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1、一: 运动学公式 1、平均速度定义式:tx/ 当式中t取无限小时,就相当于瞬时速度。 如果是求平均速率,应该是路程除以时间。请注意平均速率与平均速度在大小上面 的区别。 2、两种平均速率表达式(以下两个表达式在计算题中不可直接应用) 如果物体在前一半时间内的平均速率为 1 ,后一半时间内的平均速率为 2,则整 个过程中的平均速率为 2 21 如果物体在前一半路程内的平均速率为 1,后一半路程内的平均速率为2,则整 个过程中的平均速率为 21 21 2 t x t x 路 位 时间 路程 平均速率 时间 位移大小 平均速度大小 3、加速度的定义式:ta/ 在物理学中,变化量一般是用变化后的物理量
2、减去变化前的物理量。 应用该式时尤其要注意初速度与末速度方向的关系。 a与同向,表明物体做加速运动;a与反向,表明物体做减速运动。 a与没有必然的大小关系。 1、匀变速直线运动的三个基本关系式 速度与时间的关系at 0 ?位移与时间的关系 2 0 2 1 attx (涉及时间优先选择,必须注意对于匀减速 问题中给出的时间不一定就是公式中的时间,首先运用at 0 ,判断出物体真 正的运动时间) 例 1:火车以hkmv/54的速度开始刹车,刹车加速度大小 2 /3sma,求经过3s 和 6s 时火 车的位移各为多少? ?位移与速度的关系 ax t 2 2 0 2 (不涉及时间,而涉及速度) 一般规
3、定 0 v为正, a 与 v0同向, a 0(取正 ) ;a 与 v0反向, a0(取负 ) 同时注意位移的矢量性,抓住初、末位置,由初指向末,涉及到x 的正负问题。 注意运用逆向思维:当物体做匀减速直线运动至停止,可等效认为反方向初速为零的匀加速直 线运动。 例 2:火车刹车后经过8s 停止, 若它在最后1s 内通过的位移是1m ,求火车的加速度和刹车时火 车的速度。 (1)深刻理解: 要是直线均可。运动还是往返运动,只轨迹为直线,无论单向 指大小方向都不变加速度是矢量,不变是 加速度不变的直线运动 (2)公式(会“串”起来) 2 2 2 1 22 0 2 2 0 2 2 0 0 t xt
4、t vv vaxvvt attvx atvv 得消去基本公式 根据平均速度定义V= t x = 2 0 000 0 2 0 2 1 22 )( 2 1 2 1 t t vtav vvatvv atv t attv Vt/ 2 =V= VVt 0 2 = t x 例 3、物体由静止从A点沿斜面匀加速下滑,随后在水平面上做匀减速直线运动,最后停止于C 点,如图所示,已知AB=4m ,BC=6m ,整个运动用时10s,则沿AB和 BC运动的加速度 a1、a2大 小分别是多少? 推导: 第一个 T内 2 0 2 1 aTTvx 第二个 T内 2 1 2 1 aTTvx 又aTvv 01 x =x-x=
5、aT 2 故有,下列常用推论: a,平均速度公式:vvv 0 2 1 b,一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度:vvvv t0 2 2 1 A C B c,一段位移的中间位置的瞬时速度: 2 22 0 2 vv vx d,任意两个连续相等的时间间隔( T)内位移之差为常数(逐差相等): 2 aTnmxxx nm 关系:不管是匀加速还是匀减速,都有: 22 0 22 0tt vvvv 中间位移的速度大于中间时刻的速度。 以上公式或推论,适用于一切匀变速直线运动,记住一定要规定正方向!选定参照物! 注意:上述公式都只适用于匀变速直线运动,即:加速度大小、方向不变的运动。 注意,在求解
6、加速度时,若计数点间间距不满足“任意两个连续相等的时间间隔(T)内位移之 差为常数”,一般用逐差法求加速度比较精确。 2、 2 aTx和逐差法求加速度应用分析 (1)、由于匀变速直线运动的特点是:物体做匀变速直线运动时,若加速度为a,在各个连续 相等的时间T 内发生的位移依次为X1、 X2、X3、 Xn,则有 X2-X1=X3-X2=X4-X3= =Xn-Xn-1=aT 2 即 任意两个连续相等的时间内的位移差相符,可以依据这个特点,判断原物体是否做匀变速直线 运动或已知物体做匀变速直线运动,求它的加速度。 例 4:某同学在研究小车的运动的实验中,获得一条点迹清楚的纸带,已知打点计时器 每隔
7、0.02s 打一个计时点,该同学选A、B、C、D、E、F 六个计数点,对计数点进行测 量的结果记录在下图中,单位是cm 。 试计算小车的加速度为多大? 解:由图知: x1=AB=1.50cm ,x2=BC=1.82cm ,x3=CD=2.14cm ,x4=DE=2.46cm , x5=EF=2.78cm 则:x2-x1=0.32cm x3-x2=0.32cm x4-x3=0.32cm x5-x4=0.32cm 小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差相等 ,小车的运动是匀加速直线运动。 即:cmx32.0又 2 aTx 2 2 2 2 /0.2 )02.02( 1032.0 sm T x a
8、说明:该题提供的数据可以说是理想化了,实际中很难出现x2-x1= x3-x2= x4-x3= x5-x4, 因为实验总是有误差的。 例 5:如下图所示,是某同学测量匀变速直线运动的加速度时,从若干纸带中选出的一 条纸带的一部分,他每隔4 个点取一个计数点,图上注明了他对各计算点间距离的测量 结果。试验证小车的运动是否是匀变速运动? 解: x2-x1=1.60 x3-x2=1.55 x4-x3=1.62 x5-x4=1.53 x6-x5=1.63 故可以得出结论:小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差不相等 ,但是在实 验误差允许的范围内相等,小车的运动可认为是匀加速直线运动。 上面的例 2
9、只是要求我们判断小车在实验误差内做什么运动。若进一步要我们求出 该小车运动的加速度,应怎样处理呢?此时,应用逐差法处理数据。 由于题中条件是已知x1、x2、x3、x4、x5、x6共六个数据,应分为3 组。 2 14 1 3T xx a , 2 25 2 3T xx a, 2 36 3 3T xx a 即) 333 ( 3 1 )( 3 1 2 36 2 25 2 14 321 T xx T xx T xx aaaa 2 123654 33 )()( T xxxxxx a 即全部数据都用上,这样相当于把2n 个间隔分成 n 个为第一组,后n 个为第二组,这 样起到了减小误差的目的。而如若不用逐差
10、法而是用: 2 56 5 2 45 4 2 34 3 2 23 2 2 12 1 , T xx a T xx a T xx a T xx a T xx a再求加 速度有: 2 16 2 16 54321 55 1 )( 5 1 T xx T xx aaaaaa 相当于只用了S6与 S1两个数据,这样起不到用多组数据减小误差的目的。很显然,若题 目给出的条件是偶数段。 都要分组进行求解,分别对应: (即:大段之和减去小段之和) (2) 、若在练习中出现奇数段,如 3 段、5 段、7 段等。这时我们发现不能恰好分成两组。 考虑到实验时中间段的数值较接近真实值(不分析中间段) ,应分别采用下面求法:
11、 (3) 、另外,还有两种特殊情况,说明如下: 如果题目中数据理想情况,发现S2-S1=S3-S2=S4-S3=此时不需再用逐差法,直 接使用即可求出。 若题设条件只有像 此时 又如 此时 2、一组比例式 初速为零的匀加速直线运动规律(典例:自由落体运动) (1)在 1T 末 、2T 末、 3T末 ns 末的速度比为1:2: 3 n; (2)在 1T 内、 2T 内、 3T内 nT 内的位移之比为1 2: 22: 32 n2; (3)在第 1T 内、第 2T 内、第 3T内第nT 内的位移之比为1:3:5 (2n-1); (各个 相同时间间隔均为T) (4)从静止开始通过连续相等位移所用时间之
12、比为: 1:()21:32) (nn1) (5)从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比: )1n(:)23(:)12(:1n (6)通过连续相等位移末速度比为1:2:3n 3、自由落体运动的三个基本关系式 (1)速度与时间的关系gt (2)位移与时间的关系 2 2 1 gth (3)位移与速度的关系gh2 2 4、竖直上抛运动:( 速度和时间的对称) 分过程:上升过程匀减速直线运动, 下落过程初速为0 的匀加速直线运动. 全过程:是初速度为V0加速度为g 的匀减速直线运动。适用全过程x= Vo t 1 2 g t 2 ; V t = Vo g t ; Vt 2V o 2 = 2gx (x 、
13、V t的正、负号的理解) 上升最大高度:H = V g o 2 2 上升的时间 :t= V g o 对称性: 上升、下落经过同一位置时的加速度相同,而速度等值反向 上升、下落经过同一段位移的时间相等 g v tt 0 下上 。 从抛出到落回原位置的时间: t = 下上 tt = 2 g Vo 注意:自由落体运动就是初速为零的匀加速直线运动规律,故有下列比例式均成立: (1)在 1T 末 、2T 末、 3T末 ns 末的速度比为1:2: 3 n; (2)在 1T 内、 2T 内、 3T内 nT 内的位移之比为1 2: 22: 32 n2; (3)在第 1T 内、第 2T 内、第 3T内第nT 内
14、的位移之比为1:3:5 (2n-1); (各个 相同时间间隔均为T) (4)从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为: 1:()21:32) (nn1) (5)从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比: )1n(:)23(:)12(:1n (6)通过连续相等位移末速度比为1:2:3n 5、一题多解分析: 学完运动学一章后,问题是公式多,解题时无法选用合适公式。并用多种解法求解,达到巩 固公式、灵活运用公式的目的。 【例题】屋檐定时滴出雨滴,当第5 滴正欲滴下时,第1 滴刚好到达地面,而第3滴与第 2 滴正分别位于高为1m的窗户的上下沿。取g=10m/s 2,问 ( 1)此屋檐离地面的高度。 (
15、 2)滴水的时间间隔是多少? 首先,要画出题设情景的示意图,如图所示,然后在图 中标注有关物理量,从中找出几何关系。 要引入一个参数,即设两滴 雨滴之间的时间间隔为T,然后列方程求解。 解法一:常规方法,学会做减法 第 2 滴与第 3 滴雨滴之间的距离等于这两个雨滴的位移之差。 即s32=s2s3。 雨滴 2 下落的时间为3T,运动的位移为 2 2 1 (3 ) 2 sgT(1) 雨滴 3 下落的时间为2T,运动的位移为 2 3 1 (2) 2 sgT(2) 由几何关系,有s32=s2s3 (3) 由( 1) (2) (3)解得 32 22 1 s0.2s 55 10 s T g (4) 此屋
16、檐离地面的高度为 22 1 11 (4)100.8 m=3.2m 22 sgT(5) 对本题也可以这么看:把图中同一时刻5 个雨滴的位置, 看成一个雨滴在5 个不同时刻的位 置。即某一雨滴在t=0 时在位置 5,到达位置4、3、2、1 的时间分别为T、2T、3T、4T,因此本 题又有以下解法。 解法二:用初速为零的匀变速直线运动的规律求解比例法 初速为零的匀变速直线运动的物体,在连续相等时间内的位移比为1:3:5: 因此有s54:s43:s32:s21=1:3: 5:7 所以 3232 154433221 55 135716 ss sssss 得 132 1616 1m=3.2m 55 ss
17、由 2 1 1 (4) 2 sgT,得 1 3.2 s=0.2s 88 10 s T g 解法三:用位移公式求解 雨滴经过位置3 时,速度为v3=g(2T)=2gT(1) 由位移公式,有 2 323 1 2 sv TgT( 2) 由( 1) (2)得 32 22 1 s0.2s 55 10 s T g ( 3) 5 4 3 2 1 s32 s1 s3 s2 此屋檐离地面的高度为 22 1 11 (4)100.8 m=3.2m 22 sgT(4) 解法四:用速度位移公式求解 雨滴经过位置3 时,速度为v3=g(2T)=2gT(1) 雨滴经过位置2 时,速度为v2=g(3T)=3gT(2) 由速度
18、位移公式,有 22 2332 2vvgs(3) 由( 1) (2) (3)得 32 22 1 s0.2s 55 10 s T g ( 4) 此屋檐离地面的高度为 22 1 11 (4)100.8 m=3.2m 22 sgT(5) 解法五:用平均速度等于速度的平均值求解 雨滴经过位置3 时,速度为v3=g(2T)=2gT(1) 雨滴经过位置2 时,速度为v2=g(3T)=3gT(2) 则雨滴经过位置3、2 时间内的平均速度为 32 32 2 vv v(3) 又 3232svT (4) 由( 1) (2) (3) ( 4)得 32 2 2 1 s0.2s 55 10 s T g ( 5) 此屋檐离
19、地面的高度为 22 1 11 (4)100.8 m=3.2m 22 sgT(6) 解法六:用平均速度等于中间时刻速度求解(先求时间间隔) 雨滴运动到位置3、2 中间时刻的时间为t=2.5T 此时雨滴的速度为vt=gt=2.5gT(1) 由于中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度,所以雨滴在位置3、2 间运动的平均速度 为 32t vv (2) 又 3232 svT(3) 由( 1) (2) (3)得 32 22 1 s0.2s 55 10 s T g ( 4) 此屋檐离地面的高度为 22 1 11 (4)100.8 m=3.2m 22 sgT(5) 解法七:用平均速度等于中间时刻速度求解(先求
20、高度) 雨滴在位置3、2 间运动的平均速度等于该段过程中间时刻的速度,即 32 (2.5 )2.5vgTgT(1) 雨滴在整个运动中的平均速度等于全过程中间时刻的速度,即 51 (2)2vgTgT(2) 有 3232 151 4 svT svT (3) 由( 1) (2) (3)得 132 1616 1m=3.2m 55 ss(4) 由 2 1 1 (4) 2 sgT,得 1 3.2 s=0.2s 88 10 s T g (5) 解法八:用图象法求解 画出某一雨滴运动的v-t图象如图。在v-t图象中, 面积等于位移。 由图可知 2 32 23) 2.51 2 gTgTT ssgT 阴 ( (1
21、) 屋檐离地面高度为 2 1 44 8 2 TgT ssgT(2) 由( 1) (2)解得T=0.2s s1=3.2m (3) 从以上解题过程可以看出,用运动学公式解题,方法具有多样性。要注意以下几点:一、首 先要画出运动的示意图,并注意几何关系;二、公式要熟练,才能灵活运用;三、可以适当引入 一个参数,便于求解。 专题追击问题分析 追及、相遇问题的特点:讨论追及、相遇的问题,其实质就是分析讨论两物体在相同时间内 能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系:即时间关系和位移关系。一个条件:即两 者速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分 析判断的切
22、入点。提示:在分析时,最好结合tv图像来分析运动过程。 一、把握实质: 1、相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2、 解相遇和追击问题的关键 画出物体运动的情景图,理清三大关系 (1)时间关系:ttt BA (t为先后运动的时间差)( 2)位移关系:xxx BA (其中x为运动开始计时的位移之差) (3)速度关系: 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界 条件,也是分析判断的切入点。 t/s v/(m s -1) 0 T2T3T4T 2gT 3gT 4gT 二、特征分析: 3. 相遇和追击问题剖析: (一)追及问题 1、追及
23、问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。 甲物体追赶前方的乙物体,若甲的速度大于乙的速度,则两者之间的距离。若甲的 速度小于乙的速度,则两者之间的距离。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后 两者速度相等,则两者之间的距离(填最大或最小) 。 2 、分析追及问题的注意点: 要抓住一个条件,两个关系: 一个条件是两物体的速度满足的临界条件,如 两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等。 两个关系是时间关系和位移关系, 通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 仔细审题,充分挖掘题目中的隐含条件,同时注意vt图象的应用。
24、 三、追击、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图,根据两个物体的运动性质, 选择同一参照物, 列出两个物体的位 移方程 ; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解 . 说明 : 追击问题中常用的临界条件: 速度小者追速度大者, 追上前两个物体速度相等时,有最大距离 ; 速度大者减速追赶速度小者, 追上前在两个物体速度相等时, 有最小距离 . 即必须在此之 前追上 , 否则就不能追上. 四、追击类型: (分析 6 种模型) (1) 匀加速运动追匀速运动的情况(开始时v1v2时,两者距离变小,相遇时满足x1= x2+ x,全
25、程只相遇( 即追上 ) 一次。 课堂练习1: 一小汽车从静止开始以3m/s 2 的加速度行驶,恰有一自行车以6m/s 的速度从车边 匀速驶过求:(1) 小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远?此时距离是多 少? (2)小汽车什么时候追上自行车,此时小汽车的速度是多少? (2)匀速运动追匀加速运动的情况(开始时v1 v2) :v1 v2时,两者距离变小;v1= v2时, 若满足x1 x2+x,则后者撞上前者(或超越前者),此条件下理论上全程 要相遇两次。 课堂练习2:一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车,当他距离公 共汽车 25m时,绿灯亮了,汽车以1m/
26、s 2 的加速度匀加速启动前进,问:人能否追上汽车?若能 追上,则追车过程中人共跑了多少距离?若不能追上,人和车最近距离为多少? (3) 匀减速运动追匀速运动的情况(开始时v1 v2) :v1 v2时,两者距离变小;v1= v2时, 若满足x1 x2+x,则后者撞上前者(或超越前者),此条件下理论上全程 要相遇两次。 课堂练习3: 在一条平直的公路上,乙车以10m/s的速度匀速行驶,甲车在乙车的后面作初速 度为 15m/s, 加速度大小为0.5m/s 2 的匀减速运动, 则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1) 两车不相遇;(2)两车只相遇一次; (3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各
27、自的运动)。 课堂练习 4:汽车正以 10m/s 的速度在平直公路上前进,突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的 速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s 2 的匀减速运动,汽车 恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远? (4) 匀速运动追匀减速运动的情况(开始时v1v2时,两者距离变小,相遇时满足x1= x2+x,全程只相遇一次。 课堂练习5:当汽车B在汽车A前方 7m时,A正以vA=4m/s 的速度向前做匀速直线运动,而汽车 B此时速度vB=10m/s,并关闭油门向前做匀减速直线运动,加速度大小为a=2m/s 2。此时开始计 时,则A追上B需要的时间
28、是多少? (5) 匀减速运动的物体追同向匀减速运动的物体 追赶者不一定能追上被追者,但在两物体始终不相遇,当后者初速度大于前者初速度时,它 们间有相距最小距离的时候,两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻。 课堂练习6: 甲、乙两物体相距s,在同一直线上同方向做匀减速运动,速度减为零后就保持静 止不动。甲物体在前,初速度为v1,加速度大小为a1。乙物体在后,初速度为v2,加速度大小为 a2且知v1v2,但两物体一直没有相遇,求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少? (提示:若不考虑速度大小的关系,可做三种tv图像分析) (6) 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙
29、,只要时间足够长, 追赶着一定能追上被追赶者发生碰撞。追上前有最大距离的条件:两物体速度相等, 即vv 乙甲 。 若位移相等即追上(同一地点出发)。 课堂练习7: 一辆值勤的警车停在公路旁,当警员发现从他旁边以v8m/s的速度匀速行驶的 货车有违章行为时,决定前去拦截,经2.5s,警车发动起来,以a2m/s 2 加速度匀加速开出, 警车以加速度a维持匀加速运动能达到的最大速度为126km/h,试问: ( 1)警车要多长时间才能追上违章的货车? ( 2)在警车追上货车之前,两车间的最大距离是多少? ( 二) 、相遇问题: 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题,分析同上。在此不作分析。 相向运动的
30、物体,当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 五、具体方法分析: 常用 4 种方法:基本公式法、图像法、相对运动法、数学方法。 (1)基本公式法根据运动学公式,把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。 (2)图像法 正确画出物体运动的v-t图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合 三大关系求解。在利用vt求解时,两图线与t轴围成的面积之差表示相对位移,即: BA xxx。 (3)相对运动法巧妙选择参考系,简化运动过程、临界状态,根据运动学公式列式求解。 (4)数学方法 根据运动学公式列出数学关系式(要有实际物理意义)利用二次函数的求根 公式中 判别式求解,是否
31、相遇,根据判别式确定:0有解;0无解。提示:在处理实 际问题时,可假设两物体相遇,列方程,然后作判断。 典型例题分析: A火车以 v1=20m/s 速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以 v2=10m/s 速度匀速行驶,A车立即做加速度大小为a 的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a 应 满足什么条件? 解 1: (公式法) 两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由 A、B 速度关系: 21 vatv 由 A、B位移关系: 02 2 1 2 1 xtvattv 22 2 0 2 21 /5.0/ 1002 )1020( 2 )( smsm x vv a 2 /5
32、.0sma 解 2: (图像法) 在同一个v-t图中画出A车和 B车的速度时间图像图线,根据图像面积的物理意义,两车位移之 差等于图中梯形的面积与矩形面积的差,当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大, 为图中阴影部分 三角形的面积. 根据题意 , 阴影部分三角形的面积不能超过100 . 100)1020( 2 1 0 t st20 0 5.0 20 1020 tana 2 /5.0sma 解 3: (相对运动法) 以 B车为参照物, A 车的初速度为v0=10m/s,以加速度大小a 减速,行驶x=100m后“停下”, 末速度为vt=0。 0 2 0 2 2axvvt 22 2 0 2 0 2 /
33、5.0/ 1002 100 2 smsm x vv a t 2 /5.0sma 备注:以B为参照物 , 公式中的各个量都应是相对于B的物理量 . 注意物理量的正负号。 解 4: (二次函数极值法) (包含了时间关系) 物体的 v-t 图像的斜率表示 加速度 ,面积表示位移。 (由于不涉及时间,所以选用速 度位移公式。) 若两车不相撞,其位移关系应为 02 2 1 2 1 xtvattv 代入数据得:010010 2 1 2 tat 其图像 ( 抛物线 ) 的顶点纵坐标必为正值, 故有 0 2 1 4 )10(100 2 1 4 2 a a 2 /5.0sma 例: 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s 2 的加速度开始加速行驶,恰在这时 一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:汽车从路口开动后,在追上自行 车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?(用上述 4 种求解 )
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