抽象函数解题方法与技巧第五计.pdf
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1、1 每周一计第五计抽象函数解题方法与技巧 所谓抽象函数问题,是指没有具体地给出函数的解析式,只给出它的一些特征或性质。解决这类问题 常涉及到函数的概念和函数的各种性质,因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是 教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 一、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求 f(x) 解:令 u=1+sinx ,则 sinx=u-1(0u2),则 f(u)=-u 2+3u+1 (0u2) 故 f(x)=-x 2+3x+1 (0x2) 二、方程组法 运用方程组通
2、过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例 2 .2 3 2 | )(:|,) 1 (2)(),)(,(xfx x fxfxfxf(x)y求证且为实数即是实数函数设 解: x x x f x xf x fx x3 2 3 )(, 1 )(2) 1 (, 1 联立方程组,得得代换用 3 22 3 2 3 | )(| x x xf 三、待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例 3已知 f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求 f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax 2+bx+c (a 0)
3、 代入 f(x+1)=a(x+1) 2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c f(x-1)= a(x-1) 2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+a-b+c f(x+1)+ f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c=2x2-4x 比较系数得:a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x 2-2x-1. 四、赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例 4对任意实数x,y,均满足f(x+y 2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1)0,则 f(2001)=_. 解:令 x=y=0 ,得: f(0)=0 ,令 x=0 ,y
4、=1,得 f(0+1 2)=f(0)+2f(1)2, f(1)0 f(1)= . 令 x=n,y=1 ,得 f(n+1)=f(n)+2f(1) 2=f(n)+ 即 f(n+1)-f(n) = 1 2 ,故 f(n)= 2 n ,f(2001)= 2001 2 例 5已知 f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性 ,并证明你的结论; (3)若 f(2)=2,un=f(2 n) (nN* ),求证: un+1un(nN*). 解: (1)令 a=b=0 ,得 f(0)
5、=0 ,令 a=b=1 ,得 f(1)=0 . (2)f(x)是奇函数。因为:令a=b=-1 ,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, 故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数 . (3)先用数学归纳法证明:un=f(2 n)0 (nN* )(略 ) 五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为 问题的解决带来极大的方便. 例 6设函数f(x)对任意实数x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,由已知得 f(x2-x1)0,nN;f(n1
6、+n 2)=f(n1)f(n2),n1,n2N* ;f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式;若不存在,说明理由。 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)= f(1) f(1)=4 ,解得 f(1)=2 又 f(2)=4=2 2,f(3)=23 ,由此猜想: f(x)=2 x (xN*) (数学归纳证明略) 例 9已知f(x)是定义在R 上的函数, f(1)=1 ,且对任意xR 都有f(x+5)f(x)+5 ,f(x+1)f(x)+1 。若 g(x)=f(x)+1-x ,则 g(2002)=_. 解:由 f(x+1)f(x)+1 得 f(x+5)f(
7、x+4)+1f(x+3)+2f(x+2)+3f(x+1)+4 又 f(x+5)f(x)+5 f(x)+5f(x+1)+4 f(x)+1f(x+1) 又 f(x+1)f(x)+1 f(x+1)=f(x)+1 又 f(1)=1 f(x)=x g(x)=f(x)+1-x=1,故 g(2002)=1 。 七、模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数 模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。 应掌握下面常见的特殊模型: 特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数f(x)=x n f(xy)
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