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1、透视关于正方体的高考常见题型 正方体是常见的也是重要的几何体,依托正方体为载体,可以设计很多对考生既觉得熟 悉又有点觉得陌生的高考试题,下面, 对在高考中曾经出现过的相关高考题型做以整理,加 以透视 一、展开图类题型 这类问题渗透了平面图形与空间图形的对应性,备考前应该在课下多动手作模型, 多观察,培养好自己的空间想象能力,进而达到考试时不操作也一样可以想象出来 例 ( 01 年北京春季高考试题)图1 是正方体的平面展开图, 在这个正方体中,BM与ED平行;CN与BE是异面直线; CN与BM成60角;DM与BN垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) 例 2 (02 年上海春季高考试题)图
2、2 表示一个正方体表面的一种 展开图 , 图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面 的有对 透视:上面两个高考题给出的正方体的展开图是不同的,深入思考, 不难发现正方体共有三大类11 种不同情形的展开图 第一类:有四个面在一条线上,有6 种情形,如下所示: 第二类:恰好最多有三个面在一条线上,有四种 情形,如下所示: (1)(2)(3) (4) (5)(6) (10) AB C D E M N F 图 A B C D E F G H 图 第三类:最多有两个面在一条直线上,只有一种情形,如图11 所 示 易知,例选,例填 二、截面类题型 例(03 年全国卷理科试题)下列五个正方体
3、图形(指()至()中,l是正 方体的一条对角线,点,MN P分别为其所在棱的中点,能得出l面MNP的图形的序号 是( 写出所有符合要求的图形序号) 透视:这类问题,一般直观判断加上严格推证便可顺利解决图(1) 本身就是截面,易 知符合要求;对于图(2) ,如图 (6) ,可以考 虑截面NQR,,Q R也是棱的中点, 它与直线 l是垂直的,而过一点直线的垂面只有一个, 截面NQR与三角形NMP不共面,故(2) 不符 合;图 (3) 可以仿图 (2) 进行思考,图(3) 可补 成截面形式,如图(7) ;图 (4) 和图 (5) 则可补 成相同的截面,如图(8) 由图可知,图(3) 不符合,图 (4
4、) 和图 (5) 符合 (7) (8) (9) (11) M N P l 1() M N P l (2) M N P l (3) M N P l (4) M N P l (5) Q N P l R M (6) N P l M (7) N P l M (8) 图 x y z 如果借助解决立体几何问题的“新武器”空间直角坐标系,则问题更容易得到解决例 如 对 图 (2) 的 判 断 , 构 造 图 , 设 正 方 体 的 棱 长 是 , 则 各 点 的 坐 标 分 别 是 1 (0,0,1),(1,1,0),(,0,0), 2 ABM 1 (1,1, ), 2 N 1 (0,0) 2 P,故( 1
5、 , 1 , 1 )AB, 11 (,1,) 22 MN, 此时,由 11 (1,1, 1) (,1,)10 22 AB MN,可知,直线AB与直线MN不垂直,则直线 AB一定不垂直平面MNP,否则,直线AB与直线MN应该垂直其它可做类似的判断 三、射影类题型 例 (00 年全国新课程卷)如图,E、F分别为正方体的面 11A ADD、面 11B B CC的中心, 则四边形EBFD1在该正方体的面上 的射影可能是 _(要求:把可能的图的序号都 填上 ) 透视:只需首先找出四边形的顶点在各面的射影,可知符合要求 四、概念类题型 例(02 年北京高考试题)设命题甲: “直四棱柱ABCD A1B1C1
6、D1中,平面 ACB 1 与对角面BB1D1D 垂直”;命题乙:“直四棱柱 ABCD A1B1C1D1是正方体” .那么,甲是 乙的() A充分必要条件B充分非必要条件 C必要非充分条件D既非充分又非必要条件 透视: 本题主要考查对正方体有关概念的掌握如图, 先构造 正方体 ABCD A1B1C1D1,可知平面ACB1与对角面BB1D1D 垂直; 在对角面BB1D1D 中, EF 分别在 B1D1和 BD 上,且 1 /EFBB,直 四棱柱 ABCF A1B1C1E 中,平面 ACB 1与对角面 BB1EF 垂直, 但直 四棱柱 ABCF A1B1C1E 不是正方体故选 C这里体现了构造思想
7、的应用 图 D1C1 A1B1 D C A B 图 五、计数类题型 例(02 年全国高考卷)从正方体的6 个面中选取3 个面,其中有2 个面不相邻的 选法共有() A.8 种B. 12 种C. 16 种D. 20 种 透视:正方体的个面不相邻则相对,先选对面有种方法,每种情形又可以从剩下 的个面中任选一面作为第面,故有34=12 种选法 例(04 年湖南高考试题)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其 中直角三角形的个数为() A56 B52 C48 D 40 透视:由分类计数原理,以两棱为直角边的直角三角形有24 个(每个顶点处 有个);以一条棱和一条面对角线为直角边的直角三角形有
8、1224 个(每条棱有 个符合条件的三角形)故选C 例 (04 年重庆高考文科试题)如图6,棱长为5 的正方体无论从哪一个面看,都有 两个直通的边长为1 的正方形孔,则这个有孔正方体的表面积(含孔内各面)是() A258 B 234 C 222 D210 透视:本题其实也是一种计数问题,即只需计算边长是的 正方形方格的个数在外面的方格有25626138个;每 个孔内除交叉处有方格有12 个,共 72 个;每个交叉处有2 个方 格,共 12 个故选C 六、分割与组合类题型 例 (04 年广东高考试题)在棱长为1 的正方体上,分别 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后 ,
9、剩下的凸多面体的体积是 ( ) A. 2 3 B. 7 6 C. 4 5 D. 5 6 透视:显然, 本题不易直接求,而应利用 “原体积减去分割部分的体积就是所求体积”, 选 D 例 10( 01 年北京春季高考试题)已知球内接正方体的表面积为S,那么球体积等于 _ 透视:只需注意正方体的对角线是球的直径,便可解得结果 24 2SS 图 6 例 11( 03 年江苏高考试题)棱长为a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段 为棱的八面体的体积为( C ) A 3 3 a B 4 3 a C 6 3 a D 12 3 a 透视: 所得其实是一个正八面体,可将它分割为两个四棱锥,棱锥的底面是菱形,且两 条对角线长相等,均等于正方体的边长,而其高是正方体边长的一半,故所求体积为 33 1 2() 346 aa 例 12 (05 年北京春季招生试题)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a,将该 正方体沿对角面 11 BBD D切成两块, 再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得 四棱柱的全面积为( 2 (42 2)a) D C A B D1C1 A1B1 图 ()A B 11 ()A B B 1B D 1 D ()C D 11 ()C D
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