导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案.pdf
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1、1 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握 函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求 导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件 (导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数 y=f(x), 如果自变量x 在 x0处有增量 x ,那么函数y 相应地有增量 y =f(x0+ x)
2、 f ( x0) , 比 值 x y 叫 做 函 数y=f ( x ) 在x0到x0+ x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 x y = x xfxxf)()( 00 。如果当 0x 时,x y 有极限,我们就说函数y=f(x) 在点 x0 处可导,并把这个极限叫做f(x)在点 x0处的导数,记作f ( x0)或 y|0 xx 。 即 f(x0)= 0 lim x x y = 0 lim x x xfxxf)()( 00 。 说明: 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、 物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 2 (1)函数f(x)在点x0
3、处可导,是指 0x 时,x y 有极限。如果x y 不存在极限,就 说函数在点x0处不可导,或说无导数。 (2) x 是自变量 x 在 x0处的改变量, 0x 时,而 y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点 x0处的导数的步骤: (1)求函数的增量 y =f(x0+ x ) f(x0) ; (2)求平均变化率 x y = x xfxxf)()(00 ; (3)取极限,得导数f (x 0)= x y x0 lim 。 二、导数的几何意义 函数 y=f( x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点 p(x0,f(x0) )处的切线的 斜率。也就是说,
4、曲线y=f (x)在点 p(x0,f(x0) )处的切线的斜率是f (x0) 。相应地, 切线方程为yy0=f/(x0) (xx0) 。 三、几种常见函数的导数 0;C 1;nn xnx (sin)cosxx ; (cos )sinxx ; (); xx ee ()ln xx aaa ; 1 ln x x ; 1 lglog aa oxe x . 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 ), 即:( .) vuvu 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数 乘以第二个函数的导数,即: .
5、)( uvvuuv 若 C 为常数 ,则 0)(CuCuCuuCCu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以 函数的导数: .)( CuCu 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的 积,再除以分母的平方: v u = 2 v uvvu (v 0) 。 形如 y=f x() 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解求导回代。法则: y|x= y|u u|x 五、导数应用 3 1、单调区间: 一般地,设函数 )(xfy 在某个区间可导, 如果 f)(x 0,则 )(xf 为增函数; 如果 f0)(x ,则 )(xf 为减函数; 如果在某区间内恒有 f0)(x
6、 ,则 )(xf 为常数; 2、极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3、最值: 一般地,在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。 求函数? (x)在(a,b)内的极值; 求函数? (x)在区间端点的值? (a)、?(b); 将函数? (x)的各极值与? (a)、 ?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4定积分 (1)概念:设函数 f(x) 在区间 a,b上连续, 用分点 ax00,且 x 1 时, f(x) x k x Inx 1 ,求
7、 k 的取值范围。 【解析 】(1)f ,(x)= 22 )1( ) 1 ( x b x Inx x x a 由于直线x+2y-3=0 的斜率为 2 1 ,且过点 (1,1), 故即解得 a=1,b=1。 (2)由( 1)知 ln1 1 x xx ,所以 2 2 ln1(1)(1) ( )()(2ln) 11 xkkx f xx xxxx 。 考虑函数( )2lnh xx 2 (1)(1)kx x (0)x,则 2 2 (1)(1)2 ( ) kxx h x x 。 (i) 设0k,由 22 2 (1)(1) ( ) k xx h x x 知,当1x时,( )0h x。而(1)0h,故 f(x
8、)=1 f ,(1)= 2 1 b=1 b a 2 = 2 1 5 当(0,1)x时,( )0h x,可得 2 1 ( )0 1 h x x ; 当 x( 1,+)时, h(x)0 从而当 x0, 且 x1 时, f (x)- ( 1 ln x x + x k )0,即 f (x) 1 ln x x + x k . (ii )设 00, 故 h (x)0, 而 h( 1) =0,故当 x(1, k1 1 )时, h(x) 0,可得 2 1 1 x h(x)0, 而 h (1)=0,故当 x(1,+)时,h (x)0,可得 2 1 1 x h(x)0; 当 x 2 3 2 1, 时, f (x)
9、0, 所以 f(x) 在 x= 2 1 处取得极大值,在x= 2 3 处取得极小值。 (2)若( )f x为R上的单调函数则f (x) 恒大于等于零或f (x) 恒小于等于零, 8 因为 a0 所以 =(-2a) 2-4a0,解得 00). ()令 F(x) xf(x) ,讨论 F(x)在( 0.)内的单调性并求极值; ()求证:当x1 时,恒有xln 2x 2a ln x1. 【课后作业】 一、选择题 1.(2005 全国卷文)函数93)( 23 xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值 ,则 a=( ) A 2 B 3 C 4 D 5 2(2008 海南、宁夏文)设( )lnf xxx,
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