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1、四年级培优数学 暑假班 第 1 讲算式谜 专题简析: 解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点: 1认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局 部判断; 2利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字; 3试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的 目的; 4算式谜解出后,要验算一遍。 例 1:在下面的方框中填上合适的数字。 7 6 18 3 1 0 分析:由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并 结合第一个因数与5 相乘的积的情况考虑, 可推出第一人个因数的百位是3;由第一个 因数为 376 与
2、积为 310,可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填 了。 练 习 一 在里填上适当的数。 (1)6 (2) 2 (3)2 8 5 3 5 6 3 3 0 4 1 2 1 8 7 0 9 例 2:在下面方框中填上适合的数字。 分析:由商的十位是1,以及 1 与除数的乘积的最高位是1 可推知除数的十位是1。由 第一次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是 7,除数的 个位是 0,那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽;只 有当被除数的十位是9 时,除数的个位是2 时,商的个位为6,正好除尽。 完整的竖式是: 练 习 二 在内填入适当的数
3、字,使下列除法竖式成立。 例 3:下面算式中的a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字? a b c d 9 d c b a 分析:因为四位数 abcd乘 9 的积是四位数, 可知 a 是 1;d 和 9 相乘的积的个位是 1,可知 d 只能是 9;因为第二个因数 9 与第一个因数百位上的数b 相乘的积不能进位, 所以 b 只能是 0(1 已经用过);再由b=0,可推知 c=8。 练 习 三 求下列各题中每个汉字所代表的数字。 (1) 1 华 罗 庚 金 杯 3 华= 罗= 庚= 华 罗 庚 金 杯1 金= 杯= (2) 盼 望 祖 国 早 日 统 一 一盼= 望= 祖= 国= 盼 盼 盼 盼
4、 盼 盼 盼 盼 盼早= 日= 统= 一= 例 4:在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中间加上“、”两种运算符号, 使其结果等于 100(数字的顺序不能改变)。 12 3 4 5 6 7 8 9 = 100 分析:先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数。 比如: 123 与 100 比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23 就 行。因为 45与 67 相差 22,8 与 9 相差 1,所以得到一种解法: 123456789=100 再比如: 89 与 100 比较接近, 78 与 67 正好相差 11,所此可得另一种解法:123 4567
5、89=100 练 习 四 (1)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100(数字的 顺序不能改变)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 (2)添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100 例 5:在下面的式子里添上括号,使等式成立。 791232 = 23 分析:采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的 结果减 2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为 253=75,而前面 7912 又正 好等于 75,所以,应给前面两步运算加括号。 (7912)32 = 23 练 习 五 在下面的式子里添上括号,使等式
6、成立。 883311112 = 5 第 2 讲变化规律 例 1:两数相减,被减数减少8,要使差减少 12,减数应有什么变化? 分析与解答:被减数减少8,假如减数不变,差也减少8;现在要使差减少 12,减数应 增加 128=4。 练 习 一 1、两数相减,如果被减数增加20,要使差减少 12,减数应有什么变化? 2、两数相减,减数减少9,要使差增加 16,被减数应有什么变化? 例 2:两个数相除,商是8,余数是 20,如果被除数和除数同时扩大10 倍,商是 多少?余数是多少? 分析与解答:两数相除,被除数和除数同时扩大相同的倍数,商不变,余数扩大相同 的倍数。所以商是8,余数是 2010=200
7、。 练习二 1、两个数相除, 商是 9,余数是 3。如果被除数和除数同时扩大120 倍,商是多少? 余数是多少? 2、两个数相除, 商是 8,余数是 600。如果被除数和除数同时缩小100倍,商是多少? 余数是多少? 例 3:两数相乘,积是48。如果一个因数扩大2 倍,另一个因数缩小3 倍,那么积是 多少? 分析与解答:一个因数扩大2 倍,积扩大 2 倍;另一个因数缩小3 倍,积缩小 3 倍。 所以最后的积是 4823=32。 练 习 三 1、两数相除,商是 19。如果被除数扩大20 倍,除数缩小 4 倍,那么商是多少? 2、两数相除,商是27。如果被除数扩大12 倍,除数扩大 6 倍,那么商
8、是多少? 例 4:小华在计算两个数相加时,把一个加数个位上的1 错误地写成 7,把另一个加数 十位上的 3 错误地写成 8,所得的和是 1996。原来两个数相加的正确答案是多少? 分析与解答: 根据题意, 一个加数个位上的1 被写成了 7,这样错写一个加数比原来增 加了 6;另一个加数十位上的3 写成 8,增加了 50。这样,所得的结果就比原来增加了 6+50=56。所以,原来两数相加的正确答案是:1996(656)=1940。 练 习 四 1、小强在计算加法时,把一个加数十位上的7 错写成 1,把个位上的 8 错写成 0, 所得的和是 285。正确的和是多少? 2、小亮在计算加法时,把一个加
9、数个位上的5 错写成 3,把另一个加数十位上的 3 错写成 8,所得的和是 650。正确的和是多少? 例 5:王霞在计算题时,由于粗心大意,把被减数个位上的3 错写成 5,把十位上的 6 错写成 0,这样算得差是189。正确的差是多少? 分析与解答:根据题意,被减数个位上的3 写成 5,因此增加了 2;十位上的 6 写成 0, 因此减少 60。这样错写的被减数比原来减少了602=58。因为减数不变,根据差的变 化规律,正确的差要比错误的差多50。正确的差是: 18958=247。 练 习 五 1、小刚在做题时,把减数个位上的9 错写成 6,把十位上的 3 错写成 8,这样算得 的差是 268。
10、正确的差是多少? 2、小红在做题时,把被减数十位上的0 错写成 8,把减数个位上的8 错写成 3,这样 算得的差是 632。正确的差是多少? 第 3 讲较复杂的和差倍问题 专题简析: 前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题,有的题目需要通过转化而成为和 倍、差倍、和差问题,这类问题叫做复杂的和差倍问题。 解答较复杂的和差倍问题,需要我们从整体上把握住问题的本质,将题目进行合 理的转化,从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。 例 1:两箱茶叶共重 96 千克,如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱,那么乙箱的千克数是 甲箱的 3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克? 分析与解答:由“
11、两箱茶叶共重96 千克,如果从甲箱取出12 千克放入乙箱,那么乙 箱的千克数是甲箱的3 倍”可求出现在甲箱中有茶叶96(13)=24 千克。由此可 求出甲箱原来有茶叶2412=36千克,乙箱原来有茶叶9636=60千克。 练习一 1、甲、乙两人共储蓄2000 元,甲取出 160 元,乙又存入240 元,这时甲储蓄的 钱数比乙的 2 倍少 20 元。甲、乙两人原来各储蓄多少元? 2、某畜牧场共有绵羊和山羊3561 只,后来卖了 60 只绵羊,又买来山羊100只, 现在绵羊的只数比山羊的2 倍多 1 只。原来绵羊和山羊各有多少只? 例 2:甲、乙、丙三个同学做数学题,已知甲比乙多做5 道,丙做的是
12、甲的 2 倍,比乙 多做 20 道。他们一共做了多少道数学题? 分析与解答:甲比乙多5 道,丙比乙多20 道,丙做的是甲的2 倍,因此, 205=15 道是丙的一半,也就是甲做的道数。丙做了152=30 道,乙做了 155=10 道。他们 共做了:( 205)(12)(205)5=55 道。 练习二 1、甲、乙、丙三个人合做一批零件,甲比乙多做12 个,丙做的比甲的2 倍少 20 个,比乙做的多 38 个。这批零件共有多少个? 2、果园里的苹果树是桃树的3 倍,管理员每天能给25 棵苹果树和 15 棵桃树洒农 药。几天后,当桃树喷完农药时, 苹果树还有 140棵没有喷药。 果园里共有多少棵树?
13、 例 3:某工厂一、二、三车间共有工人280 人,第一车间比第二车间多10 人,第二车 间比第三车间多 15 人。三个车间各有工人多少人? 分析与解答:这是多量的和差问题,解题的时候确定的标准不同,解法也就不同。如 果以第二车间的人数为标准,第一车间减少10 人,第三车间增加 15 人,那么 28010 15=285人是第二车间人数的3 倍,由此可以求出第二车间有2853=95 人,第一车 间有 9510=105人,第三车间有9515=80人。 练习三 1、一个三层柜台共放皮鞋120 双,第一层比第二层多放4 双,第二层比第三层多7 双, 三层各多皮鞋多少双? 2、四个数的和是152,第一个数
14、比第二个数多16,比第三个数多20,比第四个数少 12。第一个数和第四个数是多少? 例 4:两个数相除,商是4,被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少? 分析与解答:从 124里去掉商,是 1244=120,它是除数的 14=5 倍,除数是 120 5=24,被除数是 244=94。 练习四 1、两个数相除,商是5,余数是 7,被除数、除数、商、余数的和是187,求被除数。 2、两个数相除,商是17,余数是 8,被除数、除数、商和余数的和是501,求被除 数和除数是多少。 例 5:甲的存款是乙的4 倍,如果甲取出 110元,乙存入 110 元,那么乙的存款是甲的 3 倍。甲、乙原来
15、各有存款多少元? 分析与解答:由“乙存入110 元,甲取出 110 元”,可知乙存入110 元后相当于甲存 款数的 3 倍,取出 1103=330元;而由甲的存款是乙的4 倍,可知甲原有存款的3 倍 相当于乙原有存款的43=12 倍,乙现在存入110元后相当于甲原有的12 倍,取 110 3=330元,所以, 330110=440元,相当于乙原有的121=11 倍。所以,乙原有存 款 44011=40 元,甲原有存款404=160元。 练习五 1、刘叔叔的存款是李叔叔的6 倍,如果刘叔叔取出1100元,李叔叔存入 1100 元, 那么刘叔叔的存款是李叔叔的2 倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少
16、元? 2、有大、中、小三筐菠萝,小筐装的是中筐的一半,中筐比大筐少装16 千克,大筐 装的是小筐的 4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克? 第 4 讲错中求解 专题简析: 在加、减、乘、除式的计算中,如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错, 就会导致计算结果发生错误。这一周,我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的 结论。 例 1:小玲在计算除法时,把除数65 写成 56,结果得到的商是13,还余 52。正确的 商是多少? 分析与解答:要求出正确的商,必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得 数,求出被除数: 135652=780。所以,正确的商是: 78065=12。 练习一 1
17、、甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12 去除,蜜蜜用 15 去除,甜甜得到 的商是 32 还余 6,蜜蜜计算的结果应该是多少? 2、小虎在计算除法时,把被除数1250 写成 1205,结果得到的商是48,余数是 5。正 确的商应该是多少? 例 2:小芳在计算除法时,把除数32 错写成 320,结果得到商是48。正确的商应该是 多少? 分析与解答:根据题意,把除数32 改成 320 扩大到原来的 10 倍,又因为被除数不变, 根据商的变化规律,正确的商应该是错误商的10 倍。 所以正确的商应该是4810=480。 练习二 1、小马在计算除法时,把被除数1280 误写成 12800,得到的商
18、是32。正确的商应 该是多少? 2、小欣在计算除法时,把被除数420 错写成 240,结果得到商是 48。正确的商应该 是多少? 例 3:小冬在计算有余数的除法时,把被除数137 错写成 173,这样商比原来多了3, 而余数正好相同。正确的商和余数是多少? 分析与解答:因为被除数137被错写成了 173,被除数比原来多了173137=36,又因 为商比原来多了 3,而且余数相同, 所以除数是 363=12。又由 13712=115,所 以余数是 5。 练习三 1、李明在计算有余数的除法时,把被除数171 错写成 117,结果商比原来少了3, 而余数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。 2、
19、刘强在计算有余数的除法时,把被除数137 错写成 174,结果商比原来多3,余数 比原来多 1。求这道除法算式的除数和余数。 例 4:小龙在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字4 错当作 1,乘得的结 果是 525,实际应为 600。这两个两位数各是多少? 分析与解答:一个因数的个位4 错当作 1,所得的结果比原来少了( 41)个另一个因 数;实际的结果与错误的结果相差600525=75,753=25,60025=24。所以一个 因数是 24,另一个因数是 25。 练习四 1、小菊做两位数乘两位数的乘法时, 把一个因数的个位数字1 误写成 7, 结果得 646, 实际应为 418。这两
20、个两位数各是多少? 2、李晓在计算两位数乘两位数的题目时,把一个因数十位上的3 误当作 8,结果 得 2150,这道题的正确积应是900。这两个两位数各是多少? 例 5:方方和圆圆做一道乘法式题,方方误将一个因数增加14,计算的积增加了84, 圆圆误将另一个因数增加14,积增加了 168。那么,正确的积应是多少? 分析与解答:由“方方将一个因数增加14,计算结果增加了 84”可知另一个因数是84 14=6;又由“圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168”可知,这个因数是168 14=12。所以正确的积应是126=72。 练习五 1、两个数相乘,如果一个因数增加3,另一个因数不变,那么积增加1
21、8;如果一个 因数不变,另一个因数减少4,那么积减少 200。原来的积是多少? 2、小敏在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字5 误写成 3,得出的 乘积是 552;另一个学生却把这个5 写成 8,得出的乘积是 672。正确的乘积是多少? 第 5 讲图形问题 专题简析: 解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点: 1、细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决; 2、从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽 的数量关系明朗化。 例 1:人民路小学操场长90 米,宽 45 米。改造后,长增加10 米,宽增加 5 米。现在 操场面积比原来
22、增加了多少平方米? 分析与解答:用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积。操场现在 的面积是(90+10)(45+5)=5000 平方米,操场原来的面积是9045=4050平方米。 所以,现在的面积比原来增加50004050=950平方米。 练 习 一 1、一块长方形铁板,长18 分米,宽 13 分米。如果长和宽各减少2 分米,面积比 原来减少多少平方分米? 2、一块长方形地,长是80 米,宽是 45 米。如果把宽增加 5 米,要使面积不变,长 应减少多少米? 例 2:一个长方形,如果宽不变,长增加6 米,那么它的面积增加54 平方米;如果长 不变,宽减少 3 米,那么它的面积减少
23、36 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方 米? 分析与解答: 由“宽不变,长增加 6 米,面积增加 54 平方米”可知,它的宽为 546=9 米;由“长不变,宽减少3 米,面积减少 36 平方米”可知,它的长为363=12 米。 所以,这个长方形原来的面积是129=108 平方米。 练习二 1、一个长方形,如果宽不变,长增加5 米,那么它的面积增加30 平方米;如果 长不变,宽增加 3 米,那么它的面积增加48 平方米。这个长方形原来的面积是多少平 方米? 2、一个长方形,如果它的长减少3 米,或它的宽减少2 米,那么它的面积都减少36 平方米。求这个长方形原来的面积。 例 3:下图是一个
24、养禽专业户用一段16 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占 地面积。 墙4米 分析与解答:根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加一条宽等于16 米。而宽是 4 米,那么长是( 164)2=6 米,占地面积是 64=24 平方米。 练 习 三 1、用 56 米长的木栏围成长或宽是20 米的长方形,其中一边利用围墙,怎样才能使 围成的面积最大? 2、用 15 米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃,其中一面利用着墙。 如果每边的长度都是整数,怎样才能使围成的面积最大? 例 4:街心花园中一个正方形的花坛四周有1 米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是 12 平方米,中间花坛的面积是多少平方
25、米? 分析与解答:把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。因此,一个长方形的 面积是 124=3 平方米。因为水泥路宽1 米,所以小长方形的长是31=3 米。从图中 可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是31=2米。 中间花坛的面积是22=4 平方米。 练习一 第2题 4 1、四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形(如上图),大正方 形的面积是 64 平方米,小正方形的面积是4 平方米,长方形的短边是多少米? 2、已知大正方形比小正方形的边长多4 厘米,大正方形的面积比小正方形面积大96 平方厘米(如下图)。问大小正方形的面积各是多少? 96平方厘
26、米 4 4 例 5: 一块正方形的钢板, 先截去宽 5 分米的长方形,又截去宽 8 分米的长方形(如图), 面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少? 分析与解答:把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上 长、宽分别是 8 分米、5 分米的小长方形, 这个拼合成的长方形的面积是181+85=221 平方分米,长是原来正方形的边长, 宽是 8+5=13 分米。所以,原来正方形的边长是221 13=17分米。 练习五 1、一个长方形的木板,如果长减少5 分米,宽减少 2 分米,那么它的面积就减少 66 平方分米,这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的
27、面积。 2、一块正方形的的玻璃,长、宽都截去8 厘米后,剩下的正方形比原来少448 平 方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大? 第 6 讲 巧妙求和 专题简析: 某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否 求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适 当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。 例 1:刘俊读一本长篇小说,他第一天读30 页,从第二天起,他每天读的页数都前一 天多 3 页,第 11 天读了 60 页,正好读完。这本书共有多少页? 分析与解答:根据条
28、件“他每天读的页数都比前一天多3 页”可以知道他每天读的页 数是按一定规律排列的数,即30、33、36、57、60。要求这本书共多少页也就是 求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11,因此可以很 快得解: (3060)112=495(页) 想一想:如果把“第11 天”改为“最后一天”该怎样解答? 练习一 1、胡茜读一本故事书,她第一天读了20 页,从第二天起,每天读的页数都比前 一天多 5 页。最后一天读了50 页恰好读完,这本书共有多少页? 2、丽丽学英语单词,第一天学会了6 个,以后每天都比前一天多学1 个,最后一 天学会了 16 个。丽丽在这些天中学会了多
29、少个英语单词? 例 2:30 把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次? 分析与解答:开第一把锁时,如果不凑巧,试了29 把钥匙还不行,那所剩的一把就一 定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29 次;同理,开第二把锁至多需试28 次, 开第三把锁至多需试27 次等打开第 29 把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打 开。所以,至多需试292827 21=(291)292=435(次)。 练习二 1、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28 次,就能使每把锁都配上自己的钥 匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 2、有 10 只盒子,44 只羽毛球。能不能把44 只羽毛球放到盒子中去,使
30、各个盒子 里的羽毛球只数不相等? 例 3:某班有 51 个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次 手? 分析与解答:假设51 个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50 次, 第二个依次和剩下的人握手,共握了49 次,第三个人握了48 次。依次类推,第 50 个 人和剩下的一人握了1 次手,这样,他们握手的次数和为: 504948 21=(501)502=1275(次) 练习三 1、在一次同学聚会中,一共到43 位同学和 4 位老师,每一位同学或老师都要和 其他同学握一次手。那么一共握了多少次手? 2、假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78 次电
31、话,问有多 少位同学相约互通电话? 例 4:求 1 99 这 99 个连续自然数的所有数字之和。 分析与解答:首先应该弄清楚这题是求99 个连续自然数的数字之和,而不是求这99 个数之和。为了能方便地解决问题,我们不妨把0 算进来(它不影响我们计算数字之 和)计算 099这 100个数的数字之和。这100 个数头尾两配对后每两个数的数字之和 都相等,是 9+9=18,一共有 1002=50 对,所以, 199 这 99 个连续自然数的所有数 字之和是 1850=900。 练习四 1、求 1999这 999个连续自然数的所有数字之和。 2、求 13000 这 3000个连续自然数的所有数字之和。
32、 第 7 讲还原问题 专题简析: 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果,要求原数,这类问题叫做还 原问题,还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法 。 遇到比较复杂的还原问题,可以借助画图和列表来解决这些问题。 例 1: 小刚的奶奶今年年龄减去7 后,缩小 9 倍,再加上 2 之后,扩大 10 倍,恰好是 100岁。小刚的奶奶今年多少岁? 分析与解答: 从最后一个条件恰好是100 岁向前推算,扩大10 倍后是 100 岁,没有扩大 10 倍 之前应是 10010=10岁;加上 2 之后是 10 岁,没有加 2 之前应是 102=8 岁;没有 缩小 9 倍之前应是 89=72
33、岁;减去 7 之后是 72 岁,没有减去 7 前应是 727=79岁。 所以,小刚的奶奶今年是79 岁。 练习一 1、在里填上适当的数。 20 816=26 2、一个数的 3 倍加上 6,再减去 9,最后乘上 2,结果得 60。这个数是多少? 例 2: 某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10 台,下午售出剩下的一半多20 台,还剩 95 台。这个商场原来有洗衣机多少台? 分析与解答: 从“下午售出剩下的一半还多20 台”和“还剩 95 台”向前倒推,剩下的95 台和 下午多卖的 20 台合起来,即 9520=115 台正好是上午售后剩下的一半,那么115 2=230 台就是上午售出后剩下的
34、台数。而230 台和 10 台合起来,即 23010=240 台又 正好是总数的一半。那么,2402=480台就是原有洗衣机的台数。 练习二 1、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1 个,第二天吃了剩 下的一半多 1 个,第三天又吃掉了剩下的一半多1 个,还剩下 1 个。爸爸买了多少个 橘子? 2、某水果店卖菠萝,第一次卖掉总数的一半多2 个,第二次卖掉了剩下的一半多 1 个,第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1 个,这时只剩下一个菠萝。三次共卖得 48 元,求每个菠萝多少元? 例 3: 小明、小强和小勇三个人共有故事书60 本。如果小强向小明借3 本后,又借给 小勇 5 本,结
35、果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本? 分析与解答: 不管这三个人如何借来借去,故事书的总本数是60 本,根据结果三个人故事书本 数相同,可以求最后三个人每人都有故事书603=20本。如果小强不借给小勇5 本, 那么小强有 205=25 本,小勇有 205=15 本;如果小强不向小明借3 本,那么小强 有 253=22 本,小明有 203=23 本。 练习三 1、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90 张。如果甲给乙3 张后,乙又送给丙5 张,那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张? 2、小红、小丽、小敏三个人各有年历若干张。如果小红给小丽13 张,小
36、丽给小 敏 23 张,小敏给小红 3 张,那么他们每人各有40 张。原来三个人各有年历多少张? 例 4: 甲、乙两桶油各有若干千克, 如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶, 再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,这时两桶油恰好都是36 千克。问两桶油原 来各有多少千克? 分析与解答: 如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,甲桶内应有油362=18千克, 乙桶应有油3618=54 千克;如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶,乙 桶原有油应为 542=27 千克,甲桶原有油1827=45 千克。 练习四 1、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个,如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙,
37、 再按丙现有的个数给丙之后,乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后,丙也按 同样的方法给甲、乙,这时,他们三个人都有32 个玻璃球。原来每人各有多少个? 2、书架上分上、中、下三层,共放192 本书。现从上层出与中层同样多的书放到 中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层剩下的同样 多的书放到上层,这时三书架所放的书本数相等。这个书架上、中、下各层原来各放 多少本书? 例 5: 两只猴子拿 26 个桃,甲猴眼急手快,抢先得到,乙看甲猴拿得太多,就抢去一 半;甲猴不服,又从乙猴那儿抢走一半;乙猴不服,甲猴就还给乙猴5 个,这时乙猴 比甲猴多 5 个。问甲猴最初准备拿几个
38、? 分析与解答: 先求出两个猴现在各拿多少,根据“有26 个桃”和“这时乙猴比甲猴多2 个”, 可知乙猴现在拿 (262)2=14 个,甲猴现在拿 2614=12个。甲猴从乙猴那儿抢走 一半,又还给乙猴5 个后有 12 个,如果甲猴不还给乙猴,那么甲猴有125=17 个; 如果甲猴不抢乙猴一半,那么乙猴现在有(2617)2=18个。乙猴看甲猴拿得太多, 抢去甲猴的一半后有18个,如果不抢,那么甲猴最初准备拿(2618)2=16 个。 练习五 1、学校运来36 棵树苗,小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵,小 萍看到小强拿太多了就抢了10 棵,小强不肯,又从小萍那里抢了6 棵,这时小强拿
39、的 棵数是小萍的 2 倍。问最初小强准备拿多少棵? 2、有甲、乙、丙三个数,从甲数中拿出15 加到乙数,再从乙数中拿出18 加到丙 数,最后从丙数拿出12 加到甲数,这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各 是多少? 例 5:求 1209这 209个连续自然数的全部数字之和。 分析与解答:不妨先求0199 的所有数字之和,再求200209 的所有数字之和,然后 把它们合起来。 0199 的所有数字之和为( 1+92)(2002)=1900,200209 的 所有数字之和为 210+1+2+9=65。所以,1209 这 209个连续自然数的全部数字之 和为 1900+65=1965。 练习
40、五 1、求 1308连续自然数的全部数字之和。 2、求 12009 连续自然数的全部数字之和。 3、求连续自然数 20005000的全部数字之和。 第 8 讲盈亏问题 专题简析: 在日常生活中常有这样的问题:一定数量的物品分给一定数量的人,每人多一些, 物品就不够;每人少一些,物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物 品总数和参加分配的人数。 解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。 盈亏问题的数量关系是: (1)(盈亏)两次分配差=份数 (大盈小盈)两次分配差=份数 (大亏小亏)两次分配差=份数 (2)每次分得的数量份数盈=总数量 每次分得的数量份数亏=总数量 例 1:一
41、个植树小组植树。如果每人栽5 棵,还剩 14 棵;如果每人栽 7 棵,就缺 4 棵。 这个植树小组有多少人?一共有多少棵树? 由题意可知,植树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案,结果相差14 4=18棵,即第一种方案的结果比第二种多18 棵。这是因为两种分配方案每人植树的 棵数相差 75=2 棵。所以植树小组有182=9 人,一共有 5914=59棵树。 练习一 1、某校安排宿舍,如果每间6 人,则 16 人没有床位;如果每间8 人,则多出 10 个床位。问宿舍多少间?学生多少人? 2、有一个班的同学去划船, 他们算了一下, 如果增加一条船, 正好每条船坐 6 人; 如果减少一条船,正
42、好每条船坐9 人。问:这个班共有多少学生? 例 2:学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9 支,则缺 45 支;如果每人奖 7 支, 则缺 7 支。三好学生有多少人?铅笔有多少支? 分析与解答:这是两亏的问题。由题意可知:三好学生人数和铅笔支数是不变的。 比较两种分配方案,结果相差457=38 支。这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相 差 97=2 支。所以,三好学生有382=19 人,铅笔有 91945=126 支。 练习二 1、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5 张,则少 32 张;如 果每人发 3 张,则少 2 张。美术兴趣小组有多少名同学?王老师一共有多少张图画纸?
43、2、老师将一些练习本发给班上的学生。如果每人发10 本,则有两个学生没分到; 如果每人发 8 本,则正好发完。有多少个学生?多少本练习本? 例 3:有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种16 棵,还有 24 棵没种;如果每 人种 19 棵,还有 6 棵没有种。问有多少名少先队员?有多少棵树? 分析与解答:这是两盈的问题。由题意可知:少先队员的人数和树的棵数是不变 的。比较两种分配方案,结果相差246=18 棵,这是因为两种分配方案每人种的树相 差 1916=3 棵。所以,少先队员有183=6 名,树有 16624=120棵。 练习三 1、杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。如果每人分7
44、本,还多 7 本;如果 每人分 8 本则正好分完。请算一算,第一小组有几个学生?这叠练习本一共有多少本? 2、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5 支则多 12 支; 如果每人分 8 支还多 3 支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完? 例 4:学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12 人,则 34 人没有位置; 如果每个房间住 14 人,则空出 4 个房间。求学生宿舍有多少间?住宿学生有多少人? 分析与解答:把“每间住14 人,则空出 4 个房间”转化为“每间住14 人,则少 144=56 人”。 比较两种分配方案, 结果相差 3456=90 人, 而每个房间相差
45、1412=2 人。所房间数为 902=45 间,学生人数为 124534=574 人。 练习四 1、育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人,则有 15 人不能乘车;如果每 车多坐 5 人,恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车?有多少学生? 2、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6 人,则少 2 间宿舍;如果每个房间住9 人,则空出 2 个房间。问学生宿舍有多少间?住宿学生有多少人? 例 5:少先队员去植树,如果每人挖5 个树坑,还有 3 个坑没人挖;如果其中2 人各挖 4 个,其余的人各挖6 个树坑,就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑? 分析与解答:如果每人都挖6 个树坑,那么少( 64)2=4 个树坑,两次相差4 3=7 个树坑。这是因为两种分配方案每人挖的相差65=1 个树坑。所以,少先队员 一共有 71=7 人,一共挖 573=38 个树坑。 练习五 1、在一次大扫除中,老师分配若干人擦玻璃。如果其中2 人各擦 4 块,其余每人 擦 5 块,则余 22 块;如果每人擦7 块,则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。 2、小红家买来一篮橘子分给全家人。如果其中二人每人分4 只,其余每人分 2 只, 则多出 4 只;如果其中一人分6 只,其余每人分 4 只,则又缺 12 只。小红家买来多少 只橘子?小红家一共有多少人?
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