高三数学一轮复习配套讲义:第6篇第4讲基本不等式.pdf
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1、第 4 讲基本不等式 最新考纲 1了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 . 知 识 梳 理 1基本不等式:ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当ab 时取等号 (3)其中 ab 2 称为正数 a,b 的算术平均数,ab称为正数 a,b 的几何平均数 2几个重要的不等式 (1)重要不等式: a 2b22ab(a,bR)当且仅当 ab 时取等号 (2)ab ab 2 2(a,bR),当且仅当 ab 时取等号 (3)a 2b2 2 ab 2 2(a,bR),当且仅当 ab 时取等号 (4)b a a b2(a,b 同号
2、),当且仅当 ab 时取等号 3利用基本不等式求最值 已知 x0,y0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当xy 时,xy 有最小值是 2 p(简记:积 定和最小 ) (2)如果和 xy 是定值 s,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值是 s 2 4(简记:和定积 最大) 辨 析 感 悟 1对基本不等式的认识 (1)当 a0,b0 时, ab 2 ab.() (2)两个不等式 a 2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的 () 2对几个重要不等式的认识 (3)(ab) 24ab(a,bR)() (4) 2ab ab 2 1 a 1 b abab 2 a 2b2 2 .()
3、 (5)a 2b2c2abbcca(a,b,cR)() 3利用基本不等式确定最值 (6)函数 ysin x 4 sin x,x 0, 2 的最小值为 4.() (7)(2014 福州模拟改编 )若 x3,则 x 4 x3的最小值为 1.() (8)(2013 四川卷改编 )已知函数 f(x)4x a x(x0,a0)在 x3 时取得最小值, 则 a36.() 感悟 提升 两个防范一是在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件, 就 是“一正各项均为正;二定积或和为定值;三相等 等号能否取得 ”, 若忽略了某个条件,就会出现错误对于公式ab2 ab,ab ab 2 2,要弄 清它们的作
4、用、使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab 和 ab 的转化关 系如 (2)、(4)、(6) 二是在利用不等式求最值时, 一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次 使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 学生用书第 103 页 考点一利用基本不等式证明简单不等式 【例 1】 已知 x0,y0,z0. 求证: y x z x x y z y x z y z 8. 证明x0,y0,z0, y x z x 2 yz x 0,x y z y 2 xz y 0, x z y z 2 xy z 0, y x z x x y z y x z y z 8 yzxzxy xyz 8. 当且仅当 xyz时
5、等号成立 规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思 路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理, 经过 逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 【训练 1】 已知 a0,b0,c0,且 abc1. 求证: 1 a 1 b 1 c9. 证明a0,b0,c0,且 abc1, 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 32229, 当且仅当 abc 1 3时,取等号 考点二利用基本不等式求最值 【例 2】 (1)(2013 山东卷 )设
6、正实数 x,y,z满足 x23xy4y2z0,则当 xy z 取 得最大值时, 2 x 1 y 2 z的最大值为 () A0 B1 C.9 4 D3 (2)(2014 广州一模 )已知 2 x 2 y1,(x0,y0),则 xy 的最小值为 A1 B2 C4 D8 审题路线(1)x23xy4y 2z0? 变形得 zx23xy4y2? 代入z xy? 变形后利 用基本不等式 ? 取等号的条件把 2 x 1 y 2 z转化关于 1 y的一元二次函数 ? 利用配方 法求最大值 解析(1)由 x23xy4y2z0,得 zx23xy4y2, xy z xy x 23xy4y2 1 x y 4y x 3
7、. 又 x,y,z为正实数, x y 4y x 4, 当且仅当 x2y 时取等号,此时z2y 2. 2 x 1 y 2 z 2 2y 1 y 2 2y 2 1 y 22 y 1 y1 21,当1 y1,即 y1 时,上式有最大值 1. (2)x0,y0,xy(xy) 2 x 2 y 42 x y y x 44 x y y x8. 当且仅当 x y y x,即 xy4 时取等号 答案(1)B(2)D 规律方法条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个 量之间的函数关系, 然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变 形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用
8、基本不等式求解最 值 【训练 2】 (1)若正数 x,y 满足 x3y5xy,则 3x4y 的最小值是 A. 24 5 B.28 5 C5 D6 (2)(2014 浙江十校联考 )若正数 x,y 满足 4x 29y23xy30,则 xy的最大值是 A. 4 3 B.5 3 C2 D.5 4 解析(1)由 x3y5xy 可得 1 5y 3 5x1, 3x4y(3x4y) 1 5y 3 5x 9 5 4 5 3x 5y 12y 5x 13 5 12 5 5(当且仅当 3x 5y 12y 5x ,即 x1,y 1 2时,等号成立 ), 3x4y 的最小值是 5. (2)由 x0,y0,得 4x 29
9、y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等 号成立 ),12xy3xy30,即 xy2,xy 的最大值为 2. 答案(1)C(2)C 考点三基本不等式的实际应用 【例 3】 (2014济宁期末 )小王大学毕业后, 决定利用所学专业进行自主创业经 过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3 万元,每生产 x 万件, 需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足 8 万件时,W(x)1 3x 2x(万元) 在 年产量不小于 8 万件时,W(x)6x100 x 38(万元)每件产品售价为5 元通过 市场分析,小王生产的商品能当年全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元 )
10、关于年产量 x(万件 )的函数解析式; (注:年利润年销 售收入固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是 多少? 解(1)因为每件商品售价为5 元,则 x 万件商品销售收入为5x 万元,依题意得, 当 0x8 时, L(x)5x 1 3x 2x 31 3x 24x3; 当x8 时 , L(x) 5x 6x100 x 38 3 35 x 100 x . 所 以L(x) 1 3x 24x3,0x8, 35 x 100 x ,x8. (2)当 0x8 时,L(x) 1 3(x6) 29. 此时,当 x6 时,L(x)取得最大值 L(6)9 万元,
11、当 x8 时,L(x)35 x100 x 352x 100 x 352015, 此时,当且仅当 x 100 x 时,即 x10 时,L(x)取得最大值 15 万元 915, 所以当年产量为 10 万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大最 大利润为 15 万元 规律方法(1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题 意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用 基本不等式求解 (2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调 性求解 【训练 3】 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2013年举行促销活动,经 调查测算,该
12、产品的年销量(即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用t(t0)万元满 足 x4 k 2t1(k 为常数 )如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万 件已知 2013 年生产该产品的固定投入为6 万元,每生产 1 万件该产品需要再 投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品 成本包括固定投入和再投入两部分) (1)将该厂家 2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数; (2)该厂家 2013年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? 解(1)由题意有 14 k 1,得 k3,故 x4 3 2t1. y1.5612x x x(612
13、x)t 36xt36 4 3 2t1 t27 18 2t1t(t0) (2)由(1)知:y27 18 2t1t27.5 9 t 1 2 t 1 2 . 由基本不等式 9 t1 2 t1 2 2 9 t1 2 t1 2 6, 当且仅当 9 t1 2 t1 2, 即 t2.5 时等号成立, 故 y27 18 2t1t27.5 9 t1 2 t1 2 27.5621.5. 当且仅当 9 t1 2 t1 2时,等号成立, 即 t2.5 时,y 有最大值 21.5.所以 2013 年的 年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润最大,最大利润为21.5 万元 1基本不等式具有将 “和式”转化为 “积式
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