数学物理方法课程教学大纲.pdf
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1、数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 (一)课程名称:数学物理方法 所属专业:物理、应用物理专业 课程性质:数学、物理学 学分:5 (二)课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法,主要内容包括线性空间和线性算 符、复变函数、积分变换和 -函数、数学物理方程和特殊函数等,适当介绍近 年来的新发展、 新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础, 其中 很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务,是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用,往 往构成了相应领域的数学基础。一般来讲,因为同样的方程有同样的解, 掌握和 运用
2、这些数学方法所体现的物理内容将更深入,更本质。 (三)先修课程要求,与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、 高等数学和部分线性代数知识为基础,为后继的基础课 程和专业课程研究有关的数学问题作准备,也为今后工作中遇到的数学物理问题 求解提供基础。 (四)教材:数学物理方法杨孔庆编 参考书: 1. 数学物理方法柯朗、希尔伯特著 2. 特殊函数概论王竹溪、郭敦仁编著 3. 物理中的数学方法李政道著 4. 数学物理方法梁昆淼编 5. 数学物理方法郭敦仁编 6. 数学物理方法吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念
3、第二节R3空间的向量代数 第三节R 3 空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R 3 空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中 Laplace(拉普拉斯)算符 2 的表达式 第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert(希尔伯特)空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数
4、 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy(柯西)积分定理 第三节Cauchy(柯西)积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开 第一节复变函数级数 第二节解析函数的 Taylor(泰勒)展开 第三节Taylor 展开的理论应用 第四节解析函数的 Laurent(洛朗)展开 第八章留数定理 第一节留数定理 第二节留数的一般求法 第三节解析函数在无穷远点的留数 第四节留数定理在定积分中的应用 第五节Hilbert(希尔伯特)变换 第三部分积分变换与函数 第
5、九章Fourier(傅里叶)变换 第一节Fourier 级数 第二节Fourier 变换 第三节Fourier 变换的基本性质 第十章Laplace(拉普拉斯)变换 第一节Laplace变换 第二节Laplace变换基本性质 第三节Laplace变换的应用 第四节关于 Laplace变换的反演 第十一章 -函数 第一节 -函数的定义 第二节 -函数的性质 第三节 -函数的导数 第四节三维 -函数 第五节 -函数的 Fourier 变换和 Fourier 级数展开 第四部分数学物理方程 第十三章波动方程、输运方程、 Poisson(泊松)方程及其定解问题 第一节二阶线性偏微分方程的普遍形式 第二
6、节波动方程及其定解条件 第三节输运方程及其定解条件 第四节Poisson方程及其定解条件 第五节Laplace方程和调和函数 第六节三类方程定解问题小结 第十四章分离变量法 第一节齐次方程齐次边界条件下的分离变量法 第二节SturmLiouville (斯特姆 -刘维尔)本征值问题 第三节非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法 第四节非齐次边界条件下的分离变量法 第五节分离变量法小结 第十五章曲线坐标系下方程的分离变量 第一节球坐标系下方程的分离变量 第二节柱坐标系下方程的分离变量 第三节二阶线性常微分方程的级数解法 第十六章球函数 第一节Legendre(勒让德)多项式 第二节Legendre
7、多项式的性质 第三节具有轴对称的 Laplace方程的求解 第四节连带 Legendre函数 第五节球函数 第十七章柱函数 第一节Bessel (贝塞尔)函数 第二节Bessel函数的递推关系 第三节柱函数的定义 第四节整数阶 Bessel函数 Jn( x)的生成函数 第五节Bessel方程的本征值问题 第六节球 Bessel函数 *第十八章Green(格林)函数法 第一节微分算子的基本解和Green函数的定义 第二节Laplace算子的基本解 第三节Laplace算子的 Green函数 第四节Laplace算子的镜像 Green函数法 第五节Helmhotz(霍姆赫兹)算子的基本解 第六节输
8、运算子的 Green函数 第七节波动算子的基本解 (一) 教学内容与学时分配 本课程讲授 90 学时(不包括习题课)。 学时分配及进度表 周次内容 讲授 学时 第一周 - 第四周 第一章R3空间的向量分析 1.1 向量的概念 1.2 R3空间的向量代数 1.3 R3空间的向量分析 1.4 R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 2.1 R3空间中的曲线坐标系 2.2 曲线坐标系中的度量 2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式 2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式 2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式 2.6 曲线坐标系中Laplace(拉普拉斯)算符 2 的
9、表达式 第三章线性空间 3.1 线性空间的定义 3.2 线性空间的内积 3.3 Hilbert (希尔伯特)空间 3.4 线性算符 3.5 线性算符的本征值和本征向量 20 第五周 - 第六周 第四章复变函数的概念 4.1 映射 4.2 复数4.3 复变函数 第五章 解析函数 5.1 复变函数的导数5.2 复变函数的解析性 5.3 复势 5.4 解析函数变换 第六章 复变函数积分 6.1 复变函数的积分 6.2 Cauchy(柯西)积分定理 6.3 Cauchy(柯西)积分公式 6.4 解析函数高阶导数的积分表达式 10 第七周 - 第九周 第七章复变函数的级数展开 7.1 复变函数级数 7.
10、2 解析函数的Taylor(泰勒)展开 7.3 Taylor 展开的理论应用 15 7.4 解析函数的Laurent(洛朗)展开 第八章留数定理 8.1 留数定理8.2 留数的一般求法 8.3 解析函数在无穷远点的留数 8.4 留数定理在定积分中的应用 8.5 Hilbert (希尔伯特)变换 第十周 - 第十二周 第九章Fourier(傅里叶)变换 9.1 Fourier 级数9.2 Fourier 变换 9.3 Fourier 变换的基本性质 第十章Laplace(拉普拉斯)变换 10.1 Laplace 变换10.2 Laplace 变换基本性质 10.3 Laplace 变换的应用 1
11、0.4 关于 Laplace 变换的反演 第十一章 -函数 11.1 -函数的定义11.2 -函数的性质 11.3 -函数的导数11.4 三维 -函数 11.5 -函数的 Fourier 变换和 Fourier 级数展开 15 第十三周 - 第十五周 第十三章波动方程、输运方程、 Poisson (泊松) 方程及其定解问题 12.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式 12.2 波动方程及其定解条件 12.3 输运方程及其定解条件 12.4 Poisson 方程及其定解条件 12.5 Laplace 方程和调和函数 12.6 三类方程定解问题小结 第十四章分离变量法 13.1 齐次方程齐次边界条件下
12、的分离变量法 13.2 SturmLiouville (斯特姆 -刘维尔)本征值问题 13.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法 13.4 非齐次边界条件下的分离变量法 13.5 分离变量法小结 第十五章曲线坐标系下方程的分离变量 14.1 球坐标系下方程的分离变量 14.2 柱坐标系下方程的分离变量 14.3 二阶线性常微分方程的级数解法 15 第十六周 - 第十八周 第十六章球函数 15.1 Legendre(勒让德)多项式 15.2 Legendre 多项式的性质 15.3 具有轴对称的Laplace 方程的求解 15.4 连带 Legendre 函数15.5 球函数 第十七章柱函数
13、 16.1 Bessel(贝塞尔)函数 16.2 Bessel 函数的递推关系 16.3 柱函数的定义 16.4 整数阶 Bessel函数 Jn( x )的生成函数 16.5 Bessel 方程的本征值问题 16.6 球 Bessel函数 *第十八章Green(格林)函数法 18.1 微分算子的基本解和Green 函数的定义 18.2 Laplace 算子的基本解 18.5 Helmhotz (霍姆赫兹)算子的基本解 18.6 输运算子的Green 函数 18.7 波动算子的基本解 15 (二) 内容及基本要求 第一章R 3 空间的向量分析 主要内容: 1. R 3 空间中的向量分析( 1.1
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