如何用导数探讨函数图像的交点问题第四计.pdf
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1、11 每周一计第四计 用导数探讨函数图象的交点问题 运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究,实际上就是运用导数考查 函数图象的交点个数问题。如何 运 用 导 数 的 知 识 研 究 函 数 图 象 的 交 点 问 题 呢 ? 例 1已知函数f(x)=x 2 +8x,g(x)=6lnx+m ()求f(x)在区间 t,t+1 上的最大值h(t); ()是否存在实数m,使得y=f(x) 的图象与y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围; ,若不存在,说明理由。 解: ()略( II)函数y=f(x) 的图象与y=g(x) 的图象有且只有三个不同
2、的交点, x0 函数(x)=g(x)f(x) = 2 x8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 )( x=2x8+ 随 x 变化如下表: x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+ ) (x) + 0 - 0 + (x)增极大值减极小值增 x极大值= (1)=1-8+m=m-7,x极小值= (3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15 当 x0 +时, (x),当 x 时,(x) 要使(x)=0 有三个不同的正实数根,必须且只须 ,0153ln6)( ,07)( 极小值 极大值 mx mx 70 或m-715-6In3或 m|m| 时函数 y=h(x)的图象与x 轴只有一个公共点。 当 x0, h(x) 是增函数; 当 10 (0,) 3 x时, h (x)0, h(x) 是增函数。(见图 7)图 7 101 (3)10, ()0, (4)50, 327 hhhh(-2)=-19 ,h(-1)=25 方程 h(x)=0 在区间 (-2,-1), 1010 (3,),(,4) 33 内分别有惟一实数根,而在区间(0,3)和(4,)内没有实数根, 所以存在惟一的自然数m=3,使得方程 37 ( )0f x x 在区间 (m,m+1) 内有且只有两个不同的实数根。
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