暑假初二升初三数学衔接班精品教材北师大版.pdf
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1、暑期初二升初三学案(北师大) 1 第一讲一元二次方程的解法- 直接开平方法、配方法 第二讲一元二次方程的解法-公式法 第三讲一元二次方程根的判别式 第四讲一元二次方程根与系数的关系 第五讲列一元二次方程解应用题 第六讲正弦与余弦( 1) 第七讲正弦与余弦( 2) 第八讲正切与余切( 1) 第九讲正切和余切 (2) 第十讲解直角三角形 第十一讲解直角三角形的运用 第十二讲反比例函数 第十三讲反比例函数的图像和性质(1) 第十四讲反比例函数的图像和性质(2) 第十五讲反比例函数综合运用 第十六讲综合练习训练 暑期初二升初三学案(北师大) 2 第一讲一元二次方程的解法- 直接开平方法、配方法 【基础
2、知识精讲】 1一元二次方程的定义: 只含有一个未知数整式方程,并且都可以化为ax 2bx+c=0 (a 、 b、 c 为常数,a0) 的形式,这样的方程叫做一元二次方程。 注意:满足是一元二次方程的条件有:(1)必须是一个整式方程;(2)只含有一个未 知数;( 3)未知数的最高次数是2。(三个条件缺一不可) 2一元二次方程的一般形式: 一元二次方程的一般式是ax 2bx+c=0 (a 、b、c 为常数, a0)。其中ax 2 是二次 项, a 是二次项系数;bx 是一次项, b 是一次项系数;c 是常数项。 3一元二次方程的解法: 直接开平方法:如果方程 (x+m ) 2= n ( n0) ,
3、那么就可以用两边开平方来求出方程的 解 (2) 配方法 : 配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用 配方法解一元二次方程:ax 2bx+c=0 (a 0)的一般步骤是: 化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数; 移项,即使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项; 配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方; 化原方程为 (x+m) 2=n 的形式; 如果 n0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果n0,则原方程无解 注意: 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x 4) 2=3(x4)中, 不能随便约去(x4). 解一元二次方程时一般不使用
4、配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解 一元二次方程的一般顺序是:开平方法 因式分解法 公式法 【例题巧解点拨】 (一)一元二次方程的定义: 例 1: 1、方程中 一元二次方程是 . A. 和; B.和; C. 和; D. 和 2、要使方程(a-3) x 2+(b+1)x+c=0 是关于 x 的一元二次方程,则 _. Aa0 Ba3 Ca1 且 b-1 Da3 且 b-1 且 c0 3、若( m+1 )+2mx-1=0 是关于 x 的一元二次方程,则m的值是 _ (二)一元二次方程的一般形式: 例 2: 一元二次方程的一般形式是; 二次项系数是;一次项系数是;常数项是。 (三)一元二次方程
5、的解法: 例 3: 判断下列括号里的数哪个是方程的解。 (1) (2) 暑期初二升初三学案(北师大) 3 例 4: 若是关于 x 的一元二次方程的一个根, 求代数式的值。 例 5: 解方程: 用直接开平方法解一元二次方程: (1)(2) (3)(4) 用配方法解一元二次方程: (1)(2) (3)(4) 例 6:(开放题)关于x 的方程一定是一元二次方程吗?若是,写出 一个符合条件的a 值。 暑期初二升初三学案(北师大) 4 【随堂练习】 A组 一、填空题 : 1.在,, ,,中,是一 元二次方程有 _个 。 2. 关于 x 的方程是 (m 21)x2+(m1)x 2=0, 那么当 m 时,方
6、程为一元二次方程; 当 m 时,方程为一元一次方程. 3. 把方程化成一般式为_. 二次项系数是_、一次项系数是_、常数项是是_. 4关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a2-1=0 的一个根是0, 则a 的值是 _. 5.; 6. 一元二次方程若有两根1和1,那么 _,。 二、按要求解下列方程: 1.(直接开平方法) 2.(配方法 ) B组 一、填空题 : 1. 当时, 关于 x 的方程是一元二次方程. 2. 如果关于 x 的方程( k 21)x2+2kx+1=0 中,当 k=1 时方程为 _方程 3. 已知, 当 x=_时,y=0; 当 y=_时,x=0. 暑期初二升初三学案
7、(北师大) 5 4. 当时, 则的解为 _. 5. 方程的解是 _ 二、用配方法解下列方程: 1. 2 3 4. 三、解答题。 1已知 a 是方程的一个根,试求的值。 2(学科内综合题)一元二次方程的一个根是1,且a,b满足等式 ,求此一元二次方程。 暑期初二升初三学案(北师大) 6 家庭作业 姓名: _ 第 1 次课作业等级: _ 第一部分: 1下列方程,是一元二次方程的是() A. B. C. D. 2. 方程化为一元二次方程一般形式后,二次项系数、 一次项系数、 常数项 分别是() A. 5,6,-8 B. 5, -6 ,-8 C. 5,-6,8 D. 6,5,-8 第二部分: 3. 若
8、关于 x 的方程的一个根是0,则 k= 。 4. 请你写出一个有一根为1 的一元二次方程:。 5. 用配方法解方程时,方程的两边同加上,使得方程左边配 成一个完全平方式。 第三部分: 6. 解下列方程: (1)( 直接开平方法 ) ( 2)(用配方法) (3)用配方法解方程: 7. 当 a为何值时, 关于 x 的方程是一元一次方程?当a 为何值 时,原方程是一元二次方程? 暑期初二升初三学案(北师大) 7 第二讲一元二次方程的解法- 公式法 【基础知识精讲】 一元二次方程的解法: 直接开平方法:(2) 配方法 : 公式法 :公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的 一
9、元二次方程的求根公式是(b 24ac0) 应用求根公式解一元二次方程时应注意: 化方程为一元二次方程的一般形式; 确定 a、b、c 的值; 求出 b 24ac 的值; 若 b 24ac0,则代人求根公式,求出 x1 ,x 2若 b 24a0,则方程无解 (4) 因式分解法: 用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法它的理论 根据是两个因式中至少要有一个等于0,因式分解法的步骤是: 将方程右边化为0; 将方程左边分解为两个一次因式的乘积; 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就 是原一元二次方程的解 注意: 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式
10、如2(x 4) 2=3(x4)中, 不能随便约去(x4) 解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解 一元二次方程的一般顺序是:开平方法 因式分解法 公式法 【例题巧解点拨】 (一)知识回顾 例 1:对于关于x 的方程它的解的正确表达式是() A.用直接开平方法,解得 B.当时, C当时, D.当时, 例 2 :用配方法解方程:(探索求根公式) (二)用公式法解一元二次方程 例 3:用公式法解方程: (1)(2) 暑期初二升初三学案(北师大) 8 练习: (1)(2) (三)用因式分解法解一元二次方程 例 4: 利用因式分解解方程: (1) (2) 练习: (1) (
11、2) 例 5: 用适当的方法解下列方程: (1)( 2) (3(4) 【随堂练习】 A组 一、按要求解下列方程: 1. (直接开平方法) 2. ( 因式分解法 ) 暑期初二升初三学案(北师大) 9 3. ( 配方法 ) 4. ( 求根公式法 ) 二、用适当的方法解下列各题: 5 6 7 8. 三、填空题 : 1. 方程 : , , , , 较简便的解法_。 A .依次为直接开平方法, 配方法 ,公式法和因式分解法 B.用直接开平方法, 用公式法 , 用因式分解法 C. 依次为因式分解法, 公式法 , 配方法和直接开平方法 D. 用直接开平方法, 用公式法 , 用因式分解法 2. 一元二次方程的
12、解是 _。 3设是一个直角三角形两条直角边的长,且,则这个直 角三角形的斜边长为。 4已知三角形的两边长分别是3 和 4, 笫三边的长是方程x 26x+5=0 的根 , 三角形的形状 为_。 暑期初二升初三学案(北师大) 10 5. 方程的解是 _ 。 B组 一、解下列各方程: 1. 2. 二、解答题 : 1. 当 x 取何值时,代数式的最大值,并求出这个最大值。 2. 比较代数式与的大小。 3. 已知最简二次根式与是同二次根式项, 且为整数,求关于m的方 程的根。 暑期初二升初三学案(北师大) 11 家庭作业 姓名: _ 第 2 次课作 业 等 级 : _ 第一部分: 1一元二次方程的解是(
13、) Ax1= 0 ,x2 = B.x1 = 0 ,x2 =Cx1= 0 ,x2 = D x1= 0 ,x2 = 2. 若n()是关于x的方程的根,则m+n的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 第二部分: 3. 方程的解是。 4. 方 程的 两 个 根 是 等 腰 三 角 形 的 底 和 腰 , 则 这 个 三 角 形 的 周 长 为。 5. 用配方法将代数式a 2+4a-5 变形,结果正确的是 。 第三部分: 6. 解下列方程:( 分别用公式法和因式分解法) 7. 在实数范围内定义运算“” , 其法则为:, 求方程(43) 的解 暑期初二升初三学案(北师大) 12 第三讲一元二次方程
14、根的判别式 【基础知识精讲】 1一元二次方程ax 2bx+c=0 ( a0) 根的判别式 : 当时 , 方程有两个不相等的实数根; (2) 当时, 方程有两个相等的实数根; 当时 , 方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。 2一元二次方程有实数根 注意: (1) 在使用根的判别式之前,应将一元二次方程化成一般式; (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时,必须检验二次项系数a0 (3)证明恒为正数的常用方法:把的表达式通过配方化成“完全平方 式 +正数”的形式。 【例题巧解点拨】 例 1: 一元二次方程求根公式为 _ ( 注意条件 ). 2. 方程的根的情况是() A方程有两个不相等的实数
15、根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程没有实数根 D.方程的根的情况与的取值有关 3. 若一元二次方程 2x(kx 4) x 2 6 0 无实数根,则 k 的最小整数值是() A.1 B.2 C.3 D.4 4. 若关于 x 的方程 ax 2+2(a-b)x+(b-a)=0 有两个相等的实数根, 则 a:b 等于 ( ) A.-1 或 2 B.1或 C.-或 1 D.-2或 1 5. 若关于 y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值范围是 ( ) A.k- B.k-且 k0 C.k- D.k且 k0 例 2:已知关于的方程。 (1)求证:无论取什么实数值,这
16、个方程总有实数根; (2)当等腰三角形ABC的边长4,另两边的长、恰好是这个方程的两根时, 求 ABC的周长。 暑期初二升初三学案(北师大) 13 【同步达纲练习】 A组 一、选择 ( 填空 ) 题: 1. 方程中, = ,根的情况是。 2. (2007,巴中)一元二次方程的根的情况为() 有两个相等的实数根有两个不相等的实数根 只有一个实数根没有实数根 3. 一元二次方程只有一个实数根,则等于() A. B. 1 C. 或 1 D. 2 4下面对于二次三项式-x 2+4x-5 的值的判断正确的是( ) A恒大于0 B恒小于0 C不小于0 D可能为0 5. 一元二次方程有两个相等的实根数,则k
17、?的值是 6. 若方程 kx 26x+1=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是 . 7. 若关于 x 的一元二次方程没有实数根,则符合条件的一组b,c 的实数 值可以是b= ,c= 8. 当时,是完全平方式. 三、解答下列各题 9. 不解方程,判定下列方程根的情况。 ( 1)(2) 10. 已知方程,则: 当取什么值时,方程有两个不相等的实数根? 当取什么值时,方程有两个相等的实数根? 暑期初二升初三学案(北师大) 14 当取什么值时,方程没有实数根? 11. 求证: 不论为何值, 方程总有两个不相等的实数根。 B组 1. (2009, 潍坊) 关于 x 的方程有实数根,则整数 a 的最大值
18、是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2. (2011 , 佳木斯)若关于x 的一元二次方程无实数根,则一次函数 的图像不经过()象限。 A.一 B.二 C.三 D.四 3. (2012, 荆门)关于x 的方程只有一解(相同的解算一解), 则 a 的值为() A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或 a=2 4. 已知,求的值。 暑期初二升初三学案(北师大) 15 5. 设方程有实根,求的值。 6. 已知 a、b、 c 为三角形三边长,且方程b (x 2-1)-2ax+c (x 2+1)=0 有两个相等的实数根 . 试判断此三角形形状,说明理由. 7.如果a,b,c,d都是不为
19、0的实数,且满足等式 ,求证: 8. 阅读材料:为解方程,我们可以将看着一个整体,然 后设=y,那么原方程可化为,解得。当 y=1 时, ,;当 y=4 时,; 故原方程的解为。 解答问题:( 1)上述解答过程,在由原方程得到方程的过程中,利用了_ 法达到解方程的目的,体现了转化思想; 利用以上知识解方程 暑期初二升初三学案(北师大) 16 家庭作业 姓名: _ 第 3 次课作 业 等 级 : _ 第一部分: 1下列关于x 的一元二次方程中,有两个实数根的是() A B. C D 2. 关于 x 的方程只有一解 (相同解算一解),则 a 的值为 () Aa=0 B. a=2 Ca=1 Da=0
20、 或 a=2 3. 若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 () A B. C D 4. 关于 x 的方程有实数根,则整数a 的最大值是() A 6 B.7C8 D9 5. 若n()是关于x的方程的根,则m+n的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 第二部分: 6. 当 m= 时,关于x 的方程有两个相等的实数 根。 7. 若关于的一元二次方程没有实数根,则的取值范围是 第三部分: 8. 当 m为何值时,关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根,此时 的两个实数根是多少? 暑期初二升初三学案(北师大) 17 第四讲一元二次方程根与系数的关系 【基础知识精讲】
21、1一元二次方程根与系数的关系(韦达定理): 设是 一 元 二 次 方 程ax 2 bx+c=0 ( a0) 的 两 根 , 则, 2设是一元二次方程ax 2bx+c=0 ( a0) 的两根, 则:时,有 时,有 时,有 3 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是: 【例题巧解点拨】 1探索韦达定理 例 1:一元二次方程的两根为_, 求,的值。 暑期初二升初三学案(北师大) 18 2已知一个根,求另一个根. 例2:已知 2+是x 24x+k=0的一根,求另一根和 k的值。 3求根的代数式的值 例 3:设 x1,x2是方程 x 2-3x 1=0 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的
22、值: (1) x 1 3x 2 4+x 1 4x 2 3; 4求作新的二次方程 例 4:1以 2, 3 为根的一元二次方程是_. 2已知方程 2x 23x3=0的两个根分别为 a,b,利用根与系数的关系,求一个一 元二次方程,使它的两个根分别是:a+1、b+1 5由已知两根和与积的值或式子,求字母的值。 例5:1、已知方程 3x2+x1=0,要使方程两根的平方和为,那么常数项应改 暑期初二升初三学案(北师大) 19 为。 2、 、是关于 x的方程 4x24mx+m 2+4m=0 的两个实根,并且满足 ,求 m 的值。 暑期初二升初三学案(北师大) 20 【同步达纲练习】 A组 1、如果方程 a
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