF做一做,深刻体会其中的思想方法。 3、换元后作差构造函数证明 【例 3】 ( 2007 年,山东卷)证
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