抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析.pdf
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1、抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比,找出抛物线与椭圆,双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1抛物线定义:平面内到一定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 2抛物线四种标准方程的几何性质: 图形 参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔. 开口方向右左上下 标 准方程 2 2(0)ypx p 2 2(0)ypx p 2 2(0)xpy p 2 2(0)xpy p 焦 点位置X正X负Y正Y负 焦 点坐标 (,0) 2 p (,0) 2 p (0,) 2 p (0,) 2 p
2、准 线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范 围 0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR 对 称轴X轴X轴Y轴Y轴 顶 点坐标(0,0 ) 离心率 1e 通 径2p 焦半径 11 (,)A xy 1 2 p AFx 1 2 p AFx 1 2 p AFy 1 2 p AFy 焦点弦长AB 12 ()xxp 12 ()xxp 12 ()yyp 12 ()yyp 焦点弦长AB 以AB为直径的圆必与准线l相切 的补充 11 (,)A x y 22 (,)B xy 若AB的倾斜角为, 2 2 sin p AB若AB的倾斜角为,则 2 2 cos p AB 2 12 4 p x x
3、2 12 y yp 112AFBFAB AFBFAFBFAFBFp 3抛物线)0(2 2 ppxy的几何性质: (1) 范围因为 p0,由方程可知x0,所以抛物线在y轴的右侧, 当x的值增大时, |y| 也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 (2) 对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向 (3) 顶点( 0,0),离心率:1e,焦点(,0) 2 p F,准线 2 p x,焦准距p (4) 焦点弦:抛物线)0(2 2 ppxy的焦点弦AB,),( 11 yxA,),( 22 yxB, 则pxxAB 21 | 弦长 |AB|=x1+x2+p, 当 x1=x2时,通径最短为2p。 4焦点弦
4、的相关性质:焦点弦AB,),( 11 yxA,),( 22 yxB,焦点(,0) 2 p F (1) 若 AB是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点弦(过焦点的弦),且 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,则: 2 1 2 4 p xx, 2 12 yyp。 (2) 若 AB是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点弦,且直线AB的倾斜角为 ,则 2 2 sin P AB (0) 。 (3) 已知直线AB是过抛物线 2 2(0)ypx p焦点 F , 112AFBFAB AFBFAFBFAFBFp (4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径 (5
5、) 两个相切: 1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为 直径端点的圆与焦点弦相切。 5弦长公式:),( 11 yxA,),( 22 yxB是抛物线上两点,则 22 1212 ()()ABxxyy| 1 1|1 21 2 21 2 yy k xxk 【经典例题】 ( 1)抛物线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其 离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美, 又生出多少华丽的篇章. 【例 1】P为抛物
6、线pxy2 2 上任一点, F为焦点,则以PF为直径的圆与y 轴() .A相交.B相切.C相离.D位置由 P确定 【解析】如图,抛物线的焦点为,0 2 p F ,准线是 : 2 p l x. 作 PH l于 H,交 y 轴于 Q,那么PFPH, 且 2 p QHOF. 作 MN y 轴于 N则 MN是梯形 PQOF 的 中位线, 111 222 MNOFPQPHPF. 故以 PF为直径的圆与y 轴相切,选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的. ( 2)焦点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关. 理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些
7、试题是大有帮助的. 【例 2】 过抛物线02 2 ppxy的焦点 F 作直线交抛物线于 1122 ,A x yB xy两点,求证: (1) 12 ABxxp(2) pBFAF 211 【证明】(1)如图设抛物线的准线为l,作 1 AAl 11111 , 2 p A BBlBAAx于,则 AF, 12 2 p BFBBx. 两式相加即得: 12 ABxxp (2)当 AB x 轴时,有 AFBFp, 112 AFBFp 成立; 当 AB 与 x 轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为: 2 p ykx .代入抛物线方程: 2 2 2 2 p kxpx. 化简得: 2 2222 201 4 p k xp
8、 kxk 方程( 1)之二根为x1,x2, 1 2 2 4 k xx. X Y P H MN O (,0) 2 p F : 2 p l x = -2 2ypx= Q X Y F A(x,y) 11 B(x,y) 2 2 A 1 B1 l 12 2 11 12 1212 111111 22 24 xxp pp ppAFBFAABB xx x xxx 1212 22 12 12 2 2 424 xxpxxp p pppp xxp xx . 故不论弦AB与 x 轴是否垂直,恒有 pBFAF 211 成立 . ( 3)切线抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线
9、方程,是解题者不可或缺的基本功. 【例 3】证明:过抛物线 2 2ypx上一点 M ( x0, y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0) 【证明】对方程 2 2ypx两边取导数:22. p y ypy y ,切线的斜率 0 0 xx p ky y .由点斜式方程: 2 00000 0 1 p yyxxy ypxpxy y 2 00 21ypx ,代入()即得: y 0y=p(x+x0) ( 4)定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获. 例 如 : 1.一 动 圆 的 圆 心 在 抛 物 线xy8 2 上
10、, 且 动 圆 恒 与 直 线02x相 切 , 则 此 动 圆 必 过 定 点 () . 4,0. 2,0. 0,2. 0, 2ABCD 显然 . 本题是例 1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2. 抛物线 2 2ypx的通径长为2p; 3. 设抛物线 2 2ypx过焦点的弦两端分别为 1122 ,A x yB xy,那么: 2 12 y yp 以下再举一例 【例 4】设抛物线 2 2ypx的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p ,而 A1B1与 AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的
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