北京中考第二轮复习讲解(一)二次函数与一元二次方程的综合.pdf
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1、课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 1 第一讲:二次函数与一元二次方程的综合 内容要求 中考 分值 考察类型 二次函数与一 元二次方程综 合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标,会确定 图象的顶点、 开口方向和对称轴;会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解 7 二次函数与 一元二次方 程 1.熟练掌握二次函数的有关知识点 2.掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例 1】 (2015 怀柔 127)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=( a-1)x 2+2x+1 与 x 轴有交点, a 为正整 数. (1)求 a 的值 . (2)将二次函数y=(a-1
2、)x 2+2x+1 的图象向右平移 m个单位, 向下平移m 2+1 个单位,当 -2 x1 时,二次函数有最小值 -3 , 求实数 m的值 . 27. 解: (1)二次函数y=(a-1 )x 2+2x+1 与 x 轴有交点, 令 y=0,则( a-1 )x 2+2x+1=0, =4-4(a-1)0,解得 a2.,1 分. a 为正整数 .a=1、2 又 y=(a-1 )x 2+2x+1 是二次函数, a-1 0, a 1, a 的值为 2.,2 分 (2) a=2,二次函数表达式为y=x 2+2x+1, 将二次函数y=x 2+2x+1 化成顶点式 y=(x+1) 2 二次函数图象向右平移m个单
3、位,向下平移m 2+1 个单位 后的表达式为y=(x+1-m) 2- (m2+1). 此时函数的顶点坐标为(m-1, -m 2-1 ). , 4 分 当 m-1-2,即 m -1 时,x=-2 时,二次函数有最小值-3, -3=( -1-m ) 2- (m2+1) ,解得3 2 m且符合题目要求.,5 分 当 -2 m-1 1, 即-1m 2, 时,当x= m-1 时,二次函数有最小值-m 2-1=-3 , 解得2m. - 2m不符合 -1 m 2 的条件,舍去. 2m. ,6 分 当 m-11,即 m 2 时,当x=1 时,二次函数有最小值-3, -3=( 2-m) 2-(m2+1) ,解得
4、3 2 m , 不符合 m 2 的条件舍去 . 例题精讲 方法策略 考试要求 中考第二轮复习代数综合题 y x 1 1 O 27题 图 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 2 O y x 综上所述, m 的值为 3 2 或2,7 分 【例 2】 ( 2015 昌平 123) 已知二次函数 22 (1)(31)2ykxkx (1)二次函数的顶点在 x轴上,求 k的值; (2)若二次函数与x轴的两个交点A、B 均为整数点(坐标为整数的点),当k为整数时,求A、B 两点的坐 标. 23.解: (1)方法一二次函数顶点在 x轴上, 2 -4=0bac,且0a,1 分 即 2 2 3142
5、10ak,且 2-1 0k =3k,3 分 (2)二次函数与x轴有两个交点, 2 -40bac,且0a,分 即 2 -30k() ,且k 1 当3k且1k时,即可行 A、B两点均为整数点,且k为整数 1222 -1 +-3-1+ -3-42 = -1-1-1+1 kkkkk x kkkk (3)() 34 2()2() 2() 2222 -1 -3-1- +3+21 = -1-1-1-1 kkkkk x kkkk (3)() 32 2()2() 2() ,5 分 当=0k时,可使 1 x, 2 x均为整数, 当=0k时,A、B两点坐标为(-1 0),和(2 0),,6 分 【例 3】 ( 20
6、15 门头沟 1 27)已知:关于x 的一元二次方程x2+(m+1)x+(m+2)=0(m0) (1)求证:该方程有两个不相等的实数根; (2)当抛物线y=x 2 +(m+1)x+(m+2)经过点( 3,0) ,求该抛物线的表达式; (3)在( 2)的条件下,记抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象 G,如果直线 y=k(x+1)+4 与图象 G 有公共点,请结合函数的图象,求直线y=k(x+1)+4 与 y 轴交点的纵坐标t 的取 值范围 (1)证明:= (m+1)24(1)(m+2) = ( m + 3 ) 2 .,1分 m0, (m+3)20, 即 0, 原
7、方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .,2分 (2)解:抛物线抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点( 3,0) , 3 2 + 3 ( m + 1 ) + ( m + 2 ) = 0 , ,3分 m=1. y = x 2 + 2 x + 3 .,4分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 3 (3)解:y=x2+2x+3=(x1)2+4, 该抛物线的顶点为(1, 4). 当直线 y=k(x+1)+4 经过顶点( 1,4)时, 4=k(1+1)+4, k=0, y=4. 此 时 直 线y = k ( x + 1 ) + 4与y轴 交 点 的 纵 坐 标 为4.,
8、5分 y=x 2+2x+3, 当 x=0 时, y=3, 该抛物线与y 轴的交点为( 0,3). 此 时 直 线y = k ( x + 1 ) + 4与y轴 交 点 的 纵 坐 标 为3.,6分 3 t 4 .,7分 【例 4】 (2014 门头沟 123)已知关于x 的一元二次方程 04)15( 22 mmxmx . (1)求证:无论m 取何实数时,原方程总有两个实数根; (2)若原方程的两个实数根一个大于3,另一个小于8,求 m 的取值范围; (3)抛物线 mmxmxy 22 4) 15( 与 x 轴交于点A、B(点 A 在点 B的左侧),现坐标系内有一矩形 OCDE ,如图 11,点 C
9、 (0,-5), D(6,-5) ,E(6,0),当 m 取第( 2)问中符合题意的最小整数时,将此抛物 线上下平移h个单位,使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点, 请结合图形写出h 的取值或取值范围 (直 接写出答案即可) .解: (1)证明:= )4(14)15( 22 mmm,1 分 =169 2 mm = 2 ) 13( m 2 )13( m0,,2 分 无论 m 取何实数时,原方程总有两个实数根. ( 2) 解关于 x 的一元二次方程04)15( 22 mmxmx, 得14, 21 mxmx. ,3 分 由题意得 314 8 814 3 m m m m 或,4 分 解得8 2 1
10、 m. ,5 分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 4 (3)5h或94h. ,7 分 逆袭训练 1. (2015 通州 227)已知关于x 的方程 mx 2(3m1)x+2m2=0 (1)求证:无论m 取任何实数时,方程恒有实数根 (2)若关于x 的二次函数y= mx2(3m1)x+2m2 的图象与x 轴两交点间的距离为2 时,求二次函数的 表达式 .解:(1)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1, =(m+1)2; =(m+1) 20 , .(1分) 无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根; (2)设 x1,x2为抛物线 y=mx2-(3m-1)x+2m-2 与
11、 x轴交点的横坐标 令 y=0,则 mx2-(3m-1)x+2m-2=0 由求根公式得, x1=2, ,.(2分) 抛物线 y=mx2- (3m-1)x+2m-2 不论 m 为任何不为 0 的实数时恒过定点 (2,0) x2=0 或 x2=4,m=1 或) 当 m=1 时,y=x2-2x, ,抛物线解析式为y=x2-2x 当时, 3 8 2 3 1 2 xxy 答:抛物线解析式为y=x2-2x;或 3 8 2 3 1 2 xxy .(3分) 2. (2015 朝阳 227)已知:关于x 的一元二次方程 2 2(1)20(0)axaxaa (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两
12、个实数根分别为 1x ,2x (其中1x 2x ) 若y是关于 a的函数,且21yaxx ,求这个函数 的表达式; (3)在( 2)的条件下,结合函数的图象回答:若使 2 31ya,则自变量a的取值范围为 (1)证明: 2 2(1)20(0)axaxaa是关于 x 的一元二次方程, 2 2(1)4 (2)aa a 1分 =4 即0 方程有两个不相等的实数根 2分 (2) 解:由求根公式,得 2(1)2 2 a x a 1x或 2 1x a 3分 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 5 0a, 1 x 2 x , 11x, 2 2 1x a 4分 21 1yaxxa 即1(0)ya
13、a为所求 5分 (3)0 a 2 3 7分 3. ( 2015 石景山 2 27)已知关于 x的方程 2 31220mxmxm ( 1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根; ( 2)若关于x的二次函数 2 3122ymxmxm的图象经过坐标原点,得到抛物线 1 C将抛物线 1 C向下平移后经过点0, 2A进而得到新的抛物线 2 C,直线l经过点A和点2,0B,求直线l和抛物线 2 C的解析式; ( 3)在直线l下方的抛物线 2 C上有一点C,求点C到直线l的距离的最 大值 解: ( 1)当0m时,2x 当0m时, 2 31422mmm 22 961 88mmmm 2 2 21 1 mm
14、m 2 10m ,0 综上所述:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;3 分 (2)二次函数 2 (31)22ymxmxm的图象经过坐标原点 220m 1m4 分 抛物线 1 C的解析式为: 2 2yxx 抛物线 2 C的解析式为: 2 22yxx 设直线l所在函数解析式为:ykxb 将A和点2,0B代入ykxb 直线l所在函数解析式为:2yx 5 分 (3)据题意:过点C作CEx轴交AB于E, 可证45DECOAB,则 2 2 EC CD 设 2 ,22C t tt ,,2E t t,03t EC ECyy 2 3tt 2 39 24 t6 分 3 03 2 当 3 2 t时, max 9 4
15、 EC CD随EC增大而增大, x y O B y x E D C B A O 课外学业辅导讲义张老师整理15010251586 6 max 9 2 8 CD为所求 .7 分 4. (2015 顺义 227)已知关于x 的方程 2 230xmxm (1)求证:方程 2 230xmxm总有两个实数根; (2)求证:抛物线 2 23yxmxm总过 x 轴上的一个定点; (3)在平面直角坐标系xOy 中,若( 2)中的“定点”记作A,抛物线 2 23yxmxm与 x 轴的另 一个交点为B,与 y 轴交于点C,且 OBC的面积小于或等于8,求 m 的取值范围 解:( 1) 2 4bac= 2 243m
16、m1 分 = 2 44412mmm = 2 816mm = 2 4m 2 40m, 方程 2 230xmxm总有两个实数根2 分 (2 ) 2 1,2 24 2 mm x= 24 2 mm .3 分 1 1x, 2 3xm, 抛物线 2 23yxmxm总过 x 轴上的一个定点(-1,0) 4 分 (3) 抛物线 2 23yxmxm与 x 轴的另一个交点为B,与 y轴交于点C, B(3-m,0) ,C(0, m-3) ,.5分 OBC为等腰直角三角形, OBC的面积小于或等于8, OB,OC小于或等于4, 3-m4 或 m-3 4, .6分 m-1 或 m7 -1m7 且3m7分 5.(2014
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