高考理科数学复习专题-圆锥曲线中的参数范围问题(1).pdf
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1、圆锥曲线中的参数范围问题 知识点梳理 求参数的取值范围问题,常用的解决方法有两种:、第一种是不等式(组)求解法根据题意结合图形列 出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)再得出参数的变化范围;、第二种是函数的值域 求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 例题讲解: 题型一、点在曲线内部,如点在圆内(外)、椭圆内(外)、抛物线某一侧,则可列出不等式,是大于号还是小于 号可类似线性规划中特殊点定号的方法判定。 1、 (07 年全国高考)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线34xy相切 (1)求圆O的方程; (2)圆O与x轴相交于AB,两
2、点,圆内的动点 P使 PA POPB,成等比数列,求 PBPA 的取值范围 题型二、根据圆锥曲线的方程中变量x 或 y 的范围建立相关不等式,如点P(x, y)在椭圆上则 -a xa。 1、 (07 年四川高考)设 1 F、 2 F分别是椭圆 1 4 2 2 y x 的左、右焦点 . ()若P是该椭圆上的一个动点,求 1 PF 2 PF 的最大值和最小值; ()设过定点)2 ,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点) ,求直 线l的斜率k的取值范围 . 题型三、直线和圆锥曲线相交时,关键方程有根,则解0的相关不等式。 1、(08 年天津高考题) 已知中心在
3、原点的双曲线C的一个焦点是0, 3 1 F, 一条渐近线的方程是025yx. ()求双曲线C的方程; ()若以0kk为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M ,N,线段 MN的垂直平分线与两坐标轴围 成的三角形的面积为 2 81 ,求k的取值范围 . 题型四、根据题目中给出的相关不等式进行求解。 1、 (08 年福建高考题)如图、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点是F(1,0)O为坐标原点 . ()已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; () 设过点 F的直线 l 交椭圆于A、B两点 . 若直线 l 绕点 F任意转动, 值有 222 OAOB
4、AB, 求 a 的取值 范围 . 题型五、用函数的思想,利用已知条件构建两个参数的函数关系式,若求出了m的取值范围, n=f( m )则求其值 域, m=f(n)则求函数的定义域。 1、在平面直角坐标系xoy 中,已知三点A(-1,0) ,B( 1,0) , C (-1 , 2 3 ) ,以 A、B为焦点的椭圆经过点C。 (1)求椭圆的方程; (2)设点 D(0,1) ,是否存在不平行于x 轴的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N,使0MN)DNDM(?若 存在,求出直线l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由; ( 3)若对于y 轴上的点P( 0,n) (0n) ,存在不平行于x 轴的直线l与
5、椭圆交于不同两点M 、 N,使 0MN)PNPM(,试求 n 的取值范围。 小结: 此类问题一般出现在高考主观题的第二或第三小问之中,而且常常是直线和圆锥曲线相交的背景下,求关键方程, 运用韦达定理,等知识建立不等式然后解不等式。常在与函数、不等式、方程等知识的交汇点处命题,主要考 查学生的思维能力和运算能力。完全能够紧扣高考考纲对高中数学基础知识、基本方法的考查,同时也注重对学 生学习数学能力的检测,对于这种选拔性的考试是一类命题常见题型。 课后作业:姓名:班级座号 1、已知椭圆C:1 2 2 2 2 b y a x (ab0)的中心在原点, 焦点在 x轴上, 离心率为 2 2 ,点 F1、
6、F2分别是椭圆的左、 右焦点,在直线x=2 上的点 P(2, 3)满足 |PF2|=|F1F2|,直线l:y=kx+m 与椭圆C 交于不同的两点A、B.() 求椭圆 C 的方程;()若在椭圆C 上存在点 Q,满足 OQOBOA (O 为坐标原点),求实数的取值 范围 . 2、如图,已知椭圆 C : 22 22 xy 1(ab0) ab 的一个焦点是 1, 0 ,两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形. ()求椭圆C 的方程; ()过点 Q 4 , 0 且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆 C 于A、B两点,设点A关于 x 轴的对称点为1 A . ()求证:直线 1 AB过x轴上一定点,并求出此定点
7、坐标; ()求 1 OAB面积的取值范围. 3、如图,在椭圆)0(1 8 2 2 2 a y a x 中, F1,F2分别为椭圆的左、右焦点, B、D 分别为椭圆的左、右顶点,A 为椭圆在第一象限内的任意一点,直线 AF1交椭圆于另一点C,交 y 轴于点 E,且点 F1 、F 2三等分线段 BD 。 (I) 求 a的值; y O A B Q x (II)若四边形EBCF2为平行四边形,求点 C 的坐标。 (III )设 求, 11 CEO OCF AEO OAF S S S S 的取值范围。 4、求 F1、 F2分别是椭圆 2 2 1 4 x y的左、右焦点 . ()若r 是第一象限内该数轴上
8、的一点, 22 12 5 4 PFPF ,求点 P的作标; ()设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于同的两点A、B,且 ADB 为锐角(其中O 为作标原点),求直 线l的斜率k的取值范围 . 参考答案: 题型一、点在曲线内部,如点在圆内(外)、椭圆内(外)、抛物线某一侧,则可列出不等式,是大于号还是小于 号可类似线性规划中特殊点定号的方法判定。 1、 (07 年全国高考)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线34xy相切 (1)求圆O的方程; (2)圆O与x轴相交于AB,两点,圆内的动点 P使 PA POPB,成等比数列,求 PBPA 的取值范围 分析 : 本题主要考查求解圆的方程,
9、向量的数量积 , 等比数列等基础知识, 以及逻辑推理运算能力. 解: (1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线34xy的距离, 即 4 2 13 r 得圆O的方程为 22 4xy (2)不妨设 1212 (0)(0)A xB xxx,由 2 4x即得 ( 2 0)(2 0)AB, 设 ()P xy, ,由 PA POPB, 成等比数,得 222222 )2()2(yxyxyx 即 22 2xy ),2(),2(yxyxPBPA 22 2 4 2(1 ). xy y 由于点 P在圆O内,故 22 22 4 2. xy xy , 由此得 2 1y所以 PBPA 的取值范围为 2 0), 题型二、
10、根据圆锥曲线的方程中变量x 或 y 的范围建立相关不等式,如点P(x, y)在椭圆上则 -a xa。 主参换位法 ( 已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数) 1、 (07 年四川高考)设 1 F、 2 F分别是椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点 . ()若 P是该椭圆上的一个动点,求 1PF 2PF 的最大值和最小值; ()设过定点 )2 ,0(M 的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点) ,求直 线l的斜率k的取值范围 . 分析 : 本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能 力。 解: ()易知2
11、,1,3abc 所以 12 3,0 ,3,0FF,设,P x y,则 22 12 3,3,3PFPFxyxyxy 2 221 1338 44 x xx 因为2,2x,故当0x,即点 P为椭圆短轴端点时, 12 PF PF有最小值2 当2x,即点 P为椭圆长轴端点时, 12 PFPF有最大值1 ()显然直线0x不满足题设条件,可设直线 2211 ,2:yxByxAkxy, 联立 1 4 2 2 2 y x kxy ,消去y,整理得: 221 430 4 kxkx 1212 22 43 , 11 44 k xxxx kk 由 2 2 1 443430 4 kkk得: 3 2 k 或 3 2 k 又
12、 00 0090cos000A BA BOA OB 1212 0OA OBx xy y 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 22 22 38 4 11 44 kk kk 2 2 1 1 4 k k 2 22 31 0 11 44 k kk ,即 2 4k22k 故由、得 3 2 2 k或 3 2 2 k 题型三、直线和圆锥曲线相交时,关键方程有根,则解0的相关不等式。 1、 (08 年天津高考题) 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是0, 3 1 F , 一条渐近线的方程是025yx. ()求双曲线C的方程; ()若以0kk为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同
13、的点M ,N,线段 MN的垂直平分线与两坐标轴围 成的三角形的面积为 2 81 ,求k的取值范围 . 分析 : 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识, 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力 ()解:设双曲线C的方程为 22 22 1 xy ab ( 0,0ab ) 由题设得 22 9 5 2 ab b a ,解得 2 2 4 5 a b ,所以双曲线方程为 22 1 45 xy 的 方 程 为ykxm(0k) 点 11 (,)M xy ,22 (,)N xy 的 坐 标 满 足 方 程 组()解:设直线l 22 1
14、 45 ykxm xy 将 式代入式,得 22 () 1 45 xkxm ,整理得 222 (54)84200kxkmxm此 方 程 有 两 个 不 等 实 根 , 于 是 2 504k, 且 222 (8)4 ( 54) ( 42 0 )0k mkm 整 理 得 22 540mk 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,)xy满足 12 02 4 254 xxkm x k , 002 5 54 m ykxm k 从 而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 mkm yx kkk 此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k , 2 9 (0
15、,) 54 m k 由题设可得 22 19981 | | 2 54542 kmm kk 整 理得 22 2 (54) | k m k ,0k 将上式代入式得 22 2 (54) 540 | k k k , 整理得 22 (45)(4| 5)0kkk, 0k解得 5 0 | 2 k或 5 | 4 k所以k的取值范围是 5555 ,)(,0)(0,)(,) 4224 ( 题型四、根据题目中给出的相关不等式进行求解。 1、 (08 年福建高考题)如图、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点是F(1,0)O为坐标原点 . ()已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的
16、方程; () 设过点 F 的直线 l 交椭圆于A、B两点 . 若直线 l 绕点 F任意转动, 值有 222 OAOBAB, 求 a 的取值 范围 . 分析 : 本题主要考查直线与椭圆的位置关系, 不等式的解法考查分类整合思想运算能力。根据直线与x 轴位置关系 讨论,用向量或距离公式转化为已知不等式解a 的范围 . 解: ( ) 设 M ,N为短轴的两个三等分点, 因为MNF为正三角形,所以 3 2 OFMN , 3, 3 2 2 3 1b b 解得 22 14,ab因此,椭圆方程为 22 1. 43 xy ( ) 设 1122 (,),(,).A xyB xy( ) 当 直 线AB 与x轴 重
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- 高考 理科 数学 复习 专题 圆锥曲线 中的 参数 范围 问题
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