数列通项公式的求法第二计.pdf
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1、1 每周一计第二计由递推关系求数列通项公式 给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法,这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。 1. 形如 an+1-an=f(n)型 (1)若 f(n)为常数 , 即: an+1-an=d, 此时数列为等差数列,则 an=a1+(n-1) d. (2)若 f(n)为 n 的函数时,用迭加法. 例 1. 已知数列 an满足 )2(3, 1 1 1 1 naaa n n n , 证明 2 13 n n a 证明:由已知得:an-an-1=3 n-1,故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1= 2 13 n n a. 练 一
2、练1 : 已 知 数 列 an 满 足 3 1 a,)2( )1( 1 1 n nn aa nn , 求 此 数 列 的 通 项 公 式 . 2. 形如型 ( 答案: ) (1)当 f(n)为常数,即:q a a n n 1 (q0) ,此时数列为等比数列, n a= 1 1 n qa. (2)当 f(n)为 n 的函数时 , 用累乘法 . 例2. 设 an 是首项为 1 的正项数列,且(n+1) a 2 n+1-na 2 n+an+1an=0( n=1,2,3,) ,则它的通项公式是 an=_. 解:已知等式可化为:( an+1+an)(n+1) a n+1-nan=0 0 n a( * N
3、n)(n+1)0 1nn naa, 即 1 1 n n a a n n 2n 时, n n a a n n 1 1 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n =1 2 1 1 21 n n n n = n 1 . 评注:本题是关于an和 an+1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与 an+1 的更为明显的关系式,从而求出an. 练一练 2: 已知 an+1=na n+n-1,a1-1, 求数列 an的通项公式 .( n a)1() 1( 1 an!- 1.) 3. 形如 an+1=can+d( c0 且 c1,d 0其中 a1=a)
4、型 用待定系数法 构造辅助数列 . 规律:将递推关系dcaa nn 1 化为) 1 ( 1 1 c d ac c d a nn , 构造成公比为c 的等比数列 1 c d an 从而求得通项公式) 1 ( 1 1 1 1 c d ac c d a n n 例 3已知数列 an中, , 2 1 2 1 ,2 11nn aaa求通项 n a. . 2 13 1333 21 n nn )( 1 nf a a n n n an 1 4 2 分析:两边直接加上 1c d , 构造新的等比数列。 解:由, 2 1 2 1 1nn aa得)1( 2 1 1 1nn aa, 所以数列 1 n a构成以11 1
5、 a为首项,以 2 1 为公比的等比数列 所以 1 ) 2 1 (1 n n a, 即1) 2 1 ( 1n n a. 4形如 an+1=pan+f(n)型 ( 1) 若bknnf)( 其中 k,b 是常数,且0k) 用构造法 例 4在数列 an中, a1=1,an+1=3an+2n 求通项 an. 解:设 an+1+p(n+1)+d=3(a n+pn+d) 则 an+1=3an+2pn+2d-p an+1=3an+2n2p=2 2d-p=0则 p=1,d= 1 2 令 cn=a n+n+ 1 2 则cn+1=3cn, cn是等比数列,公比为3 c1= 5 2 则 15 3 2 n n cg
6、151 3 22 n n an 练一练 3:在数列 an 中, 2 3 1a, 2an-an-1=6n-3 求通项 an.( 96) 2 1 (9na n n .) ( 2) 若 f(n)=q n ( 其中 q 是常数, p 1 且 n 0,1) 方法( i) . 两边同除以pn+1. 即: , 令 n n n p a b,则 1 1 () n nn q bb pp , 变型为类型1,累加求通项 . (ii) . 两边同除以qn+1 . 即: , 令 n n n q a b, 则可化为 q b q p b nn 1 1 . 然后转化为类型3 来解, ( iii ). 待定系数法: 设 an+1
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