双曲线.pdf
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1、1 双曲线 1 12 | 2PFPFa 2标准方程: 22 22 1 xy ab 3 1 1 | 1 PF e d 4点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除 去长轴的两个端点. 6以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切 . 8设 A1、A2为双曲线的左、右顶点,则 PF1F2在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直 线切于 A2(或 A1). 9双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b
2、0)的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10若 000 ( ,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)上,则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 (,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab (a 0,b0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2, 则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是双曲线 22 22 1 xy ab
3、 (a0,b0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 2 2 OMAB b kk a . 13 若 000 (,)P xy在 双 曲 线 22 22 1 xy ab ( a 0,b 0) 内 , 则 被Po 所平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14 若 000 (,)P xy在 双 曲 线 22 22 1 xy ab ( a 0,b 0 ) 内 , 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15 若PQ是 双 曲 线 22 22 1 xy ab (
4、b a 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 122222 12 1111 (|,|)rOPrOQ rrab . 16若双曲线 22 22 1 xy ab (ba 0)上中心张直角的弦L 所在直线方程为1AxBy(0)AB, 则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 | a Ab B L a Ab B . 17给定双曲线 1 C: 222222 b xa ya b(ab0), 2 C: 22 22222 22 () ab b xa yab ab ,则(i)对 1 C上 2 任意给定的点 000 (,)P xy,它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点
5、M( 2222 002222 (,) abab xy abab . (ii) 对 2 C上任一点 000 (,)Pxy在 1 C上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 0 P点. 18设 000 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)上一点, P1P2为曲线 C 的动弦 ,且弦 P0P1, P0P2斜 率存在,记为k1, k 2, 则直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m的充要条件是 2 12 2 1 1 m b kk m a . 19过双曲线 22 22 1 xy ab (a0,bo)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直
6、线交双曲线于 B,C 两点,则直线BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y (常数) . 20 双曲线 22 22 1 xy ab (a0,bo) 的左右焦点分别为F1, F 2, 点 P为双曲线上任意一点 12 F PF, 则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co, 2 222 (tan,cot) 22 ab Pcb cc . 21 若 P为双曲线 22 22 1 xy ab ( a0,b0) 右 (或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , 12 PF F, 21 PF F,则tant 22 ca co ca (或tant 22 ca c
7、o ca ). 22双曲线 22 22 1 xy ab (a0,bo)的焦半径公式:( 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c 当 00 (,)M xy在右支上时, 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时, 10 |MFexa, 20 |MFexa. 23若双曲线 22 22 1 xy ab ( a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,则当 1e21时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1是 P到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 24 P 为双曲线 22 22 1 xy ab ( a 0,b 0)上任一点,F1,F2为二焦点,
8、A 为双曲线内一定点,则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A F P三点共线且P和 2 ,A F在 y 轴同侧时,等号成立. 25双曲线 22 22 1 xy ab ( a 0,b 0)上存在两点关于直线l: 0 ()yk xx对称的充要条件是 222 2 0222 ()ab x ab k . 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直 . 28P 是双曲线 sec tan xa yb (a 0,b0)上一点,则点P 对双
9、曲线两焦点张直角的充要条件是 2 2 1 1tan e. 29 设 A,B 为双曲线 22 22 xy k ab (a0,b 0,0,1kk) 上两点,其直线 AB 与双曲线 22 22 1 xy ab 3 相交于,P Q,则APBQ. 30在双曲线 22 22 1 xy ab 中,定长为2m(m)0)的弦中点轨迹方程为 22 22 2 22 22 1 () cossin xy ab m ab ,其中 22 22 tan b x a y ,当0y时, 90. 31设 S 为双曲线 22 22 1 xy ab ( a0,bo)的通径,定长线段L 的两端点A,B 在双曲线上移动,记 |AB|=l,
10、 00 (,)M xy是 AB 中点,则当lS时,有 2 0min () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS时, 有 22 0min ()4 2 a xbl b . 32 双 曲 线 22 22 1 xy ab ( a 0,b 0 ) 与 直 线0A xB yC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 22222 A aB bC. 33双曲线 22 00 22 ()() 1 xxyy ab (a0,b 0)与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b 0)的两个焦点为F1、
11、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一 点,在 PF1F2中,记 12 F PF, 12 PF F, 12 F F P,则有 sin (sinsin) c e a . 35经过双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b 0)的实轴的两端点A1和 A2的切线,与双曲线上任一点的切 线相交于 P1和 P2,则 2 12 | |PAPAb. 36已知双曲线 22 22 1 xy ab (ba 0) ,O 为坐标原点, P、Q 为双曲线上两动点,且OPOQ. (1) 2222 1111 |OPOQab ;(2)|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 22 22 4a b ba ;(3) OPQ S
12、 的最小值是 22 22 a b ba . 37MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab ( a0,b0)过焦点的任一弦(交于两支 ),若 AB 是经过双曲线中 心 O 且平行于MN 的弦,则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab (ab0)焦点的任一弦(交于同支 ),若过双曲线中心O 的半弦 OPMN,则 222 2111 |a MNOPab . 39设双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0),M(m,o) 为实轴所在直线上除中心,顶点外的任一点,过M 引 一条直线与双曲线相交于P、Q 两点,则直线A1P、 A2Q(A1 ,A2为两顶
13、点 )的交点 N 在直线l: 2 a x m 上. 40设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点,则 MF NF. 41过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q 4 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MFNF. 42设双曲线方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为k(k 0)的平行弦的中点必在直线l:ykx的共轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43 设 A、 B、 C、 D 为双曲线 22
14、 22 1 xy ab (a0,bo) 上四点 ,AB 、 CD 所在直线的倾斜角分别为,, 直线 AB 与 CD 相交于 P, 且 P 不在双曲线上 ,则 2222 2222 | |cossin | |cossin PAPBba PCPDba . 44已知双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0) ,点 P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点, 12 F PF的外(内) 角平分线为l,作 F1、F2分别垂直l于 R、S,当 P 跑遍整个双曲线时,R、S 形成的轨迹方程是 222 xya( 322224223222 ()()() ()a b xcabxb ca cxc yab c y
15、). 45设 ABC 三顶点分别在双曲线上,且 AB 为的直径,l为 AB 的共轭直径所在的直线,l分 别交直线 AC 、BC 于 E和 F,又 D 为l上一点,则CD 与双曲线相切的充要条件是D 为 EF 的中点 . 46过双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦 MN 的 垂直平分线交x 轴于 P,则 | |2 PFe MN . 47设 A(x1 ,y1)是双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)上任一点,过A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线 L, 又设 d 是原点到直线L 的距离 , 12 ,r
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