2018年黄冈中学自主招生考试数学模拟测试题一答案.pdf
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1、 2017 年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一 一选择题(共10小题,每小题3 分,共 30 分) 1已知实数 x,y,z适合 x+y=6,z2=xy9,则 z=() A1 B0 C 1 D1 2若关于 x 的一元二次方程 mx22x+1=0 无实数根,则一次函数y=(m1)x m 图象不经过() A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 3已知实数 a,b(其中 a0)满足,b 2+b=4,则 的值是() ABCD 4在斜边 AB为 5 的 RtABC中, C=90 ,两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x 2(m1)x+m+4=0 的两个实数根,则 m 的值为( ) A4 B4
2、C 8 或4 D8 5已知实数 a,b,若 ab,则 ab 的最大值是() A1 BC 2 D 6设关于 x的方程 ax 2+(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根 x1、x2,且 x1 1x2,那么实数 a 的取值范围是() A BCD 7三角形的两边长分别为3 和 6,第三边的长是方程x27x+12=0的一个根, 则 这个三角形的周长是() A9 B12 C 13 D12 或 13 8已知抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 A(1,2) ,B(2,3)两点,且不经过第一 象限,若 S=a +bc,则 S的取值范围是() AS3 BS2 CS2DS 3 9函数 y=2x 2+4x5
3、中,当 3x2 时,则 y 值的取值范围是( ) A3y1 B7y1 C 7y11 D7y11 10如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 过点 A (3,0) ,对称轴为 x=1给出四个结 论: b24ac,2a+b=0;ab+c=0;5ab其中正确结论是() ABCD 二填空题(共8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 11已知 m、n 是方程 x2+2x+1=0 的两根,则代数式 值为 12定义新运算 “*”规则:a*b=,如 1*2=2, () *=,若 x 2+x1=0 两根为 x 1,x2,则 x1*x2= 13若+b 2+2b+1=0,则 a2+ | b| = 14a、b 为实
4、数,且满足 ab+a+b8=0,a2b+ab215=0,则(ab)2= 15关于 x3ax 22ax+a21=0只有一个实数根,则 a 的取值范围是 16已知二次函数 f(x)=x 22xn2n 的图象与 x 轴的交点为( a n,0) , (bn, 0) ,则式子+ + += 17若二次函数 y=x 2+(a+17)x+38a 与反比例函数 y= 的交点是整点(横坐 标和纵坐标都是整数的点) ,则正整数 a 的值是 18函数 y=ax+6(其中 a,b 是整数)的图象与三条抛物线y=x 2+3,y=x2+6x+7, y=x 2+4x+5 分别有 2、l、0 个交点,则( a,b)= 三解答题
5、(共 5 小题,合计 58 分。 ) 19已知 m,n 是方程 x 2+3x+1=0的两根 (1)求( m+5)的值( 2)求+的值 (12 分) 20已知 a2+b2=1,求 a+b+ab 的取值范围(10 分) 21已知 x1,x2是一元二次方程( a6)x2+2ax+a=0的两个实数根 (1)是否存在实数 a,使x1+x1x2=4+x2成立?若存在, 求出 a 的值;若不存在, 请你说明理由; (2)求使( x1+1) (x2+1)为负整数的实数a 的整数值(10 分) 23已知: ABC的两边 AB、AC 的长是关于x 的一元二次方程x2(2k+3) x+k 2+3k+2=0的两个实数
6、根,第三边 BC的长为 5 (1)k为何值时, ABC是以 BC为斜边的直角三角形? (2)k为何值时, ABC是等腰三角形?并求 ABC的周长 (12 分) 24已知二次函数 y=ax 24ax+a2+2(a0)图象的顶点 G在直线 AB上,其中 A(,0) 、B(0,3) ,对称轴与 x 轴交于点 E (14 分) (1)求二次函数 y=ax 24ax+a2+2 的关系式; (2)点 P在对称轴右侧的抛物线上,且AP平分四边形 GAEP的面积,求点 P坐 标; (3)在 x 轴上方,是否存在整数m,使得当x时,抛物线 y 随 x 增大而增大?若存在,求出所有满足条件的m 值;若不存在,请说
7、明理由 2017 年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题一 参考答案与试题解析 一选择题(共10小题) 1已知实数 x,y,z适合 x+y=6,z2=xy9,则 z=() A1 B0 C 1 D1 【分析】 题目中已知 x+y=6及 xy=z 2+9, 容易得知 x, y为根的二次方程 t26t+z2+9=0, 再根据根的判别式即可求解 【解答】 解:实数 x、y、z 满足 x+y=6,z2=xy9 即 xy=z 2+9, 以 x,y 为根的二次方程为t26t+z2+9=0, 其中 =364(z 2+9)=4z20, 所以 z=0 故选 B 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式的运用
8、,难度适中, 关键 要掌握 x1,x2是方程 x2+px+q=0的两根时, x1+x2=p,x1x2=q 2若关于 x 的一元二次方程 mx 22x+1=0 无实数根,则一次函数 y=(m1)x m 图象不经过() A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【分析】 根据判别式的意义得到m0 且=(2)24m0,解得 m1,然 后根据一次函数的性质可得到一次函数y= (m1) xm 图象经过第一、三象限, 且与 y 轴的交点在 x 轴下方 【解答】 解:根据题意得 m0 且=(2)24m0, 解得 m1, m10,m0, 一次函数 y=(m1)xm 图象经过第一、三、四象限 故选 B 【点评
9、】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a0) 的根的判别式 =b24ac: 当 0,方程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当 0,方程没有实数根也考查了一次函数图象与系数的关系 3已知实数 a,b(其中 a0)满足,b2+b=4,则的值是() ABCD 【分析】 先根据 a+=4 解关于的一元二次方程即可得出a,再根据 b2+b=4 求出 b,从而得出的值即可 【解答】 解: a+=4,b2+b=4, 解关于、b 的一元二次方程可得出=,b=, a0, =,b=, a=, =+, 即=+或=+, =或=; 故选 B 【点评】本题考查了根与系数的关系,无理方程以及
10、代数式求值、 用公式法解一 元二次方程,熟练掌握求根公式是解此题的关键 4在斜边 AB为 5 的 RtABC中, C=90 ,两条直角边 a、b 是关于 x 的方程 x 2(m1)x+m+4=0 的两个实数根,则 m 的值为( ) A4 B4 C 8 或4 D8 【分析】 根据勾股定理求的a2+b2=25,即 a2+b2=(a+b) 22ab,然后根据根 与系数的关系求的a+b=m1ab=m+4;最后由联立方程组, 即可求得 m 的值 【解答】 解:斜边 AB为 5 的 RtABC中, C=90 ,两条直角边 a、b, a 2+b2=25, 又a2+b2=(a+b)22ab, (a+b)22a
11、b=25, a、b 是关于 x 的方程 x 2(m1)x+m+4=0的两个实数根, a+b=m1, ab=m+4, 由,解得 m=4,或 m=8; 当 m=4 时,ab=0, a=0或 b=0, (不合题意) m=8; 故选 D 【点评】本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用解答此题时,需注 意作为三角形的两边a、b 均不为零这一条件 5已知实数 a,b,若 ab,则 ab 的最大值是() A1 BC 2 D 【分析】设 ab=x,ab=t, 再将转化成 ab, ab 的形式,从而求出 ab, ab 的值,再确定出 ab 的最大值 【解答】 解:设 ab=x,ab=t,= , =b 24
12、ac=88t0, t1 仅当时,ab=2,ab=1成立, 故选 A 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式,是基础知识要熟 练掌握 6设关于 x 的方程 ax 2+(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根 x1、x2,且 x1 1x2,那么实数 a 的取值范围是() A BCD 【分析】 方法 1、根据一元二次方程的根的判别式,建立关于a 的不等式,求出 a 的取值范围又存在x11x2,即( x11) (x21)0,x1x2(x1+x2)+1 0,利用根与系数的关系,从而最后确定a 的取值范围 方法 2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程,而 x11x2,可 以
13、看成是二次函数y=ax 2+(a+2)x+9a 的图象与 x 轴的两个交点在 1 左右两侧, 由此得出自变量 x=1时,对应的函数值的符号,即可得出结论 【解答】 解:方法 1、方程有两个不相等的实数根, 则 0, (a+2)24a9a=35a2+4a+40, 解得a, x1+x2=,x1x2=9, 又x11x2, x110,x210, 那么( x11) (x21)0, x1x2(x1+x2)+10, 即 9+10, 解得a0, 最后 a 的取值范围为:a0 故选 D 方法 2、由题意知, a0,令 y=ax 2+(a+2)x+9a, 由于方程的两根一个大于1,一个小于 1, 抛物线与 x 轴
14、的交点分别在1 两侧, 当 a0 时,x=1 时,y0, a+(a+2)+9a0, a(不符合题意,舍去), 当 a0 时,x=1 时,y0, a+(a+2)+9a0, a, a0, 故选 D 【点评】 总结: 1、一元二次方程根的情况与判别式的关系: (1) 0? 方程有两个不相等的实数根; (2)=0? 方程有两个相等的实数根; (3) 0? 方程没有实数根 2、根与系数的关系为: x1+x2=,x1x2= 7三角形的两边长分别为3 和 6,第三边的长是方程x 27x+12=0的一个根, 则 这个三角形的周长是() A9 B12 C 13 D12 或 13 【分析】易得方程的两根,那么根据
15、三角形的三边关系,得到合题意的边,进而 求得三角形周长即可 【解答】 解:解方程 x27x+12=0得第三边的边长为 3 或 4 3第三边的边长 9, 第三边的边长为4, 这个三角形的周长是3+6+4=13 故选 C 【点评】已知三角形的两边,则第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于 两边的和 8已知抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 A(1,2) ,B(2,3)两点,且不经过第一 象限,若 S=a +bc,则 S的取值范围是() AS3 BS2 CS2DS 3 【分析】 将 A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c 的方程组,将 a 看做常数解 次方程组得,将其代入得 S=a +bc=2
16、a2,结合二次函数的图象与性质 知 a0、c=2a+10,据此得出 a的范围,继而可得S的范围,即可得出答案 【解答】 解:由题意,得:, 解得:, 则 S=a +bc=a+(3a1)( 2a+1)=2a2, 由抛物线过点 A( 1,2) ,B(2,3)两点,且不经过第一象限知a0, c=2a+10, 解得 a, S=2a 23, 故选: A 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数的图形与 性质是解题的关键 9函数 y=2x 2+4x5 中,当 3x2 时,则 y 值的取值范围是( ) A3y1 B7y1 C 7y11 D7y11 【分析】根据 a0,抛物线在对称轴的左
17、侧, y 随 x 的增大而减小;抛物线在对 称轴的右侧, y 随 x 的增大而增大,可得答案 【解答】 解:y=2x 2+4x5 的对称轴是 x=1, 当 x=1 时,y最小=7, 当 x=3 时,y=2( 3)2+4( 3)5=1, 当 x=2时,y=222+245=11, 当3x2 时,则 y 值的取值范围是 7y11 故选: D 【点评】本题考查了二次函数的性质,利用了函数的增减性:a0,对称轴的左 侧,y 随 x 的增大而减小,对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大 10如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 过点 A (3,0) ,对称轴为 x=1给出四个结 论: b 24ac,2a
18、+b=0;ab+c=0;5ab其中正确结论是( ) ABCD 【分析】 正确根据抛物线与x 轴有两个交点即可判定 错误根据对称轴x=1 即可判定 错误根据 x=1 时,y0 即可判定 正确由 b=2a,a0,即可判定 5a2a 由此即可解决问题 【解答】 解:抛物线与 x 轴有两个交点, 0,即 b24ac0, b24ac,故正确 对称轴 x=1, =1, b=2a, 2ab=0,故错误, x=1 时,y0, ab+c0,故错误, b=2a,aO, 5a2a,即 5ab,故正确, 故选 B 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系、解题的关键是熟练掌握基本知 识,读懂图象信息,充分利用图象信
19、息解决问题,属于中考常考题型 二填空题(共8 小题) 11已知 m、n 是方程 x2+2x+1=0的两根,则代数式值为3 【分析】 根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系得到m+n= 2,mn=1,再变形得,然后把m+n=2,mn=1 整体代入计算即可 【解答】 解: m、n 是方程 x2+2x+1=0的两根, m+n=2,mn=1, =3 故答案为: 3 【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系:若方 程两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=,x1?x2=也考查了二次根式的化简求值 12定义新运算 “*”规则: a*b=,如 1*2
20、=2, ()*=,若 x 2+x 1=0两根为 x1,x2,则 x1*x2= 【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根,然后根据新运算规则计算x1*x2 的值则可 【解答】 解:在 x2+x1=0 中, a=1,b=1,c=1, b24ac=50, 所以 x1=,x2=或 x1=,x2=, x1*x2=*=, 故答案为 【点评】本题考查了运用公式法解一元二次方程,注意定义运算规则里的两种情 况 13若+b2+2b+1=0,则 a 2+ | b| =1 【分析】 首先利用完全平方公式变形得出+(b+1) 2=0,利用非负数的 性质得出 a=1,b=1,进一步代入求得答案即可 【解答】 解:+b
21、2+2b+1=0, +(b+1)2=0, a1=0,b+1=0, a=1,b=1, a 2+ | b| =1 故答案为: 1 【点评】此题考查了配方法的应用, 以及非负数的性质, 熟练掌握完全平方公式 是解本题的关键 14a、b 为实数,且满足 ab+a+b8=0,a 2b+ab215=0,则( ab)2= 13 【分析】 根据已知条件推知ab、a+b 是方程 x28x+15=0,即(x3) (x5)=0 的两个根,然后通过解方程求得ab=3,a+b=5;ab=5,a+b=3;最后将所求的 代数式转化为完全平方和的形式,并将分别代入求值 【解答】 解: a、b 为实数,且满足ab+a+b8=0
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- 2018 黄冈 中学 自主 招生 考试 数学模拟 测试 答案
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