全等三角形的经典模型(一).pdf
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1、. 作弊? 漫画释义 三角形 9 级 全等三角形的经典模型(二) 三角形 8 级 全等三角形的经典模型(一) 三角形 7 级 倍长中线与截长补短 秋季班第四讲 秋季班第三讲 秋季班第二讲 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型(一) . D C BA 4545 C B A 等腰直角三角形数学模型思路: 利用特殊边特殊角证题(AC=BC 或 904545 ,) . 如图 1; 常见辅助线为作高,利用三线合一的性质解决问题. 如图 2; 补全为正方形. 如图 3,4. 图 1 图 2 图 3 图 4 思路导航 知识互联网 题型一:等腰直角三角形模型 . A B C O M N A B C O M N
2、 【例 1】 已知:如图所示,RtABC 中, AB=AC,90BAC,O 为 BC 的中点, 写出点 O 到 ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系(不要 求证明) 如果点M、N 分别在线段AC、 AB 上移动,且在移动中保持 AN=CM.试判断 OMN 的形状,并证明你的结论. 如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动,且在移动中 保持 AN=CM,试判断中结论是否依然成立,如果是请给出证明 【解析】 OA=OB=OC 连接 OA, OA=OC45BAOCAN=CM ANO CMO ON=OM NOAMOC 90NOABONMOCBON 90NOM OMN 是等腰直角三角形
3、ONM 依然为等腰直角三角形, 证明: BAC=90 ,AB=AC,O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=45 , AO=BO=OC, 在ANO 和CMO 中, ANCM BAOC AOCO ANO CMO( SAS) ON=OM,AON=COM , 又 COMAOM=90 , OMN 为等腰直角三角形 【例 2】 两个全等的含30 , 60 角的三角板ADE和三角板ABC,如 图所示放置,,E A C 三点在一条直线上,连接 BD,取BD的 中点M ,连接ME,MC试判断EMC的形状, 并说明理由 【解析】EMC是等腰直角三角形 典题精练 A B C O M N M E D C
4、 B A . F E D C B A N M 1 2 A B C D E F 3 M 1 2 A BC D E F 3 证明:连接AM由题意,得 ,90 ,90.DEACDAEBACDAB DAB为等腰直角三角形. DMMB, ,45MAMBDMMDAMAB 105MDEMAC, EDMCAM ,EMMCDMEAMC 又90EMCEMAAMCEMADME CMEM, EMC是等腰直角三角形 【例 3】 已知:如图,ABC中,ABAC,90BAC,D是AC的中 点,AFBD于E,交BC于F,连接DF 求证:ADBCDF 【解析】 证法一:如图,过点A作ANBC于N,交BD于M ABAC,90BA
5、C, 345DAM 45C,3C AFBD,190BAE 90BAC,290BAE 12 在ABM和CAF中, 12 3 ABAC C ABMCAFAMCF 在ADM和CDF中, ADCD DAMC AMCF ADMCDF ADBCDF 证法二:如图,作CMAC交AF的延长线于M AFBD,3290, 90BAC, 1290, 13 在ACM和BAD中, M E D C B A . P CB A P CB A D 13 90 ACAB ACMBAD ACMBAD MADB,AD CM ADDC,CMCD 在CMF和CDF中, 45 CFCF MCFDCF CMCD CMFCDFMCDF ADB
6、CDF 【例 4】 如图,等腰直角ABC中,90ACBCACB, ,P为ABC内部一点,满足 求证:15BCPPBPCAPAC, 【解析】 补全正方形ACBD,连接 DP, 易证ADP是等边三角形,60DAP,45BAD, 15BAP,30PAC, 75ACP, 15BCP 【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰 直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易 的效果,从而顺利地求解。例4为求角度的应用,其他应用探究如下: 【探究一】证角等 【备选 1】如图, RtAB
7、C 中, BAC=90 ,AB=AC,M 为 AC 中点, 连结 BM,作 ADBM 交 BC 于点 D,连结 DM,求证 :AMB=CMD . 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰RtBFC,延长 AD 交 CF 于点 N, ANBM,由正方形的性质,可得AN=BM, 易证 RtABM RtCAN, AMB= CND,CN=AM, M 为 AC 中点, CM=CN, 1=2,可证得 CMD CND, CND=CMD , AMB=CMD 【探究二】判定三角形形状 【备选 2】如图, RtABC 中, BAC= 90 ,AB=AC,AD=CE, ANBD 于点 M,延长 BD 交
8、 NE 的延长线于点F,试判定 DEF 的形状 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰RtBHC, 可知四边形ABHC 为正方形,延长AN 交 HC 于点 K, AKBD,可知 AK=BD,易证 :RtABDRtCAK, ADB=CKN ,CK=AD, AD=EC,CK=CE, 易证 CKN CEN, CKN=CEN, 易证 EDF =DEF , DEF 为等腰三角形 【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】如图, RtABC 中, A=90 ,AB=AC,D 为 BC 上一点, DEAC,DF AB, 且 BE=4,CF=3,求 S矩形 DFAE 2 1 N F A BC D
9、 M EE M D CB A A B C D E F N M K H M N F E D C B A . 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰RtGCB, 可知四边形ABGC 为正方形,分别延长FD、 ED 交 BG、CG 于点 N、M, 可知 DN=EB=4,DM=FC=3, 由正方形对称性质, 可知 S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM DN=3 4=12 【探究四】求线段长 【备选 4】如图, ABC 中, ADBC 于点 D, BAC=45 ,BD=3,CD=2,求 AD 的长 【分析】 此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐, 本题尽 管已
10、知条件不是等腰直角三角形,但 BAC=45 ,若分别以AB、AC 为对称轴作 RtADB 的对称直角三角形和Rt ADC 的对称直角三角形,这样就出现两边相等 且夹角为90 的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正 方形 【解析】 以 AB 为轴作RtADB 的对称的RtAEB,再以AC 为轴作RtADC 的对称的 RtAFC 可知 BE=BD=3,FC =CD=2, 延长 EB、FC 交点 G, BAC=45 , 由对称性,可得EAF=90 ,且 AE=AD=AF, 易证四边形AFGE 为正方形,且边长等于AD, 设 AD=x,则 BG=x3,CG=x2, 在 Rt BC
11、G 中,由勾股定理,得 22 2 235xx, 解得 x=6,即 AD=6 【探究五】求最小值 G M N F E D C B A F E D C B A G F E D CB A D CB A . E D C B A 21 【备选 5】如图, RtABC 中, ACB=90 ,AC=BC=4,M 为 AC 的中点, P 为斜边 AB 上 的动点,求PM+PC 的最小值 【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作RtACB 关于 AB 对称的 RtADB , 可知四边形ACBD 为正方形,连接CD,可知点C 关于 AB 的对称点D,连接 MD 交AB 于点P,连接CP,则PM+PC 的值
12、为最小,最小值为:PM+PC=DM= 22 422 5 常见三垂直模型 【引例】已知 ABBD,ED BD,AB=CD,BC=DE,求证: ACCE; 若将 CDE 沿 CB 方向平移得到等不同情形, 1 ABC D , M P D BC A M P BC A 例题精讲 思路导航 题型二:三垂直模型 . C1 A BC E DD E (C)B A C1C1 A BC E DC1 A B C E D 2 1 G F E O y x 3 D C B A O y x D C B A 其余条件不变,试判断ACC1E 这一结论是否成立?若成立,给予证 明;若不成立,请说明理由. 【解析】 ABBD,ED
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