北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总.pdf
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1、图 1 北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总 第一章直角三角形边的关系 一 . 正切: 定义:在 RtABC 中,锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切 ,记作 tanA,即 的邻边 的对边 A A Atan; tanA 是一个完整的符号,它表示A 的正切,记号里习惯省去角的符号“ ” ; tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A 的对边与邻边的比; tanA 不表示 “tan”乘以“A”; 初中阶段,我们只学习直角三角形中,A 是锐角的正切; tanA 的值越大,梯子越陡, A 越大; A 越大,梯子越陡, tanA 的值越大。 二. 正弦 : 定义: 在 RtABC 中,
2、 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦, 记作 sinA, 即 斜边 的对边A Asin; 三. 余弦: 定义: 在 RtABC中, 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦, 记作 cosA, 即 斜边 的邻边A Acos; 余切: 定义: 在 RtABC 中, 锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切,记作 cotA, 即 的对边 的邻边 A A Acot; 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 (通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的 三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若A 为锐角,则
3、)90cos(sinAA;)90sin(cosAA )90cot(tanAA;)90tan(cotAA 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成 的锐角称为俯角 利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当 角度在 0 90间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小 )而增大 (或减小 );余弦值、余切值随着角度的 增大 (或减小 )而减小 (或增大 )。(2)0sin1,0cos 1。 同角的三角函数间的关系: 倒数关系: tg ctg=1。 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外
4、的已知元素,求 出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 在 ABC 中, C 为直角, A、B、 C 所对的边分别为a、b、c,则有 (1)三边之间的关系: a 2+b2=c2; (2)两锐角的关系: AB=90; 0o30 o45 o60 o90 o sin0 2 1 2 2 2 3 1 cos1 2 3 2 2 2 1 0 tan0 3 3 1 3 cot31 3 3 0 图 3 图 4 (3)边与角之间的关系: ;cot,tan,cos,sin a b A b a A c b A c a A ;cot,tan,cos,sin b a B a b B c a B c b B (4)面积公
5、式 :chcab 2 1 2 1 S(hc 为 C 边上的高 ); (5)直角三角形的内切圆半径 2 cba r (6)直角三角形的外接圆半径cR 2 1 解直角三角形的几种基本类型列表如下: 解直角三角形的几种基本类型列表如下: 如图 2,坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比 )。用字母 i 表示,即A l h itan 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角 。如图 3,OA、OB、OC 的方位 角分别为 45、135、225。 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫做方向角 。如图 4,OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是;北偏东30,南偏东 4
6、5(东南方向 )、南偏西为 60,北偏西 60。 第二章二次函数 二次函数的概念:形如)0( 2 ,aa、 b、cbxaxy是常数的函数,叫做x 的二次函数 。自变量的取值范 围是全体实数。)0( 2 aaxy是二次函数的特例,此时常数b=c=0. 在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值 范围 。 二次函数yax 2 的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线 。 描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x 轴的交点等方面 来描述。 函数的定义域是全体实数; 抛物线
7、的顶点在 (0,0),对称轴是 y 轴(或称直线 x0)。 图 2 h i=h:l l A B C 当 a0 时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a0 时,抛物线开口向下,并且向下 方无限伸展。 函数的增减性: A、当 a0 时 .,0 ;,0 增大而增大随时 增大而减小随时 xyx xyx B、当 a0 时 .,0 ;,0 增大而减小随时 增大而增大随时 xyx xyx 当 a越大,抛物线开口越小;当a越小,抛物线的开口越大。 最大值或最小值:当a0,且 x0 时函数有最小值,最小值是0;当 a0,且 x0 时函数有最大值,最大值是 0 二次函数caxy 2 的图象是一条顶点在y 轴上
8、且与y 轴对称的抛物线 二次函数cbxaxy 2 的图象是以 a b x 2 为对称轴,顶点在( a b 2 , a bac 4 4 2 )的抛物线。(开 口方向和大小由 a来决定) |a| 的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴,y 随 x 增长(或下降)速度越快;|a| 的越 小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴,y 随 x 增长(或下降)速度越慢。 二次函数caxy 2 的图象中, a 的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c 决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。 二次函数cbxaxy 2 的图象与 yax 2 的图象的关系: cbxaxy
9、2 的图象可以由 yax 2 的图象平移得到,其步骤如下: 将cbxaxy 2 配方成khxay 2 )(的形式;(其中h= a b 2 ,k= a bac 4 4 2 ); 把抛物线 2 axy向右( h0)或向左( h0)或向下(k0,则当 x a b 2 时,y 随 x 的增大而增大。 若 a a b 2 时,y 随 x 的增大而减小。 最值:若 a0,则当 x= a b 2 时, a bac y 4 4 2 最小 ;若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点; acb4 2 =0 抛物线与 x 轴有 1 个交点; acb4 2 抛物线与 x 轴有 0 个交点(无交点); 当acb4 2
10、0 时,设抛物线与 x 轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离: 21 2 21 2 122 4)()(| 1xxxxxxxxAB 化简后即为:)04( | 4 | 2 2 acb a acb AB - 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的距离公 式。 第三章圆 一. 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义: 描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋 转所形成的圆形叫做圆;固定的端点 O 叫做圆心 ;线段 OA 叫做半径 ;以点 O 为 圆心的圆,记作 O,读作“圆 O” 集合性定义: 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ,
11、定长叫做圆的半 径 ,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆 。 对圆的定义的理解:圆是一条封闭曲线,不是圆面; 圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。 2. 点与圆的位置关系及其数量特征: 如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为d,则 点在圆上 d=r; 点在圆内 d dr. 其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定 点、的距离相等。 二. 圆的对称性 : 1. 与圆相关的概念: 弦和直径: 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦 。 直径:经过圆心的弦叫做直径 。 弧、半圆、优弧、劣弧: 弧:圆上任意两点间的部
12、分叫做圆弧,简称弧 ,用符号“”表示,以CD 为端点的弧记为“” ,读 作“圆弧 CD”或“弧CD” 。 半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆 。 优弧:大于半圆的弧叫做优弧 。 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧 。 (为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。 ) 弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 。 同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆 。 等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 。 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 . 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距 . 2. 圆是轴对称图形,直径所在的直线是它
13、的对称轴,圆有无数条对称轴。 3. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备: 过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4. 定理:在同圆或等圆中 ,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那 么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三. 圆周角和圆心角的关系 : 1
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