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1、高中数学圆锥曲线双曲线 一、选择题 1(文)(2016 山东潍坊 )已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y 4x,则该双曲线的离心率是() A.17 B.15 C. 17 4 D. 15 4 答案 C 解析 设双曲线方程为 y 2 a 2 x 2 b 21,则由题意得, a b4, a 2 c 2a216, e 17 4 . (理)(2016 河北唐山 )过双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O 为原点 )的 垂直平分线上,则双曲线的离心率为() A2 B.5 C.2 D.3 答案 C 解析 如图, FM l,垂足为M, M 在
2、 OF 的中垂线上, OFM 为等腰直角三角形,MOF 45 , 即 b a 1, e 2. 2(2010 全国文 )已知 F1、F2为双曲线 Cx2y21 的左、右焦点, 点 P在 C 上,F1PF260 , 则|PF1| |PF2| () A2B4 C6D8 答案 B 解析 在 F1PF2中,由余弦定理 cos60 |PF1| 2|PF 2| 2 |F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| |PF1|PF2| 2 |F 1F2| 22|PF 1| |PF2| 2|PF1| |PF2| 4a 24c2 2|PF1|PF2|1 2b2 |PF1| |PF2|1, b 1, |PF1| |PF
3、2|4. 3(文)(2016 合肥市 )中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x2) 2y21 都相切,则双 曲线 C 的离心率是 () A. 2 3 3 或 2 B2 或3 C.3或 6 2 D.2 3 3 或 6 2 答案 A 解析 焦点在 x 轴上时,由条件知 b a 1 3 , c 2a2 a 2 1 3, e c a 23 3 ,同理,焦点在y 轴上时, b a 3,此 时 e2. (理)已知 F1、F2是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的两个焦点,以线段 F1F2为边作正 MF1F2,若边 MF1的中点在 双曲线上,则双曲线的离心率为() A
4、423 B.31 C. 31 2 D.31 答案 D 解析 设线段 MF1的中点为 P,由已知 F1PF2为有一锐角为60 的直角三角形, |PF1|、|PF2|的长度分别为 c 和3c. 由双曲线的定义知:(31)c 2a, e 2 31 31. 4已知椭圆 x 2 3m 2 y 2 5n 2 1 和双曲线 x 2 2m 2 y 2 3n 21有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为 () Ax 15 2 yBy 15 2 x Cx 3 4 yDy 3 4 x 答案 D 解析 由题意 c 2 3m2 5n22m23n2, m28n2, 双曲线渐近线的斜率k 3|n| 2|m| 3 4 . 方程
5、为 y 3 4 x. 5(文)(2016 湖南师大附中模拟)已知双曲线 x 2 m y 2 7 1,直线 l 过其左焦点F1,交双曲线左支于A、B 两点,且 |AB|4,F2为双曲线的右焦点, ABF2的周长为 20,则 m 的值为 () A8 B9 C16 D20 答案 B 解析 由已知, |AB|AF2|BF2|20,又 |AB|4,则 |AF2|BF2|16. 据双曲线定义,2a|AF2|AF1| |BF2|BF1|,所以 4a|AF2| |BF2|(|AF1|BF1|)16412,即 a3,所 以 ma 29,故选 B. (理)(2016 辽宁锦州 )ABC 中, A 为动点, B、C
6、 为定点, B m 2 ,0 ,C m 2 , 0 (其中 m0,且 m 为常数 ),且 满足条件sinC sinB 1 2sinA,则动点 A 的轨迹方程为 () A. 16y 2 m 2 16x 2 3m 21 B. x 2 16 y 2 16 3 1 C.16x 2 m 216y 2 3m 21(xm 4 ) D.16x 2 m 2 16y 2 3m 2 1 答案 C 解析 依据正弦定理得:|AB|AC| 1 2|BC| m 2 m 4 ) 6设双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点, 过 F1作 F1QF2
7、的平分线的垂线,垂足为P,则点 P 的轨迹是 () A椭圆的一部分B双曲线的一部分 C抛物线的一部分D圆的一部分 答案 D 解析 延长 F1P 交 QF2于 R,则 |QF1|QR|. |QF2|QF1|2a, |QF2|QR|2a|RF2|, 又|OP| 1 2|RF2|, |OP|a. 7(文)(2016 温州市十校 )已知点 F 是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A、B两点, 若 ABE 是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e 的取值范围是() A(1, ) B(1,2) C(1,12) D(
8、2,12) 答案 B 解析 由题意易知点F 的坐标为 (c,0),A c,b 2 a ,B c, b 2 a , E(a,0),因为 ABE 是锐角三角形,所 以EA EB 0,即 EA EB ca, b 2 a ca, b 2 a 0,整理得3e 22ee4, e(e33e 31)1, e (1,2),故选 B. (理)(2016 浙江杭州质检)过双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一个焦点 F 引它的渐近线的垂线,垂足为 M,延长 FM 交 y 轴于 E,若 FMME,则该双曲线的离心率为() A3 B2 C.3 D.2 答案 D 解析 由条件知l:y b ax 是线段
9、 FE 的垂直平分线, |OE|OF|c,又 |FM| |bc| a 2b2b, 在 RtOEF 中, 2c 24b2 4(c2 a2), e c a1, e 2. 8若直线ykx2 与双曲线x 2y26 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是() A. 15 3 , 15 3 B. 0, 15 3 C. 15 3 , 0D. 15 3 , 1 答案 D 解析 直线与双曲线右支相切时,k 15 3 ,直线 ykx2 过定点 (0,2),当 k 1 时,直线与双曲线渐近 线平行,顺时针旋转直线y x2 时,直线与双曲线右支有两个交点, 15 3 0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上 的
10、任意一点,则OP FP 的取值范围为() A32 3, ) B32 3, ) C7 4, ) D7 4, ) 答案 B 解析 由条件知a 21 224, a23, 双曲线方程为 x 2 3 y21. 设 P 点坐标为 (x,y),则 OP (x, y),FP (x2,y), y 2x 2 3 1, OP FP x 22xy2 x22xx 2 3 1 4 3x 22x1 4 3(x 3 4) 27 4. 又 x3(P 为右支上任意一点) OP FP 32 3.故选 B. (理)(2010 新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于
11、A,B 两点, 且 AB 的中点为 N(12, 15),则 E 的方程为 () A. x 2 3 y 2 6 1 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 6 y 2 3 1 D.x 2 5 y 2 4 1 答案 B 解析 设双曲线的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0),由题意知 c 3,a 2 b2 9,设 A(x1,y1),B(x2,y2)则有: x1 2 a 2 y1 2 b 21 x2 2 a 2 y2 2 b 21 ,两式作差得: y1y2 x1x2 b 2 x1x2 a 2 y1y2 4b 2 5a 2, kAB y1 y2 x1 x2,且 k AB 150
12、1231,所以 4b25a2代入 a 2b29 得 a24,b25,所以双曲线标准方程是x 2 4 y 2 5 1,故选 B. 10(文 )过椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 1 2a,则双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的离心率 e 的值是 ( ) A. 5 4 B. 5 2 C.3 2 D. 5 4 答案 B 解析 将 xc 代入椭圆方程得, c 2 a 2 y 2 b 21, y 2 1c 2 a 2 b 2a 2c2 a 2 b 2b 2 a 2b 2, yb 2 a . b 2 a 1 4a, b 21 4a 2,e2c 2 a
13、2 a 21 4a 2 a 2 5 4, e 5 2 ,故选 B. (理)(2016 福建宁德一中)已知抛物线x 22py(p0)的焦点 F 恰好是双曲线 y 2 a 2 x 2 b 21 的一个焦点,且两条曲线交 点的连线过点F,则该双曲线的离心率为() A.2 B1 2 C12 D无法确定 答案 C 解析 由题意知 p 2c,根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于 y 轴,对双曲线来说,这两 个交点连线的长度是 2b 2 a ,对抛物线来说,这两个交点连线的长度是2p, p 2c, 2b 2 a 4c, b 22ac, c2a22ac, e 22e10,解得 e1 2, e1,
14、 e 12. 二、填空题 11(文)(2016 广东实验中学)已知 P 是双曲线 x 2 a 2 y 2 9 1 右支上的一点,双曲线的一条渐近线的方程为3xy 0.设 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若 |PF2| 3,则 |PF1|_. 答案 5 解析 由双曲线的一条渐近线的方程为3xy0 且 b3 可得: a1,由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a, |PF1|32, |PF1|5. (理)(2010 东营质检 )已知双曲线 x 2 9 y 2 a 1 的右焦点为 (13, 0),则该双曲线的渐近线方程为_ 答案 y 2 3x 解析 由题意知9 a13, a4, 故双曲线的实半轴长为
15、a3,虚半轴长b 2, 从而渐近线方程为y 2 3x. 12(2016 惠州市模考 )已知双曲线 x 2 a 2y 21(a0)的右焦点与抛物线 y 28x 焦点重合,则此双曲线的渐近线方 程是 _ 答案 y 3 3 x 解析 y 28x 焦点是 (2,0), 双曲线 x 2 a 2y 21 的半焦距 c2,又虚半轴b1, 又 a0, a22123, 双曲线渐近线的方程是y 3 3 x. 13(2016 北京东城区 )若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2, P 为双曲线上一点,且|PF1| 3|PF2|, 则该双曲线离心率的取值范围是_ 答案 10,
16、b0)的一条渐近线方程为 y3x,且其一个焦点与抛物线y 28x 的焦点重合,则 双曲线的离心率为2; 将函数ycos2x 的图象向右平移 6个单位,可以得到函数 ysin 2x 6 的图象; 在 RtABC 中, ACBC,ACa,BC b,则 ABC 的外接圆半径r a 2b2 2 ;类比到空间,若三棱锥S ABC 的三条侧棱SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别为a、b、c,则三棱锥SABC 的外接球的半径R a 2b2 c2 2 . 其中真命题的序号为_(把你认为是真命题的序号都填上) 答案 解析 设双曲线方程为m 2 x 2y21, a2 1 m 2,b21,c2a2b2m 21
17、 m 2 e c a m210,b0)的一条渐近线方程为y3x,可得 b a 3,因此离心率e c a a 2b2 a a 2 3a 2 a 2,正确; 函数 ycos2x 的图象向右平移 6个单位得 ycos2(x 6)cos(2x 3) sin 2(2x 3)sin(2x 6)的图象, 错误; 将三棱锥SABC 补成如图的长方体,可知三棱锥SABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长, 则 R a 2b2c2 2 ,正确 三、解答题 15(文 )已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F(2,0) (1)求双曲线方程; (2)设 Q 是双曲线上一点,且过点F、Q 的直线 l 与
18、y 轴交于点M,若 |MQ |2|QF |,求直线l 的方程 解析 (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0) 则有 e c a 2,c2, a1,则 b 3 所求的双曲线方程为x 2y 2 3 1. (2)直线 l 与 y 轴相交于M 且过焦点F(2,0) l 的斜率 k 一定存在,设为k,则 l:y k(x2) 令 x0 得 M(0,2k) |MQ |2|QF |且 M、Q、F 共线于 l MQ 2QF 或MQ 2QF 当MQ 2QF 时, xQ 4 3 ,yQ 2 3k Q 4 3, 2 3 k , Q 在双曲线x2 y 2 3 1 上, 16 9
19、 4k 2 27 1, k 21 2 , 当MQ 2QF 时, 同理求得Q(4, 2k)代入双曲线方程得, 16 4k 2 3 1, k 3 2 5 则所求的直线l 的方程为: y 21 2 (x2)或 y 3 5 2 (x2) (理)(2016 湖南湘潭市 )已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0),右顶点为 (3,0) (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线 l: y kx2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和 B, 且OA OB 2(其中 O 为原点 ), 求 k 的取值范围 解析 (1)设双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21, 由已知得a3,c 2,再由 a 2b222
20、得, b 2 1, 故双曲线C 的方程为 x 2 3 y 21. (2)将 ykx2代入 x 2 3 y21 中得, (13k 2)x26 2kx9 0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 13k 20 6 2k 236 13k2 36 1 k 2 0 , k2 1 3且 k 22 得, xAxByAyB2, xAxByAyBxAxB(kxA 2)(kxB2) (k21)xAxB2k(xAxB)2 (k21)9 13k 2 2k 6 2k 13k 2 23k 27 3k 21 于是 3k 2 7 3k 2 12,即 3k29 3k 210, 解此不等式得 1 30 4k0 ,即 k0,b0
21、)相交于 B、D 两点,且 BD 的 中点为 M(1,3) (1)求 C 的离心率; (2)设 C 的右顶点为A,右焦点为F,|DF | |BF|17,证明:过A、 B、D 三点的圆与x 轴相切 解析 (1)由题意知, l 的方程为: yx 2, 代入 C 的方程并化简得, (b 2a2)x2 4a2x4a2a2b20 设 B(x1,y1),D(x2,y2), 则 x1x2 4a 2 b 2a2,x1 x2 4a 2 a2 b 2 b 2a2 由 M(1,3)为 BD 的中点知 x1x2 2 1,故 1 2 4a 2 b 2a21 即 b23a 2 故 ca 2b22a, C 的离心率e c
22、a2. (2)由知, C 的方程为3x 2y23a2, A(a,0),F(2a,0),x1x22,x1 x2 43a 2 2 1)的两条直线l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 l2.求 h 的值 分析 (1)由条件写出直线A1P 与 A2Q 的方程,两式相乘后消去x1,y1得交点 E 的方程; (2)l1,l2与 E 只有一个交点,写出 l1与 l2的方程与曲线E 的方程联立,运用 0 求解 解析 (1)由条件知 |x1|2, A1、A2为双曲线的左、右顶点, A1( 2,0),A2(2,0) A1Py y10 x1 2(x 2),A2Qy y1 0 x1 2 (x2), 两式相
23、乘得y2 y12 x1 22(x 22), 而点 P(x1,y1)在双曲线上,所以 x1 2 2 y121, 即 y1 2 x1 22 1 2,代入式,整理得, x 2 2 y21. |x1| 2,点 A1(2,0),A2(2,0)均不在轨迹E 上,又双曲线的渐近线方程为y 2 2 x,故过点 (0,1)和 A2(2,0)的直线与双曲线仅有一个交点A2(2, 0),故点 (0,1)不在轨迹E 上,同理点 (0, 1)也不在轨迹E 上, 轨迹 E 的方程为 x 2 2 y2 1(x 2,且 x 0) (2)设 l1ykxh,则由 l1l2知, l2y 1 kxh. 将 l1ykx h 代入 x 2 2 y 21 得 x 2 2 (kxh)21,即 (12k2)x2 4khx2h2 20, 由 l1与 E 只有一个交点知, 16k2h 2 4(12k2)(2h22)0, 1 2k2h2. 同理,由l2与 E 只有一个交点知,12 1 k 2h2, 消去 h 2 得 1 k 2 k 2, 即 k21,从而 h2 12k23,即 h3. 又分别过A1、A2且互相垂直的直线与y 轴正半轴交于点(0,2), h2符合题意,综上知h2或3.
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