高考数学新题型选编(共70个题).pdf
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1、 你的首选资源互助社区 高考数学新题型选编(共70 个题) 1、 ()已知函数: 1 ( )2()() ,(0,),) nnn fxxaxaxnN求函数( )f x的最小值 ; ()证明 :()(0,0,) 22 nn nabab abnN; ()定理 :若 123 , k a aaa均为正数 ,则有 123123 () nnnn n kk aaaaaaaa kk 成立 (其中2,)kkNk为常数请你构造一个函数( )g x,证明: 当 1231 , kk a aaaa均为正数时, 12311231 () 11 nnnn n kk aaaaaaaa kk 解: ()令 111 ( )2()0
2、nnn f xnxn ax得 11 (2 )()2 nn xaxxaxxa 2 分 当0 xa时,2xxa( )0fx 故( )f x在0,a上递减 当,( )0xa fx故( )f x在( ,)a上递增所以,当xa时,( )f x的最小值为( ) 0f a.4 分 ()由0b,有( )( )0f bf a即 1 ( )2()()0 nnnn f babab 故()(0,0,) 22 nn nabab abnN5 分 ()证明 :要证: 12311231 () 11 nnnn n kk aaaaaaaa kk 只要证: 1 12311231 (1)()() nnnnnn kk kaaaaaaa
3、a 设( )g x 1 123123 (1)()() nnnnnn kaaaxaaax 7 分 则 111 12 ( )(1)() nnn k gxknxn aaax 令( )0gx得 12k aaa x k .8 分 你的首选资源互助社区 当0x 12k aaa k 时, 11 12 ( )() nn k gxnkxxn aaax 11 1212 ()()0 nn kk n aaaxn aaax 故 12 ( )0, k aaa g x k 在上递减,类似地可证 12 ( )(,) k aaa g x k 在递增 所以 12 ( ) k aaa xg x k 当时,的最小值为 12 ()
4、k aaa g k 10 分 而 1 121212 1212()(1) () () nnnnnn kkk kk aaaaaaaaa gkaaaaaa kkk = 1 121212 (1) ()()(1)() n nnnnnn kkk n k kaaaaaakaaa k = 1 1212 (1) ()() n nnnnn kk n k k aaak aaa k = 1 1 1212 1 (1) () () n nnnnn kk n k kaaaaaa k 由定理知 : 1 1212 ()()0 nnnnn kk kaaaaaa故 12 ()0 k aaa g k 12 11 0,)()()0 k
5、 kk aaa ag ag k 故 1 12311231 (1)()() nnnnnn kk kaaaaaaaa 即: 12311231 () 11 nnnn n kk aaaaaaaa kk . 14 分 2、用类比推理的方法填表 等差数列 n a中等比数列 n b中 32 aadqbb 23 3425 aaaa 5243 bbbb 123453 5aaaaaa 答案: 5 354321 bbbbbb 你的首选资源互助社区 3、10定义一种运算“*” :对于自然数n 满足以下运算性质: (i)1*1=1 , (ii) (n+1)*1= n*1+1,则 n*1 等于 A nBn+1 C n
6、- 1 D 2 n答案: D 4、 若)(nf为*)( 1 2 Nnn的各位数字之和,如:197114 2 ,17791,则17)14(f;记 )8(*,),()(,),()(),()( 20081121 fNknffnfnffnfnfnf kk 则 _ 答案: 5 5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。 (1)请画出四棱锥S-ABCD的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明;如果不存 在,请说明理由; (2)若 SA面 ABCD,E为 AB中点,求二面角E-SC-D的大小; (3)求点 D 到面 SEC的距离。 (1)存在一条侧棱垂直于底面(如图),3 分
7、 证明:,ADSAABSA且 AB、AD 是面 ABCD内的交线SA底面 ABCD ,5 分 (2)分别取SC 、 SD的中点 G、F,连 GE、GF、 FA , 则 GF/EA,GF=EA,AF/EG 而由 SA面 ABCD得 SACD, 又 ADCD,CD面 SAD,AFCD 又 SA=AD,F是中点,SDAF AF面 SCD,EG 面 SCD,SEC面面 SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90 ,10 分 (3)作 DHSC于 H, 面 SEC面 SCD,DH面 SEC, DH 之长即为点D 到面 SEC的距离, 12 分 在 RtSCD中,a a aa SC DCSD DH 3 6
8、 3 2 答:点 D 到面 SEC的距离为a 3 6 ,14 分 6、一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B,将自然数列(1)nn中的各数依次输入A 口,从 B 口得到输出的数列 n a,结果表明:从A 口输入1n时,从 B 口得 1 1 3 a;当2n时, a a a a a a a2a2 a a a a S A B C D E F G H 你的首选资源互助社区 从 A 口输入n,从 B 口得到的结果 n a是将前一结果 1n a 先乘以自然数列n中的第1n个奇数,再除以 自然数列 n a中的第1n个奇数。试问: ( 1)从 A 口输入 2 和 3 时,从 B 口分别得到什么数
9、? ( 2)从 A 口输入 100 时,从 B 口得到什么数?并说明理由。 解( 1) 21 1 15 15 aa 32 1 37 35 aa ( 2)先用累乖法得 * 1 () (21)(21) n anN nn 得 100 11 (21001)(21001)39999 a 7、在 ABC中,),(),0,2(),0,2(yxACB,给出 ABC满足的条件,就能得到动点A 的轨迹方程,下 表给出了一些条件及方程: 条件方程 ABC周长为 10 1 C:25 2 y ABC面积为 10 2 C:)0(4 22 yyx ABC中, A=903 C:)0(1 59 22 y yx 则满足条件、的轨
10、迹方程分别为(用代号 1 C、 2 C、 3 C填入) 答案: 213 CCC 8、已知两个函数)(xf和)(xg的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. 填写 下列 )(xfg 的表格 ,其三个数依次为 x 1 2 3 f(x)2 3 1 x 1 2 3 g(x)1 3 2 你的首选资源互助社区 A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 答案: D 9、在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下: 当ab时,aba; 当ab时,abb 2 。 则函数fxxxxx( )()()1222,的最大值等于(C ) ( “ ”和“”仍为通常的乘法和减法
11、)A. 1B. 1 C. 6 D. 12 10 、 已 知xR, x 表 示 不 大 于x 的 最 大 整 数 , 如3, 1 2 1, 1 2 0, 则 3_;使x13成立的 x 的取值范围是_ 答案: 2 11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线yx上”这个课题,我们可以分三步进行研 究: (I)首先选取如下函数: yx21,y x x 2 1 ,y x1 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标: yx21与其反函数y x1 2 的交点坐标为(1, 1) y x x 2 1 与其反函数y x x2 的交点坐标为(0,0) , (1,1) yx1与其反函数yxx 2 10,(
12、)的交点坐标为( 15 2 15 2 ,) , ( 1, 0) , ( 0, 1) (II)观察分析上述结果得到研究结论; (III)对得到的结论进行证明。 现在,请你完成(II)和( III) 。 解: ( II)原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线yx 上2 分 (III)证明:设点(a,b)是f x( )的图象与其反函数图象的任一交点,由于原函数与反函数图象关 于直线 yx 对称,则点(b,a)也是f x( )的图象与其反函数图象的交点,且有 bf aaf b( )( ), x 1 2 3 g (f(x)) 你的首选资源互助社区 若 ab 时,交点显然在直线yx上 若 a22时,
13、 W1W2,此时,把a 单位量的水平均分成2 份后,清洗两次,残留的农药量较少; 当 a=22时, W1=W2,此时,两种清洗方式效果相同;当a0)上变化,求x 2 2y 的最大值; ( 3)由 22 2 10 4 xy b b 能否确定一个函数关系式yf x,如能,求解析式;如不能,再加什么条 件就可使xy、之间建立函数关系,并求出解析式。 解: ( 1) 2 2 31 101 44 bb b (4 分) (2)根据 22 2 10 4 xy b b 得 2 2 2 4 1 y x b (5 分) 2 222 2 22 4 24 124 44 ybb xyyybyb bb ( 7 分) 2
14、2 max 4224 4 b bbxyb当时,即时 你的首选资源互助社区 22 2 max 424 44 bb bbxy当时,即 0时 2 2 max 244 2 404 4 bb xy b b , , (10 分) (2)不能(11 分) 如再加条件xy0就可使xy、之间建立函数关系(12 分) 解析式 2 2 2 2 1x0 10 x b y x x b , , (14 分) (不唯一,也可其它答案) 32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木 板的钉子长度后一次为前一次的 *1 Nk k 。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次
15、受击后 进入木板部分的铁钉长度是钉长的 7 4 ,请从这个实事中提炼出一个不等式组是 1 7 4 7 4 7 4 1 7 4 7 4 2 kk k 。 33、已知 NxxxP, 91 ,记 cdabdcbaf, , (其中Pdcba,) ,例如: 4, 3 ,2, 1f 104321。设Pyxvu,,且满足66,39,vxyufyxvuf和,则有序数组 yxvu, 是9, 1 , 6, 8。 15, 7 3, 9 105 27 vyxu vyxu vyxu vyxu 34、 ( 12=9+3) (理)设P表示幂函数 65 2 cc xy在, 0上是增函数的c的集合;Q表示不等式 121cxx对
16、任意Rx恒成立的c的集合。(1)求QP; (2)试写出一个解集为QP的不 等式。 ( 文 ) 设P表 示 幂 函 数 86 2 cc xy在 , 0上 是 增 函 数 的c的 集 合 ; Q表 示 不 等 式 cxx41对任意Rx恒成立的c的集合。 (1)求QP; (2)试写出一个解集为QP的不等 式。 你的首选资源互助社区 解: (理) (1)幂函数 65 2 cc xy在,0上是增函数,065 2 cc,即, 32,P, 又不等式121cxx对任意Rx恒成立, 112c,即, 10,Q, , 32, 10,QP。 (2)一个解集为QP的不等式可以是 0321xxxx 。 (文) (1)幂
17、函数 86 2 cc xy在,0上是增函数, 086 2 cc,即,42,P, 又不等式cxx41对任意Rx恒成立,3c,即 3 ,Q , ,43,QP。 (2)一个解集为QP的不等式可以是0 4 3 x x 。 35、 (理)已知axxxaxf,2 ,2, 2 132 为正常数。 (1)可以证明:定理“若a、 Rb,则ab ba 2 (当且仅当ba时取等号)”推广到三个 正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明); (2)若0xf在2,0上恒成立,且函数xf的最大值大于1,求实数a的取值范围,并由此猜 测xfy的单调性(无需证明) ; ( 3)对满足(2)的条件的一个常数a,设 1
18、xx时,xf取得最大值。试构造一个定义在 NkkxxxD, 24, 2 且上的函数xg,使当2,2x时,xfxg,当Dx时, xg取得最大值的自变量的值构成以 1 x为首项的等差数列。 解: (1)若a、b、Rc ,则 3 3 abc cba (当且仅当cba时取等号)。 (2)0 2 1 2 12232 xaxxxaxf在2, 0上恒成立,即 22 2 1 xa在2,0上恒成立, 2,0 2 12 x,2 2 a,即2a, 又 你的首选资源互助社区 3 2 3 22222 222222 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1a xaxax xaxaxxf 222 2 1 xax,即ax
19、 3 6 时, 2 6 2 6 4 63 62 9 1 9 62 3 33 max aaaf, 又ax 3 6 2, 0,6, 0a。综上,得6,2a。 易知,xf是奇函数,ax 3 6 时,函数有最大值,ax 3 6 时,函数有最小值。 故猜测: 2 , 3 6 3 6 ,2aax时,xf单调递减;aax 3 6 , 3 6 时,xf单调 递增。 (3)依题意,只需构造以4为周期的周期函数即可。 如对Nkkkx,24 ,24,2,24kx,此时kxfkxgxg44, 即Nkkkxkxkxaxg,24,24,4 2 1 4 32 。 (文)已知函数xbbaxxf 22 242, 2 1axxg
20、 ,Rba, ()当0b时,若xf在,2上单调递增,求a的取值范围; ()求满足下列条件的所有实数对 ba, : 当a是整数时, 存在 0 x, 使得 0 xf是xf的最大值, 0 xg 是xg的最小值; ()对满足()的条件的一个实数对ba,, 试构造一个定义在2| xxD, 且Nkkx, 22 上的函数xh,使当0, 2x时,xfxh,当Dx时,xh取得最大值的自变量的值构成以 0 x 为首项的等差数列。 解: ()当0b时,xaxxf4 2 , 若0a,xxf4,则xf在, 2上单调递减,不符题意。 你的首选资源互助社区 故0a,要使xf在,2上单调递增,必须满足 2 2 4 0 a
21、a ,1a。 ()若0a, xbbxf 2 242,则xf无最大值,故 0a,xf为二次函数, 要使xf有最大值,必须满足 024 0 2 bb a ,即0a且5151b, 此时, a bb xx 2 0 24 时,xf有最大值。 又xg取最小值时,axx 0 ,依题意,有Za a bb 2 24 ,则 222 1524bbba, 0a且5151b,Zaa50 2 ,得1a,此时1b或3b。 满足条件的实数对ba,是3, 1,1, 1。 ()当实数对ba,是3 , 1,1, 1时,xxxf2 2 依题意,只需构造以2(或 2 的正整数倍)为周期的周期函数即可。 如对kkx2,22,0, 22,
22、kxNk, 此时,kxkxkxfkxhxh22222 2 , 故 Nkkkxkxkxxh,2, 22,222 2 。 36、有穷数列 an ,Sn为其前 n 项和,定义 n SSSS n n T 321 为数列 an 的“凯森和” , 如果有 99 项的数列a1、a2、a3、, 、a99的“凯森和”为1000,则有 100 项的数列 1、a1、a2、a3、a4、, a99的“凯森和” 100 T= 991 。 37、先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 已知Raa 21, ,1 21 aa,求证 2 1 2 2 2 1 aa, 证明:构造函数 2 2 2 1 )()()(axaxxf 2
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- 高考 数学 题型 选编 70
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