第七章 常微分方程数值解法.ppt
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1、第七章 常微分方程数值解法 主 讲:孙 剑 聊城大学计算机学院信息管理系,计算方法 吴筑筑编,本章主要内容:,7.1 欧拉法和改进的欧拉法 7.2 龙格-库塔法 7.3 线性多步法,引言:,可求出方程y=1+ex的通解为 y=x+ex+c,将初值条件 x=0, y=2 代入得 2=1+c, 故 c=1,所以初值问题的解为 y=x+ex+1,求解初值问题,引言:,本章解决的问题:一阶常微分方程的初值问题,引言:,若方程 y=f(x,y)的右端函数f(x,y)在闭矩形域 R:x0ax x0a, y0by y0b上满足: (1) f(x,y)在R上连续, (2)在R上关于y满足Lipschitz(李
2、普希兹)条件 即存在常数L,对R上任意点均有以下不等式成立: |f(x,y1 )f(x,y2 )|L|y1y2|, xa,b, y1,y2R 则上述初值问题存在唯一的连续可微的解函数 y = y(x)。,引言:,又如初值问题,可求出它的解为,但要进一步计算指定点的函数值,还需要用数值积分方法。有些微分方程的解是隐函数,例如,要求函数值还需要解超越方程。应用中所处理的微分方程往往很复杂且大都得不出一般解,所以一般用数值解法。,引言:,数值解法: 给定节点a=x0x1xn=b, 将初值问题离散化为差分方程,求出解函数 y(x) 在这些点的近似值y1 ,y2 ,yn 。 所求得的近似值称为数值解。
3、本章中总假定步长h为定值,节点xi=x0+ih i=1,2,3,7.1.1 欧拉法及其截断误差,7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,7.1 欧拉法和改进的欧拉法,7.1.1 欧拉法及其截断误差,初值问题:,1、欧拉公式的构造思想:用差商代替导数,设,等距,步长为,令x=xi , x+h=xi+1 , y(xi )yi ,y(xi+1 ) yi+1 ,初值问题离散化为,(欧拉公式),7.1.1 欧拉法及其截断误差,例 取步长 h=0.1,用欧拉法求解初值问题,解:,y1=y0+h f(x0 ,y0 )=1+0.1(0 + 1 )=1.1,y2=y1+h f(x1 ,y1 )=1.1 + 0
4、.1(0.1 + 1.1 )=1.22 y3=y2+hf(x2 ,y2 )=1.22+0.1 (0.2+1.22)=1.362,y10=y9+h f(x9 ,y9 )=y9+0.1(x9 + y9 )=3.18748,7.1.1 欧拉法及其截断误差,2、欧拉公式几何意义: 用折线代替曲线计算解函数的近似值。,7.1.1 欧拉法及其截断误差,3、数值公式的误差来源。,(1)局部截断误差(简称截断误差):假设 yi=y(xi )是准确的 ,计算yi+1所产生的误差 y(xi+1 ) - yi+1,若局部截断误差可以表示为O(hk+1), k为正整数,则称公式是k阶公式。,(2)由于实际上yi不是准
5、确值,因此它的误差会 传播下去。,(3)实际计算时,每一步都可能产生舍入误差。,7.1.1 欧拉法及其截断误差,4、欧拉公式的截断误差是O(h2),公式是1 阶的。,因为,(泰勒公式),两式相减,由设 yi=y(xi ) ,有,7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,对微分方程y=f(x,y) 两边求xi 到xi+1 的定积分,有,利用梯形公式计算积分,有,1、改进的欧拉公式的构造,7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,将y(xi ) 、y(xi+1 )分别用yi 、yi+1 代替,构造相应的数值公式:,(改进的欧拉公式),7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,2、改进的欧拉公式的截
6、断误差为O(h3),因而改进的欧拉法是二阶的。,7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,3、 改进的欧拉法的具体使用格式。,改进的欧拉法是隐式公式 ,计算时常用迭代法。一般每一步先由欧拉公式计算出yi+1 的初始值yi+1(0),再迭代计算yi+1。,当满足,时,取,可证明当f(x,y)满足一定条件时,迭代是收敛的。,7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,改进的欧拉法的预测校正公式,可证明预测校正公式的截断误差也为 O(h3)。,7.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,例 取步长h=0.2,用改进的欧拉法的预测校正公式求解初值问题的数值解y1 , y2 .,解,预测-校正公式具体是,7
7、.1.2 改进的欧拉法及预测-校正公式,设:改用后差商 替代方程中的导数项,7.1.2 向后 (隐式)欧拉公式,可以得到向后欧拉公式,这是隐式欧拉格式,也是一阶方法,精度与欧拉公式相当。计算yi+1通常用迭代法:,7.1.2 两步欧拉公式,设改用中心差商 替代方程 中的导数项 ,再离散化,即可导出下列格式,无论是显式欧拉公式还是隐式欧拉公式,它们都是单步法,其特点是计算时只用到前一步的信息yi,而该格式却调用了前面两步的信息yi-1,yi ,两步欧拉格式因此而得名。,两步欧拉格式具有更高的精度,它是二阶方法。,引言:(回顾),本章解决的问题:一阶常微分方程的初值问题,7.1 欧拉法和改进的欧拉
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