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1、高三一轮复习 平面向量之三点共线定理的推广及其应用 知识点回顾: 1.平面向量基本定理: 2.三点共线定理定理: 例 1. 给定两个长度为1 的平面向量OA uu r 和OB uu u r ,它们的夹角为120.如 图 所示 ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB uu u r 上变动 .若OCxOAyOB uuu ruuruuu r 其中,则xy的最大值是 _. 探究:结论: 牛刀小试 如图 ,四边形OABC是边长为1 的正方形, 3OD,点P为BCD内(含边界 )的动点 ,设 ,OPxOCyOD x yR uu u ruu u ruuu r , 则xy的 最 大值等于 _. 小结 1: 变式
2、一 给定两个长度为1 的平面向量OA uu r 和OB uu u r ,它们的夹角 为120.如图所示 ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB uu u r 上变动 . 若OCxOAyOB uuu ruu ruu u r 其中,则2xy的最大值 是_. 小结 2: (温州九校2016 学年第一学期期末第17 题 ) ,x yR ,x yR O B A P Q B A B O A 已知扇环如图所示, 1 120 ,2, 2 AOBOAOAP是扇环边界上一 动点 ,且满足OPxOAyOB uu u ruuruu u r ,则2x y的取值范围是 _. 变式二: 如图 ,在正方形 ABCD中,E为AB
3、的中点 ,P是以A为圆心 ,AB为半径的圆弧 上的任意一点,设ACDEAP uuu ruuu ruu u r ,则的最小值为 _. 小结 3: 例 2.(金华十校2016 学年第一学期期末第9题) 在OMN中,点 A在 OM 上,点 B在 ON 上,且 ABMN,2OAOM, 若OPxOAyOB uu u ruuruu u r ,则终点P 落在四边形ABMN 内(含边界 )时, 2 1 yx x 的取值范围是_. 练一练: 正ABCV的边长为1,APxAByAC uu u ruu u ruuu r ,且 13 01,01, 22 xyxy, 则动点 P所形成的平面区域的面积是 _. 在圆锥曲线
4、中的综合应用 设 P 是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 右支上任意一点,已知( , )A a b和( ,)B ab,若 OPOAOB uuu ruuruu u r (O 为坐标原点 ),则 22 的最小值为 _. 思考:能否将该种方法推广至空间? 巩固练习 1. 如图所示 ,两射线 OA 和 OB 交于 O,给出下列向量: (1) 2OAOB uu ruu u r ; (2) 31 43 OAOB uu ruu u r ;(3) 11 23 OAOB uu ruu u r ; (4) 31 45 OAOB uuruu u r ;(5) 31 45 OAOB uu ruu
5、 u r 这些向量中以O 为起点 ,终点在阴影区域内的是_. 2. 设 D,E 分别是ABCV的边 AB,BC 上的点 , 12 , 23 ADAB BEBC,若 DExAByAC uuu ruu u ruuu r ,则xy的值为 _. 3. 平面内有三个向量,OA OB OC uur uu u r uuu r ,其中OA uu r 与OB uu u r 的夹角为 2 3 ,OA uu r 与OC uuu r 的夹角为 6 ,且 2,4 3OAOBOC uu ruu u ruuu r ,若,OCOAOBR uu u ruu ruu u r ,则的值为 _. 4. 已知O为ABCV的外心 ,若
6、2 2,1, 3 ABACBAC,且AOABAC uuu ruu u ruuu r ,则 的值为 _. 5. 如图 ,在正六边形ABCDEF中 ,点P是CDE内(包括边界 )的一个 动点 ,设,APABAFR uu u ruu u ruu u r ,则的取值范围是 A. 1,2B. 2,3C. 2,4D. 3,4 6. 已知直角三角形ABC中,3,4,5,ABACBCI是ABC的内心 ,P是IBC内部 (不含边界 )的动点 ,若( ,)APABACR uuu ruuu ruuu r ,则的取值范围是 A. 7 (,1) 12 B. 1 (,1) 3 C. 17 (,) 4 12 D. 1 (,
7、1) 4 7. 如图 ,在直角梯形ABCD中,1,2ADAB ABDC ADDCAB, 动点P在以点C为圆心 ,且与直线BD相切的圆上或圆内移动,设 ,APADABR uu u ruuu ruu u r ,则的取值范围是 A. 1,2B. 0,3C. 1,2D. 1,2 8. 在平行四边形ABCD 中,60 ,1,3,BADABADP为平行四边形内一点, 3 2 AP,若( ,)APABADR uu u ruu u ruuu r ,则3的最大值为 _. ED F AB C 9. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点 ,两定点 A,B 满足2OAOBOA OB uu ruu u ruu r uu
8、u r ,则点集 |,1,PO PO AO BR u uuru uruuur 所表示区域的面积为_. 10. 在OAB中,C 为OAB内(含边界 )一点 ,( ,)OCxOAyOB x yR uuu ruuruuu r ,则xy的最小值为 _. 11. 如图 ,A,B,C 是圆 O 上的三点 ,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于 圆 O 外的点 D,若OCmOAnOB uuu ruu ruu u r ,则mn的取值范围是_. 12. 在ABCV中,D 为 AB 的中点 ,动点 P 在BCDV的边界及其内部运动, 且满足 A Px A Dy A C uu u ruuu ruuu r ,则点(
9、 , ) x y 构成的平面区域的面积是_. 13. 矩形 ABCD 中,4,3,ABADM N分别是线段BC,CD 上的点 ,且 22 11 1 CMCN , 若ACxAMyAN uuu ruuu ruuu r ,则xy的最小值是 _. 14. 如图 ,两个正三角形ABC, 111 ABC组成“六芒星”,O 为“六芒星”的 中心 ,P 为“六芒星”图案上一点(边界上 ),且 1 OPxODyOC uu u ruuu ruuu r ,则 xy的取值范围是_. 15. 在正方形ABCD 中,E 为 BC 中点 ,P 是以 AB 为直径的半圆弧上任意一 点 ,设AExADyAP uu u ruuu ruu u r ,则2xy的最小值为 _. 16. 如图 ,在平行四边形ABCD 中,M,N 为 CD 边的三等分点,S为 AM 与 BN 的交点 ,P 为边 AB 上一 动点 ,Q 为SMN内一点 (含边界 ),若PQ xAMyBN uuu ruuuruuu r .则xy的取值范围是_. D C1B1 A1 O A BC E CD AB P S C A B D Q NM P 17. 已知椭圆 22 :1 10025 xy E的上顶点为A,4y交椭圆于,(B C B在 C 的左侧 ),点 P 在椭圆 E 上,若BPmBAnBC uu ruu ruu u r ,求mn的最大值 .
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