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1、第 1 页 共 5 页 命题人:审批人:试卷分类( A 卷或 B 卷)A 大学试 卷 学期:至学年度 第二学期 课程: 线性代数专业: 班级:姓名:学号: 题号一二三四五六七八总分 得分 一、 (10 分) 计算行列式 xaaa axaa aaxa n n n 21 21 21 解:原 式 xx xx aaxa n 0 0 21 5 x x aaxa n n k k 00 00 2 1 8 n k k nn axx 1 1 110 二、 (10分) 设1 ,3,1 ,2 1 ,10,2,1 2 ,30 ,1 ,1 3 ,讨 论向 量组 321 , 的 线 性 相 关 性。 得分 试卷编号 得分
2、 第 2 页 共 5 页 解:因为09 011 021 312 故 1,2,3 线 性 无 关. 10 三、( 15 分) .X2AAX 410 011 103 AX,求矩阵且满足,设 解: AAEX 1 )(2 410310 011001 103102 )(AAE 410310 103102 011001 121100 410310 011001 121100 410310 011001 121100 173010 011001 242 2146 022 X 四、( 10 分) 试 判 定 方 程 组 .3222 2353 132 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx
3、是 否 有 解 得分 得分 第 3 页 共 5 页 解:对增广矩阵B做初等行变换 故方程无解 五、( 16 分) 设 3)3()3( 2)1( 2)3( 321 321 321 xxx xxx xxx 问 为何值时此方程组 (1)有唯一解 ( 2)无解(3) 有无穷多解 ? 解: 2110 123 00 333 211 213 A4 0)1( 100 123 101 )1( 2 A, 有 唯 一 解 ;6 当0时, 0000 0110 0101 A, 1 1 1 X无 穷 多 解8 当1时,3)(,2)(ARAR无 解10 六、(12 分 ) 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组并把不属于最
4、大无关组的列向量用 得分 得分 32212 23513 11321 B 13 12 2 rr rr 10450 10450 11321 20000 10450 11321 , 3)(,2)(BRAR显然, 第 4 页 共 5 页 最大无关组线性表示其中 97963 42264 41211 21112 A 解: 可见 R(A)=3, 故列向量组的最大无关组含3 个向量 . 因为在 A 的行阶梯形矩阵中, 三个非零行的首非零元在1、2、4 列, 故 a1, a2, a4为列向量组的一个最大无关组. 七、(12 分) 设3 阶 方阵A的 三 个 特征 值 分 别 为2,-2,1,EAAAB54 23
5、 , 求 行 列 式B的 值。 解:由特征值的性质可知,B的特征值分别为 152422 23 ,15)2(4)2()2( 23 151411 23 故1 321 uuuB 八、(15 分) 求一个正交变换将二次型 32 2 3 2 2 2 1321 2334),(xxxxxxxxf化成标准形 解二次型的矩阵为 310 130 004 A-2分 得分 得分 00000 31000 01110 41211 00000 31000 30110 40101 97963 42264 41211 21112 因此 a3a1a2a54a13a23a4 ,42 2 第 5 页 共 5 页 使 f 2y12 4y2 2 4y3 2 310 130 004 EA .4, 2 321 得特征值 得基础解系由对, 02, 2 1 xEA 1 1 0 1 得基础解系由对,04,4 32 xEA . 1 1 0 , 0 0 1 32 , 32 恰好正交与., 321 两两正交所以 得令单位化再将3, 2, 1, 321 i i i i , 21 21 0 1 , 0 0 1 2 . 21 21 0 3 21021 21021 010 , 321 P于是有正交矩阵
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