2012年1月自考高等数学一(微积分)试题及答案-赢在路上DOC.pdf
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1、北京赢在路上学校 1 全国 2012 年 1 月自学考试高等数学(一)试题 课程代码 :00020 一、单项选择题(本大题共5 小题,每小题2 分,共 10 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是() A.( ) 2 xx ee f xB.( ) 2 xx ee f x C. 3 ( )cosf xxxD. 5 ( )sinf xxx 2.当0x时,下列变量为无穷小量的是() A. 1 exB.ln x C.x sin 1 x D. 1 sin x x 3.设函数 f (x)= 2 ln(
2、1),0 , ,0 xx xx 则 f (x)在点 x=0 处() A.左导数存在,右导数不存在B.左导数不存在,右导数存在 C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在 4.曲线 y= 3 2x在 x=1 处的切线方程为() A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y-2=0 D.x+3y+2=0 5.函数 f (x)=x 2+1 在区间 1,2上满足拉格朗日中值公式的中值 =() A.1 B. 6 5 C. 5 4 D. 3 2 二、填空题(本大题共10 小题,每小题3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 北京赢在路上学校 2 6.函数 f
3、 (x)= 2 32 1 5 x 的定义域为 _. 7.设函数 f (x)= 2 (1) ,0 cos ,0 x xx axx 在点 x=0 处连续,则a=_. 8.微分 d(e -2+tan x)=_. 9.设某商品的需求函数为Q=16-4p,则价格p=3 时的需求弹性为_. 10.函数 f (x)=x-2cos x 在区间 0, 2 上的最小值是_. 11.曲线 y= 2 2 23 1 xx x 的铅直渐近线为_. 12.无穷限反常积分 4 0 2 d 1 x x x =_. 13.微分方程xy-2y=0 的通解是 _. 14.已知函数f (x)连续,若(x)=x 1 x f (t)dt,
4、则(x)=_. 15.设函数 z=sin(xy 2),则全微分 dz=_. 三、计算题(一) (本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分) 16.求数列极限 2 2 1 lim(62)sin. 31 n n n 17.设函数 f (x)= 2 1xarctan x-ln( x+ 2 1x),求导数f(1). 18.求极限 30 sin lim 11 x xx x . 19.求不定积分 3 ln dxxx. 20.设 z=z(x,y)是由方程xz+y 2+ez=e所确定的隐函数,求偏导数 (0,0) z x . 四、计算题(二) (本大题共3 小题,每小题7 分,共 21 分) 21.确定常
5、数a,b 的值,使得点(1, 1 2 )为曲线 y= 32 1 1 4 xaxbx的拐点 . 北京赢在路上学校 3 22.计算定积分I= 3 2 0 coscos d .xxx 23.计算二重积分I= 4 1 1Dx dxdy,其中 D 是由曲线y=x 3, x=l 及 x 轴所围成的区域,如图所示. 五、应用题(本题9 分) 24.设 D 是由曲线y=e x,y=e-x 及直线 x=l 所围成的平面区域, 如图所示 . (1)求 D 的面积 A. (2)求 D 绕 x 轴一周的旋转体体积Vx. 六、证明题(本题5 分) 25.证明:当x0 时, e 2x1+2x. 一、单项选择题(本大题共
6、5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 下列函数中为奇函数的是() A. ( ) 2 xx ee f x B.( ) 2 xx ee f x C. 3 ( )cosf xxx D. 5 ( )sinf xxx 答案: B 知识点:函数奇偶性 北京赢在路上学校 4 解:()( ) 2 xx ee fxf x故( ) 2 xx ee f x为偶函数 ()( ) 2 xx ee fxf x,故( ) 2 xx ee f x为奇函数 3 3 ()coscosfxxxxx, 故 3 (
7、)c o sfxxx为非奇 非偶函数 5 5 ()sinsin( )fxxxxxfx,故 5 ( )sinf xxx 为偶函数 2. 当0x时,下列变量为无穷小量的是() A. 1 e x B.ln x C.x sin 1 x D. 1 sin x x 答案: C 知识点:无穷小量 解: 1 0 0 0 0 lim e lim ln x=- 1 lim x sin =0 1 limsin x x x x x x x x =1 3. 设函数f (x)= 2 ln(1),0 , ,0 xx xx 则f (x)在点x=0处() 北京赢在路上学校 5 A.左导数存在,右导数不存在B.左导数不存在,右
8、导数存在 C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在 答案: C 知识点:导数的定义 解: 2 2 0 00 0 0 ln(1),0 (), ,0 0 (0)lim0 0 ln(1)0 (0)limlim1 0 (0)20 1 (0)1 1 x xx x x xx fx xx x f x xx f xx fx f x 法一: 法二: 所以原函数的左右导数都存在,但不可导 4. 曲线y= 3 2x在x=1 处的切线方程为() A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y-2=0 D.x+3y+2=0 答案: A 知识点:曲线的切线方程 解: 北京赢在路上学校 6 2 3 1 11
9、2 33 1 1 3 340 x yx yx xy 所求切线斜率为: 所求切线方程为+1= 即 5. 函数f(x)=x 2+1在区间1,2 上满足拉格朗日中值公式的中值 =() A.1 B. 6 5 C. 5 4 D. 3 2 答案: D 知识点:拉格朗日中值公式 解:根据拉格朗日中值公式 21 21 f(x)-f(x) f ()= x -x 得 2 ( )1,1, 523 2 211 3 2 fxxxx 12 =2 求解得到 二、填空题(本大题共10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6. 函数f (x)= 2 32 1 5 x 的定义
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