《大学线性代数考试模拟试题A.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学线性代数考试模拟试题A.pdf(4页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页 共 4 页 一、 (8 分)计 算 nnnnn aaaba aabaa abaaa D 22222 11111 1111 解: nn cc cc cc ab ab ab D n nn nn 00 00 00 1000 22 11 11 11 1 5 .1 21 2 12 n nn bbb8 二、 (8 分)设 111 111 111 A, , 150 421 321 B求.23BAAAB T 及 解: 3AB-2A= 111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 3= 2294 20172 22132 150 421 321 111 111 111 B
2、A T 092 650 850 三、 (12 分)设 321 011 324 AAB = A + 2B,求 B 解:(A-2E)B=A 所以 B=(A-2E) -1A 4 9122100 692010 683001 ),2(AEA 10 第 2 页 共 4 页 9122 692 683 B 12 四、 (12 分)求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 (1) 32235 122 5 4321 4321 21 xxxx xxxx xx 解对增广矩阵进行初等行变换有 21000 130110 80101 32235 12112 50011 r B6 与所给方程组同解的方程为 2
3、13 8 4 32 31 x xx xx 当x30 时得所给方程组的一个解(8 13 0 2) T 9 与对应的齐次方程组同解的方程为 0 4 32 31 x xx xx 当x31 时得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0) T 12 五、 (10 分)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3已知 123是它的三 个解向量且1( 1 -1 2 5) T 23 (2 -2 3 4) T 求该方程组的通解 解由于方程组中未知数的个数是4系数矩阵的秩为3所以对应的齐次线性方程组的基础解 系含有一个向量2 且由于123均为方程组的解由非齐次线性方程组解的结构性质得 2 1(23)(12)(13)
4、 (0 0 1 6) T 为其基础解系向量6 故此方程组的通解x k(0 0 1 6) T (1 -1 2 5) T (k R) .10 六、 (10 分) 成立 使得一组数证明必存在全不为零的 个向量都线性无关但其中任意线性相关若向量组 0 , , 112211 121 121 mmmm mm mm akakakak kkkk maaaa 解:用反证法 第 3 页 共 4 页 成立使得 一组数所以必存在不全为零的线性相关由已知 0 , 112211 121121 mmmm mmmm akakakak kkkkaaaa 3 0 i k假设, 0 , 1111112211 11121 mmmmi
5、iii mmii akakakakakak kkkkkk 使得 数则存在不全为零的一组 .7 ,所以假设错误个向量都线性无关矛盾这与已知任意m, 成立 使得数故存在全不为零的一组 0 , 112211 121 mmmm mm akakakak kkkk .10 七、 (15 分)设4, 3, 2, 1 1 T , 1, 4, 3,2 2 T , 3,8 ,5,2 3 T , 12, 9,26,5 4 T , 2, 1 ,4,3 5 T , 求 向 量 组 54321 ,的秩及最 大无关组并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 解:令 54321 A, 对A作 初 等 行 变 换: 0
6、0000 12100 1016910 35221 A 00000 12100 12010 15001 8 所以向 量 组 54321 ,的秩=310 321 ,是 它 的 一 个 最 大 无 关 组 12 3215 3214 1 225 15 八、 (10 分)已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 -1 2 23 5AAB设矩阵 *1 AAB 及试求行列式 解因为A的特征值全不为0知A可逆故A* |A|A 1 而|A| 123 2 3 所以 111*1 2AAAAA 5 第 4 页 共 4 页 2 111*1 A AAA 8 若令B= (A)有 23 5)(故(A)的特征值为(1)14(1)6
7、(2)-12 10 于是 |B|(14)(6) (-12)-288 10 九、 (15 分)设二次型 32 2 3 2 2 2 1321 2334),(xxxxxxxxf .),() 1(: 321 Axxxf的矩阵求二次型求解以下问题(2) 求A的特征值及特征向量. (3) 求正交变换x=py,使f化为标准型 解二次型的矩阵为 310 130 004 A .3 2 )4)(2( 310 130 004 EA 得A的特征值为122,34 6 当12 时, 解方程 (A2E)x0得特征向量p1(0 1 -1) T .8 当2,34时 , 解方程 (A4E)x0 得特征向量p2(1 0 0) T p3(0 1 1) T 10 p2, p3恰好正交所以 p1 p2,p3两两正交 , 再将p1 p2,p3单位化得 2 1 2 1 0 1 p 0 0 1 2 p 2 1 2 1 0 3 p .12 故所求正交矩阵 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 010 , 321 pppp 4 4 2 1 APP则 .15
链接地址:https://www.31doc.com/p-4997815.html