北师大版初一(上)数学讲义第四章:基本平面图形.pdf
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1、第四章:基本平面图形 4.1 线段、射线、直线 1线段、射线、直线的概念 (1)线段 概念: 铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段,下图就是一条线段 线段的特征:线段是直的;线段有2 个 端点;线段的长度是有限的,可度量 线段可以向两方无限延长;线段是没有粗细之分的 (2)射线 概念: 射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形如图, 把线段 AB 向一个方向无限延伸, 就是一条射线 射线的特征: 射线是直的; 射线有一个端点;因射线向一个方向无限延长,所以射线没有长短, 不可测量 射线可以反向延长;射线没有粗细之分 (3)直线 概念:直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成
2、的 直线的特征:直线是直的;直线没有端点;向两个方向无限延长,没有长短,不可测量 因为直线是线段向两个方向无限延长形成的,所以我们不能说延长某条直线,即直线不能延长 【例 1】 下列说法正确的有( ) 画一条射线等于5 cm;线段AB 为直线 AB 的一部分;在直线、射线、线段中,线段最短; 射线与其反向延长线形成一条直线 A1 个B2 个C3 个D4 个 2.线段、射线、直线的表示方法 (1)线段的表示方法 用两个表示端点的大写字母来表示如图,以A,B 为端点的线段,可记作“ 线段 AB” 或“ 线段 BA” 用一个小写字母来表示如线段AB 也可记作 “ 线段 a” (2)射线的表示方法 用
3、两个大写字母表示一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示,如图中的射线,可记作“ 射 线 AB”(端点必须在前面) 射线的识别: 判断两条射线是否是同一条射线,首先看端点是否相同,再看延伸方向是否相同,如果这两点都符合, 那么这两条射线是同一条射线 端点相同,延伸方向也相同的射线是同一条射线,如图射线MB,MC,MN 都表示同一条射线 端点相同,但延伸方向不相同的射线不是同一条射线,如图中射线AB,AC 就不是同一条射线 端点不同的射线不是同一条射线,如图中的射线BN,CN 的延伸方向一致,但端点不同,所以不是 同一条射线 【例 21】 射线 OA, OB 表示同一条射线,下面的图形正确的是
4、( ) (3)直线的表示方法 直线有两种表示方法:可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示,注意表示直线上任意 两个点的字母没有顺序性如图甲中的直线可记作“ 直线 AB” 或“ 直线 BA” ;可用一个小写字母来表示, 如图乙中的直线可记作“ 直线 l” 图甲 图乙 辨误区线段、射线、直线的联系 表示线段、射线、直线时,都要在字母前面注明“ 线段、射线或直线” ;用两个大写字母表示线段 和直线时,两个字母没有顺序性,可以交换位置,如“ 线段 BA” 和“ 线段 AB” 表示同一条线段,“ 直线 AB” 和 “ 直线 BA” 表示同一条直线;表示射线的两个大写字母有一定的顺序,表示端点的字
5、母必须写在前面 【例 22】 如图所示,下列说法( ) A都错误 B都正确C只有一个正确D有两个正确 3直线的性质 (1)经过两点有且只有一条直线 它包含两层含义:一是“ 肯定有 ” ,二是 “ 只有一条 ” ,不会有两条、三条 ; 它可简单地说成“ 两点确定一条直线” (2)直线的其他性质:经过一点的直线有无数条;不同的两条直线最多有一个交点 【例 3】 工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上,则至少要用_个螺钉 4射线、线段的计数方法 射线和线段可以看做直线的一部分,因此在一条直线上,取一些点时,会出现射线和线段 (1)点数与射线的条数 射线向一方无限延伸,因此射线的条数是由端点的个数决定的
6、在直线上,以一个点为端点的射线有 2 条,若直线上有n 个点,则共有2n 条射线 (2)点数与线段的条数 线段有两个端点,直线上每两个点之间的部分就是一条线段因此,数线段时,只要判断这些点共有 多少种组合即可 析规律数线段条数的方法 确定线段的条数时,可以先固定第一个点为一个端点,再以其余的点为另一个端点组成线段,然后固 定第二个点为一个端点,与其余的点 (第一个点除外 )组成线 段 ,依此类推, 直到找出最后的线段为止 【例 4】 画出线段 AB: (1)如图 (1),在线段AB 上画出 1 个点,这时图中共有几条线段? (2)如图 (2),在线段AB 上画出 2 个点,这时图中共有几条线段
7、? (3)如图 (3),在线段AB 上画出 3 个点,这时图中共有几条线段? (4)如图 (4),在线段AB 上画出 n 个点时,猜一猜:图中共有几条线段? 5直线性质的应用 生活中的很多实际问题要用到直线的性质,如木工师傅在锯木料之前,先在木板上画出两个点,然后 过这两个点弹条墨线,就是利用了直线的“ 两点确定一条直线” 的性质,沿着这条线能锯成直的,而不会歪 斜 【例 5】 建房屋垒墙时,建筑工人都要在墙的两端固定绳子,请利用所学的知识,说明其中道理 6.与直线有关的规律探究 (1)两点确定一条直线,在同一平面内, 不同的点可以确定不同的直线当任意三点均不在同一直线上时, 点数与直线条数的
8、关系见下表: 点的个数最多直线条数 21 33 46 n(n1) n(n1) 2 (2)平面上若有n(n1)条直线两两相交,则交点个数最多有 1 2n(n1)个 【例 6】平面上有五个点,过其中任意两点画一条直线,最多能得到多少条直线?请画出另外三种不同情 况的图形 4.2 比较线段的长短 1线段的性质 ( 1)两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。 ( 2)线段的性质 两点之间的所有连线中,线段最短。简述为:两点之间,线段最短。 延伸拓展 距离是指两点之间线段的长度,是一个非负数 ,而不是线段本身。比如,M N两点之间的距离不能说 成是线段MN,而应说成线段MN的长度。
9、连接两点的线有无数条,线段的长度最短。连线是指以两个点为端点的任意线,包括线段,折线和曲 线。连接 AB是指画线段AB。 【例 1-1】已知线段5ABcm,在线段AB上截取2BCcm,则AC 【例 1-2】如图是,A B两地之间的公路,在公路工程改造时,为使,A B两地行程最短,请在图中画出改造 后的公路,并说明你的理由。 BA 2. 线段的画法 ( 1)尺规作图法 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段 a。 MBA a 如图,其作法是:画射线AM;在射线AM上用圆规截取线段ABa,则线段AB就是所求 作的线段。 上面作法中的“截取”是指以点A为圆心,以a的长度为半径画弧,角射线AM于点B;尺规
10、作图 要保留作图痕迹,最后要指出所求作的图形;注意画线段时,不要向任何一方延伸。 ( 2)度量法 用刻度尺画一条线段等于已知线段a。画法是:先用刻度尺量出已知线段a的长度,再画一条线段, 使其长度等于线段a的长度。 延伸拓展线段和差的画法 已知两条线段, ()a b ab。这两条线段和的画法是:先画线段ABa;在线段AB的延长线上截 取BCb,则线段AC就是线段,a b的和,即ACab,如图 1. 两条线段差的画法:先画线段ABa;再在线段AB上截取ACb,则线段BC就是线段,a b的 差,即BCab,如图 2. 图2 图1 a b CBA b a b CBA a 【例 2】已知线段, (2)
11、a bab,用直尺和圆规作一条线段,使这条线段等于 2ab。 b a 3. 线段的中点 线段的中点:把线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。 M A B 如图,M为线段AB的中点,则 1 2 AMBMAB或22ABAMBM。 延伸拓展 类似的,还有线段的三等分点、四等分点等。 三等分点,把线段分成相等的三条线段叫做线段的三等分点; 四等分点,把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点; n四等分点,把线段分成相等的n四条线段叫做线段的n四等分点; 【例 3】若P是线段CD的中点,则() A.CPCDB.CPDPC.CDPDD.CPPD 4. 线段长短的比较 借助不同的方法比较两条线段的长短
12、。 【例 4-1】如图,若ABCD,则AC与BD的大小关系是() D CAB 【例 4-2】已知三角形 ABC,试比较ACBC与AB的大小关系。 C B A 5. 线段的有关计算 线段的有关计算是以后学习几何知识的前提。 【例5-1】 如图所示,已知 :3: 2: 4AB BC CD ,,E F分别是,AB CD的中点,且 22EFcm,求 ,AB BC CD的长。 DFCBE A 【例 5-2】如图,已知点C在线段AB上,线段6,4ACcm BCcm,点,M N分别是,AC BC的中点。 (1)求线段MN的长度; (2)根据第( 1)题的计算过程和结果,设ABa,其他条件不变,你能猜出MN的
13、长度吗?请表述你 发现的规律。 BNCM A 6. 线段性质的应用 线段的性质在生活和生产中应用非常广泛,可以根据“两点之间,线段最短”确定位置。 【例6-1】某地区有,A B C D四个村庄如图所示,为了解决当地的缺水问题,政府准备投资修建一个蓄 水池,不考虑其他因素,请你帮忙画出蓄水池 O的位置,使它与四个村庄的距离之和最小。 D C B A 【例6-2】如图所示,有一个正方体纸盒ABCDA B C D,在点C处有一只小虫,它要爬到A点处 吃食物,应该沿着怎样的路线,才能使行程最短?你能设计出这条路线吗? DC B A D C BA 7. 易错辨析 【例 7-1】若 1 2 ACAB,则点
14、C是线段AB的中点,这种说法正确吗?为什么? 【例 7-2】已知线段8ABcm,点C在直线AB上,且3BCcm, 点M为线段AC的中点, 求线段MC 的长度。 4.3 角 1角的定义 (1)静态定义: 由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角如图甲 角的有关概念: 顶点: 两条射线的公共端点 边: 组成角的两条射线 (2)动态定义: 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形如图乙 谈重点角的理解 (1)角有两个特征:角是由两条射线组成的;这两条射线有公共的端点 (2)角的大小与角的两边的长短无关:由于角的两边是射线,而射线是向一方无限延伸的,所以角的大 小与角的两边的长短无
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- 北师大 初一 数学 讲义 第四 基本 平面 图形
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