2019年河南省郑州市高考数学一模试卷.pdf
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1、. . 2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求 的 1 (5 分)若复数(a R)的实部和虚部相等,则实数a 的值为() A 1 B 1 CD 2 (5 分)已知集合Mx|3 x4, N x|x 22x80,则( ) A M N RBMN x| 3x4 CM N x|2x4 DMN x| 2x4 3 (5 分)已知矩形ABCD 中,BC2AB4,现向矩形ABCD 内随机投掷质点M,则满足? 0 的概率 是() ABCD 4 (5 分)下列函数既是奇函数,又在1, 1上单调递增的
2、是() A f(x) |sinx| Bf(x) ln Cf(x)(e xex) Df(x) ln(x) 5 (5 分)在 ABC 中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为() ABCD 6 (5 分)如图,在ABC 中,P 是 BN 上一点,若t+,则实数t 的值为() ABCD 7 (5 分)已知双曲线C:1(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,实轴长为 6,渐近线方程 为 yx,动点 M 在双曲线左支上,点N 为圆 E:x2+(y+ ) 21 上一点,则 |MN|+|MF 2|的最小值为 () A 8 B 9 C10 D11 . . 8 (5 分)已知
3、函数f(x) sin( x+ ) (0,)的图象相邻的两个对称中心之间的距 离为,若将函数f(x)的图象向左平移后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递 减区间为() A B C0, D 9 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 () A 16+(32+16+16)B16+( 16+16+16) C16+(32+32+32)D16+( 16+32+32) 10 (5 分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中的底面为等腰直角三角形, ABAC,点 M,N 分别是边AB1,A1C 上动点,若直线MN平面 BCC1B1,点 Q 为线
4、段 MN 的中点,则Q 点的轨迹为() A双曲线的一支(一部分)B圆弧(一部分) C线段(去掉一个端点)D抛物线的一部分 11 (5 分)抛物线 x 22py(p0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 AFB60, 过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线CD,垂足为D,则的最小值为() AB 1 CD2 12 (5 分)已知函数f( x),设 A x Z|x(f(x) a) 0,若 A 中有且仅有4 个元素,则满足条件的整数a 的个数为() A 31 B 32 C33 D34 二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的
5、 13 (5 分)已知() n 的展开式的各项系数和为64,则展开式中x3的系数为 14 (5 分)已知变量x,y 满足,则 z的取值范围是 15 (5 分) 中国诗词大会 (第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特 . . 别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味, 若沁园春 ?长沙、 蜀道难、 敕 勒歌 、 游子吟、 关山月、 清平乐 ?六盘山排在后六场,且蜀道难排在游子吟的前面,沁园 春?长沙与清平乐 ?六盘山不相邻且均不排在最后,则六场的排法有种 (用数字作答) 16 (5 分)如图放置的边长为1 的正方形PABC 沿 x 轴滚动,点B
6、恰好经过原点设顶点P(x,y)的轨迹 方程是 yf(x) ,则对函数yf( x)有下列判断: 函数 yf(x)是偶函数; 对任意的x R,都有 f (x+2)( x2) 函数 yf(x)在区间 2,3上单调递减; 函数 y f(x)的值域是 0,1; f(x)dx其中判断正确的序号是 三、解答题:共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21 题为必考题,每个考生都必须 作答第 223 题为选考题,考生根据要求作答本小题满分60 分 17 (12 分)已知数列an为等比数列,首项a14,数列 bn满足 bnlog2an,且 b1+b2+b312 (I)求数列 an 的通项公式
7、()令 cn+an,求数列 cn的前 n项和 Sn 18 (12 分)已知四棱锥中PABCD,底面 ABCD 为菱形, ABC60, PA平面 ABCD,E、M 分别是 . . BC、PD 上的中点,直线EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为,点 F 在 PC 上移动 ()证明:无论点F 在 PC 上如何移动,都有平面AEF平面 PAD ()求点F 恰为 PC 的中点时,二面角CAFE 的余弦值 19 (12 分) 2012 年 12 月 18 日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74 个城市之一,郑州市正式发 布 PM2.5 数据资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量
8、与前几年相比得到了 . . 很大改善,郑州市设有9 个监测站点监测空气质量指数(AQI ) ,其中在轻度污染区、中度污染区、重度污 染区分别设有2,5,2 个监测站点,以9 个站点测得的AQI 的平均值为依据,播报我市的空气质量 ()若某日播报的AQI 为 118,已知轻度污染区AQI 的平均值为74,中度污染区AQ 的平均值为114, 求重度污染区AQI 的平均值; ()如图是2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布, 11 月份仅有一天AQI 在170, 180)内 组数分组天数 第一组50, 80)3 第二组80,110)4 第三组110, 140)4 第四组140, 170
9、)6 第五组170, 200)5 第六组200, 230)4 第七组230, 260)3 第八组260, 290)1 郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI 为标准,如果AQI 小于 180,则去 进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率,求该校周日去进行社会实践活动的概率; 在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监 测数据中抽取3 天的数据进行评价,设抽取到的AQI 不小于 180 的天数为 X,求 X 的分布列及数学期望 20 (12 分)设 M 点为圆 C:x 2 +y 2 4 上的动点,点 M 在 x 轴上的投影为N
10、动点 P 满足 2,动 点 P 的轨迹为E ()求 E 的方程; . . () 设 E 的左顶点为D, 若直线 l: ykx+m 与曲线 E 交于两点A, B (A, B 不是左右顶点) , 且满足 | |,求证:直线l 恒过定点,并求出该定点的坐标 21 (12 分)已知函数f(x) x 28x+alnx(a R) (I)当 x1 时, f(x)取得极值,求a 的值并判断x1 是极大值点还是极小值点; . . ()当函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2) ,且 x11 时,总有t(4+3x1x )成立,求 t 的取值范围 选修 4-4:坐标系与参数方程 22 (10 分)已知曲线C1
11、:x 2+(y3)29,A 是曲线 C 1上的动点,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴 . . 为极轴建立极坐标系,以极点O 为中心,将点A 绕点 O 逆时针旋转90得到点B,设点 B 的轨迹方程为 曲线 C2 ()求曲线C1,C2的极坐标方程; ()射线 ( 0)与曲线 C1,C2分别交于 P,Q 两点,定点M( 4,0) ,求 MPQ 的面积 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数f(x) |3x2a|+|2x2|(a R) ()当 a时,解不等式f(x) 6; ()若对任意x0 R,不等式 f(x0)+3x04+|2x02|都成立,求 a 的取值范围 . . 2019 年河南省郑州
12、市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求 的 1 (5 分)若复数(a R)的实部和虚部相等,则实数a 的值为() A 1 B 1 CD 【解答】 解:复数的实部和虚部相等, ,解得 a 故选: C 2 (5 分)已知集合Mx|3 x4, N x|x 22x80,则( ) A M N RBMN x| 3x4 CM N x|2x4 DMN x| 2x4 【解答】 解:集合M x|3x4 , N x|x 22x80x|2x4, MNx|3x 4 , MN x|2x4 故选: D 3 (
13、5 分)已知矩形ABCD 中,BC2AB4,现向矩形ABCD 内随机投掷质点M,则满足? 0 的概率 是() ABCD 【解答】 解:建立如图所示的直角坐标系,则B(0,0) ,C(4, 0) ,A(0, 2) ,D(4, 2) . . 设 M(x,y) ,则( x, y) ,( 4 x, y) , 由?0 得: (x2) 2+y24, 由几何概型可得:p1, 故选: B 4 (5 分)下列函数既是奇函数,又在1, 1上单调递增的是() A f(x) |sinx| Bf(x) ln Cf(x)(e xex) Df(x) ln(x) 【解答】 解:根据题意,依次分析选项: 对于 A,f(x) |
14、sinx|,为偶函数,不符合题意; 对于 B,f(x) ln,其定义域为(e,e) ,有 f( x) ln ln f(x) ,为奇函数, 设 t 1+,在( e,e)上为减函数,而ylnt 为增函数, 则 f(x) ln在( e,e)上为减函数,不符合题意; 对于 C,f(x)( e xex) ,有 f( x) (e xex) (exe x) f(x) ,为奇函数, 且 f( x)( e x+ex) 0,在 R 上为增函数,符合题意; 对于 D,f(x) ln( x) ,其定义域为R, f( x) ln(+x) ln( x) f(x) ,为奇函数, 设 tx,y lnt,t 在 R 上为减函数
15、,而ylnt 为增函数, 则 f(x) ln(x)在 R 上为减函数,不符合题意; 故选: C 5 (5 分)在 ABC 中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为() ABCD 【解答】 解:设最小角为 ,故 对应的边长为a, 则 cos ,解得 a3 . . 最小角 的余弦值为, 故选: A 6 (5 分)如图,在ABC 中,P 是 BN 上一点,若t+,则实数t 的值为() ABCD 【解答】 解:由题意及图, 又,所以,+(1 m), 又t+,所以,解得 m,t, 故选: C 7 (5 分)已知双曲线C:1(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,实轴长
16、为 6,渐近线方程 为 yx,动点 M 在双曲线左支上,点N 为圆 E:x2+(y+ ) 21 上一点,则 |MN|+|MF 2|的最小值为 () A 8 B 9 C10 D11 【解答】 解:由题意可得2a6,即 a3, 渐近线方程为yx,即有, 即 b1,可得双曲线方程为 y2 1, 焦点为 F1(,0) ,F2, (,0) , 由双曲线的定义可得|MF2| 2a+|MF1|6+|MF1|, 由圆 E:x 2+(y+ ) 21 可得 E( 0, ) ,半径 r1, |MN|+|MF2|6+|MN|+|MF1|, . . 连接 EF1,交双曲线于M,圆于 N, 可得 |MN|+|MF1|取得
17、最小值,且为 |EF1| 4, 则则 |MN|+|MF2|的最小值为 6+419 故选: B 8 (5 分)已知函数f(x) sin( x+ ) (0,)的图象相邻的两个对称中心之间的距 离为,若将函数f(x)的图象向左平移后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递 减区间为() A B C0, D 【解答】 解:函数f(x) sin( x+ ) (0,)的图象相邻的两个对称中心之间的距 离为, 则: T , 所以: 2 将函数 f(x)的图象向左平移后, 得到 g(x) sin(2x+ )是偶函数, 故:(k Z) , 解得:(k Z) , 由于:, 所以:当 k0 时 则, 令
18、:(k Z) , . . 解得:(k Z) , 当 k 0 时,单调递减区间为:, 由于 ? , 故选: B 9 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 () A 16+(32+16+16)B16+( 16+16+16) C16+(32+32+32)D16+( 16+32+32) 【解答】 解:根据几何体的三视图得到: 该几何体是由:上面是一个长方体,下面是由两个倒扣的圆锥构成, 故:上面的正方体的表面积为:, 设中间的圆锥展开面的圆心角为n, 所以:, 解得: n, 所以圆锥的展开面的面积为S, 所以:中间的圆锥的表面积为, 同理得:
19、下面的圆锥的表面积为, 所以总面积为:S, 故选: A 10 (5 分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中的底面为等腰直角三角形, ABAC,点 M,N 分别是边AB1,A1C 上动点,若直线MN平面 BCC1B1,点 Q 为线段 MN 的中点,则Q 点的轨迹为() . . A双曲线的一支(一部分)B圆弧(一部分) C线段(去掉一个端点)D抛物线的一部分 【解答】 解:如图 当 N 与 C 重合, M 与 B1重合时, MN? 平面 BCC1B1, MN 的中点为 O; 当 N 与 A1重合, M 与 A 重合时, MN平面 BCC1B1, MN 的中点为 H; 一般情况,如平面PQRK平面 B
20、CC1B1,可得点 M,N, 取 MN 的中点 D,作 DEKR 于 E, NFKR 于 F, 易知, E 为 KR 中点,且D 在 OH 上, 故选: C 11 (5 分)抛物线 x 22py(p0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足 AFB60, 过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线CD,垂足为D,则的最小值为() AB 1 CD2 【解答】 解:设 |AF| a,|BF|b, 由抛物线定义,得|AF|AQ|,|BF|BP| 在梯形 ABPQ 中, 2|CD|AQ|+|BP|a+b 由余弦定理得, |AB| 2a2+b22abcos60 a2+b2ab 配方
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- 2019 河南省 郑州市 高考 数学 试卷
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