高二数学圆锥曲线复习资料.pdf
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1、纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 1 直线的倾斜角和斜率(一) 一知识清单 1以一个方程的解为坐标的点都是,反过来, ,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。 2在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向 旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角。 3直线的倾斜角为,其取值范围是 4叫做这条直线的斜率,直线的斜率常用k表 示,若直线的倾斜角为 90 ,则k 5 直线上的向量 12PP 及与它平行的向量都称为直线的。 直线 12 PP的方向向量 12PP 的 坐标是 2121 (,)xx yy。当直线 12 PP与x轴
2、不垂直时, 12 xx,此时,向量 12 21 1 PP xx 也 是直线 12 PP的方向向量, 且它的坐标是,既,其中k 是直线 12 PP的斜率。 二强化训练 直线的倾斜角和斜率的概念辨析 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)已知倾斜角,求斜率k;k (2)已知斜率k,求倾斜角; arctan (0) arctan (0) k k k k 注:已知倾斜角求斜率时,应注意讨论倾斜角为90 时,斜率不存在;在已知直线斜 率求其倾斜角时,应先由斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角,再用反正切(或特殊 角)将其表示出来;而由斜率范围求倾斜角范围或由倾斜角范围求其斜率范围时,要 结合正切函数的图象和其单调
3、性,求相应量的范围。 1 已知直线l的倾斜角为,并且 2 0 3 ,则直线l的斜率k的范围是 2 已知直线l的斜率k满足 3 3 3 k,则直线l的倾斜角的范围是 3 已知直线 1 l的倾斜角 1 30 ,直线 12 ll,求 1 l和 2 l的斜率 4 已知直线l的方向向量 2 (1,1)am 其中1m,求直线l的斜率k和倾斜角 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 2 5 过点( 1,2)P的直线l与x轴、y轴分别交于点A、B。若P点分AB所成的比为 1 2 , 求直线l的斜率和倾斜角。 6 如果直线l沿x轴负方向平移3 个单位,再沿y轴正方向平移1 个单位后,又回到原来 的位置,求直线 l的斜
4、率。 三点共线问题 7 若三点 1 (2,3),(3, 2),(,) 2 ABCm共线,求m的值。 重、难点突破 (一)利用数形结合的思想求动直线的倾斜角或斜率的范围 8 已知两点( 3,4),(3,2)AB,过点(2,1)P的直线l与线段AB有公共点 (1)求直线l的斜率k的取值范围 (2)求直线l的倾斜角的取值范围 9已知直线2ykx与线段PQ或QP的延长线相交,其中( 3, 4),(3,1)PQ求直线的斜 率的取值范围。 (二)利用分类讨论的思想求直线的倾斜角或斜率 10设直线l经过点 1(0,3) P和 2( ,1) P m,其倾斜角 .为 (1)求直线l的斜率k; (2)将表示为m的
5、函数; (3)若 2 63 ,求m的取值范围; (4) 若(, 2)(1,)m,求的取值范围。 11已知矩形ABCD中,( 4,4),(5,7)AD。中心E在第一象限内且与y轴的距离为一个 单位,动点( ,)P x y沿矩形一边BC运动,求 y x 的取值范围。 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 3 直线的倾斜角和斜率,直线方程 一知识清单 1以一个方程的解为坐标的点都是,反过来, , 这时, 这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。 2直线的倾斜角为,其取值范围是 3经过两点 111222 (,),(,)P x yP xy 12 ()xx的直线斜率公式是, 当 12 xx时,
6、 斜率 4直线经过点 111 (,)P x y且斜率为k,则其点斜式方程是,当直线的倾 斜角为90时,直线没有点斜式方程,其方程可写为。 直线的斜截式方程是,其中表示直线在y轴上的截距 (直线与y轴交点的纵坐标) 直线方程的两点式是,直线与坐标轴重合或与坐标轴平行时,没 有两点式方程,也就是两点式方程必须满足且。 直线的截距式方程是,其中,a b应满足,直线与坐标 轴平行或重合经过原点时,没有截距式方程。 方程0AxByC(0AB其中 , 不同时为 )叫做直线方程的一般式。 二强化训练 已知点(,)x y在直线 1 1 2 yx 上,则2xy 2若直线l的倾斜角的正弦值为 3 5 ,则l的斜率
7、是 3已知直线l的倾斜角为,并且 2 0 3 ,则直线l的斜率k的范围是 4已知直线l的斜率k满足 3 3 3 k,则直线l的倾斜角的范围是 5已知直线 1 l的倾斜角 1 30 ,直线 12 ll,求 1 l和 2 l的斜率 6求倾斜角是直线31yx的倾斜角的 1 4 ,且分别满足下列条件的直线方程 ( 1)经过点( 3,1) ( 2)在y轴上的截距是5 7直线l过点( 2,3)P且与x轴,y轴分别交于,A B两点,若P恰为线段AB的中点,求 直线l的方程。 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 4 x y o 1 l 2 l 1 l x y o 2 l x y o 1 l 2 l 8直线l的方程
8、为0AxByC,若l过原点和二、四象限,则() A 0 0 C B B 0 0 0 C B A C 0 0 C AB D 0 0 C AB 9直线 12 :0,:0(0)laxyblbxyaab的图象只可能是下图的() A B C D 10已知直线cot30xy( 为锐角是常数),求直线的倾斜角。 11已知点( 1,1),(2,2)PQ,直线:1lykx与线段PQ相交,求实数k的范围。 12直线l过点(1,2)和第一、 二、四象限, 若直线l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的 方程。 13若00acbc且,直线 0axbyc 不通过() A 第三象限B 第一象限C 第四象限D 第二象限 14
9、已知(3,)Pm在过(2, 1)3 4MN和 (, )的直线上,则m的值是 15已知直线l与直线3470xy的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积 为 24,求直线l的方程。 16过点( 5, 4)做直线l,使它与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5 个 平方单位,求直线l的方程。 x y o 1 l 2 l 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 5 直线方程(一) 二知识清单 1直线经过点 111 (,)P x y且斜率为k,则其点斜式方程是,当直线的倾 斜角为90时,直线没有点斜式方程,其方程可写为。 2 直线的斜截式方程是, 其中表示直线在y轴上的截距 (直 线与y轴交点的纵
10、坐标) 3直线方程的两点式是,直线与坐标轴重合或与坐标轴平行时,没 有两点式方程,也就是两点式方程必须满足且。 4直线的截距式方程是,其中,a b应满足,直线与坐标 轴平行或重合经过原点时,没有截距式方程。 5方程0AxByC(0AB其中 , 不同时为 )叫做直线方程的一般式。 二基础训练 (一)直线的点斜式、斜截式方程 注意:在利用题目中给定的条件求直线的点斜式和斜截式方程时,一要注意对其斜率 的存在性进行讨论,二要注意不要将“截距”和“距离”混淆 1 求倾斜角为直线31yx的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线方程 (1)经过点( 4,1); (2)在y轴上的截距为10 2 直线l过点(
11、1,2),(,3)AB m,求直线 l的方程 (二)直线的两点式和截距式 注意:两点式和截距式的局限性,不能表示那些直线的方程。 3 经过点(3,2)P,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 4 已知三角形的三个顶点(2,3),(3,1),(2,1)ABC,求它的三边所在直线的方程。 (三)直线方程的一般式 注意:一般式中,若00AB且,直线表示;若00BA且,直线表 示;若00CA B且,直线过。 5 直线0AxByC的系数,A B C满足什么条件时,这条直线具有如下性质 (1)与x轴垂直;(2)与y轴垂直;(3)与, x y轴都相交;(4)过原点 6 设直线l的方程为 22 (23)(21)
12、26mmxmmym,根据下列条件确定 m的值。 (1)l在x轴上的截距是3; (2)l的斜率是 1 (四)综合性问题 7下列四个命题中的真命题是() A 经过定点(,)P xy 的直线都可以用方程()yyk xx来表示 B经 过 任 意 两 个 不 同 点 111 (,)P x y, 222 (,)P xy的 直 线 都 可 以 用 方 程 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 6 121121 ()()()()yyxxxxyy来表示 C 不经过原点的直线都可以用方程1 xy ab 来表示 D 经过定点(0, )Ab的直线都可以用方程ykxb表示 三强化训练 8 ( 04 湖南)设直线0axbyc的
13、倾斜角为,且sincos0,则,a b满足 A 1abB 1abC 0abD 0ab 9 ( 05 上海)若直线l的倾斜角为 1 arctan() 2 且过点(1,0),则直线l的方程为 10 (06 上海)已知直线l过点(2,1)P,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O 为坐标原点,则三角形OAB的面积最小为 11 (05 黄冈)方程0AxByC表示倾斜角为锐角直线,则必有() A 0A BB 0A BC 00AB且D 00AB或 12若原点在直线l上的射影为( 2,1)N则l方程为 13无论a为何值,直线(1)210axya恒过的定点坐标为 14实数,x y满足40xy,则 22
14、xy的最小值为 15把直线3230xy绕点( 1,2)顺时针方向旋转15 所得的直线方程为 16设,k a是实数,要使关于x的方程21()xk xaa对于k的一切值都有解,求实 数a的取值范围 17过点(2,1)P作直线l分别交,x y正半轴于,A B两点 (1)若PA PB取得最小值时,求直线l的方程 (2)若OAOB取得最小值时,求直线l的方程 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 7 直线方程(二) 一基础训练 (一)直线的点斜式、斜截式方程 注意:在利用题目中给定的条件求直线的点斜式和斜截式方程时,一要注意对其斜率 的存在性进行讨论,二要注意不要将“截距”和“距离”混淆 7 求倾斜角为直线3
15、1yx的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线方程 (1)经过点( 4,1); (2)在y轴上的截距为10 8 直线l过点(1,2),(,3)AB m,求直线l的方程 (二)直线的两点式和截距式 注意:两点式和截距式的局限性,不能表示那些直线的方程。 9 经过点(3,2)P,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 10已知三角形的三个顶点(2,3),(3,1),(2,1)ABC,求它的三边所在直线的方程。 (三)直线方程的一般式 注意:一般式中,若00AB且,直线表示;若00BA且,直线表 示;若00CA B且,直线过。 11直线0AxByC的系数,A B C满足什么条件时, 这条直线具有如下性质
16、 (1)与x轴垂直;(2)与y轴垂直;(3)与, x y轴都相交;(4)过原点 12设直线l的方程为 22 (23)(21)26mmxmmym,根据下列条件 确定m的值。 (1)l在x轴上的截距是3; (2)l的斜率是1 (四)综合性问题 7下列四个命题中的真命题是() A 经过定点(,)P xy 的直线都可以用方程()yyk xx来表示 B经 过 任 意 两 个 不 同 点 111 (,)P x y, 222 (,)P xy的 直 线 都 可 以 用 方 程 121121 ()()()()yyxxxxyy来表示 C 不经过原点的直线都可以用方程1 xy ab 来表示 D 经过定点(0, )A
17、b的直线都可以用方程ykxb表示 8 ( 05 黄冈)方程0AxByC表示倾斜角为锐角直线,则必有() A 0A BB 0A BC 00AB且D 00AB或 9若原点在直线l上的射影为( 2,1)N则l方程为 10无论a为何值,直线(1)210axya恒过的定点坐标为 11实数, x y满足40xy,则 22 xy的最小值为 12把直线3230xy绕点( 1,2)顺时针方向旋转15 所得的直线方程为 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 8 两条直线的位置关系(一) 一两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行的判定 (1) 若直线 12 ll和的方程为 111 :lyk xb,2 22 :lyk
18、xb时, 直线 12 /ll; 若 直 线 12 ll和的 斜 率 均 不 存 在 且 在x轴 上 的 截 距 不 等 , 既 1122 :,:lxx lxx; 则 12 /ll; (2) 若直线方程 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xB yC, 则 12 /ll或 。 动 动 手若 两 直 线 1: 27lyx, 2: 21lyx, 则 1 l 2 l; 若 12 :345,:687lxylxy,则 1 l 2 l。 2 两条直线垂直的判定 (1) 若直线 12 ll和的方程为 111 :lyk xb, 222 :lyk xb时,直线 12 ll; 若两条直线中有一条直
19、线斜率不存在,另一条直线斜率为零时,两直线 (2) 若直线方程 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 则 12 ll; 动 动 手若 两 直 线 1: 1lyx, 2 :33100lxy, 则 1 l 2 l; 若 12 : 250,:2lxylxay且 12 ll,求a 二基础训练 1 直线204210xykxy和的位置关系是 2 过点(1,2)和直线4350xy平行的直线方程是 3 如果直线 12 :210,:(31)10lxmylmxmy平行,那么实数m的值为 4 若直线 12 :420,:0,laxylxayb求,a b分别取何值时,两直线平行。 5 与直线
20、2350xy平行,且在两坐标轴上截距之和为 10 3 的直线l的方程为 6 已知直线 12 :20,:(21)0laxyalaxaya互相垂直,求a的值 7 过点( 1,2)和直线4350xy垂直的直线方程是 8 已知(1,3),( 1, 1),(2,1)ABC,求ABC的BC边上的高线所在直线的方程。 9m为何值时。 12 :(3)453:2(5)80lm xymlxm y和 (1)相交(2)平行(3)重合(4)垂直 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 9 对称问题 一点关于点对称 点 111 (,)P xy关于点( , )P a b的对称点为 222 (,)P xy,则 1212 , 22 x
21、xyy ab 。 动动手:求点(2,3)A关于点(5,6)P的对称点B的坐标 如果点( 2,4)AB和点( -4,-2 )关于点 P 对称,求点P 的坐标 二点关于直线对称 点 111 (,)P xy关于直线0AxByC的对称点为 222 (,)P xy,则有 1212 21 12 21 0 22 1(0,) xxyy ABC yyA Bxx xxB 特别地,点 (,)P xy 关于x a的对称点 P坐标为(2,)axy 动动手: 1. 设点(3, 2)A关于直线210xy对称点 B 的坐标 2设点( 1,2)A关于直线30xy对称点 B 的坐标 3设点( 1,2)A关于直线3x对称点 B 的
22、坐标 4(3, 2)A关于直线1y对称点 B 的坐标 三直线关于点对称 1 求直线340xy关于点(2,1)P对称的直线l的方程。 2 求直线210xy关于原点对称的直线l的方程。 3 求直线2x关于点(2,1)P对称的直线l的方程。 4 求直线3y关于点(2,1)P对称的直线l的方程。 四直线关于直线对称 1 求直线 2yx关于y轴对称的直线方程 2 求直线2yx关于x轴对称的直线方程 3 求直线10xy关于直线0xy对称的方程 4 求直线20xy关于直线330xy对称的直线的方程 5 如果直线2yax与3yxb关于直线yx对称,则,a b的值为 纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 10 简单的
23、线性规划 一基础知识 1 二元一次不等式表示平面区域的确定方法:直线定界,特殊点定域。 2 最优秀解的确定方法:将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是。 二强化训练 (一)二元一次不等式表示平面区域 1 三角形 ABC 中,(3, 1), ( 1,1),(1,3)ABC,写出三角形ABC 区域所表示的二元一次不 等式组。 2 若 Ax+By+50表示的区域不包括点(1,2),2 ,wAB则w的范围是 3 若点(1,3)( 4, 2)和在直线20xym的两侧,则m的取值范围是 4 22 11xyxy是的() A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件
24、 (二)应用线性规划求最值 1设,x y满足不等式组 24 3 8 x y xy 求32zxy的最大值 2 (广东)变量, x y满足下列条件: 212 2936 2324 0,0 xy xy xy xy 则使得32zxy的值最小的( ,)x y是() A (4.5,3)B (3,6)C (9,2)D (6,4) 3 (黄冈)已知 10 10 1 xy xy y ,且 22 448uxyxy,则u的最小值为 4 (海淀)y满足 330 0 0 xy x y ,则不等式表示的区域面积为, 2 1 y z x 的取 值范围是 6 (江苏)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现
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