第三章 单自由度系统有阻尼的强迫振动.ppt
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1、1、激振力,第三章 单自由度系统有阻尼的强迫振动,前几节讨论了在外界初始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振动。本节讨论系统由外界激振所引起的振动,称为强迫振动。 外界激振所引起的系统的振动状态称为响应。对于不同的外界激振,系统将具有不同的响应。,一个自由度系统的振动,激振力,激振力包括:,简谐激振力,非简谐的周期激振力,冲击激振力,随机激振力,等等,我们将重点讨论系统对简谐激振力的响应,因为这是最基本的,是研究其他响应的基础。最后要讨论系统对任意激振力的响应。,一个自由度系统的振动,激励,激励包括:,力激励,运动激励,激振力引起的振动包括:,瞬态响应,稳态响应,一个自由度系统的振动,响
2、应,简谐振动下系统的响应由初始条件引起的自由振动、伴随强迫振动发生的自由振动以及等幅的稳态强迫振动,瞬态响应只存在于振动的初始阶段,称为过渡阶段, 当激励频率与系统固有频率很接近时,将发生共振现 象,系统对周期激励的响应通常指稳态响应,可以借 助谐波分析来研究。,如图所示的弹簧质量系统中,质量块上作用有简谐激振力,一个自由度系统的振动,简谐激励下的的强迫振动(稳态阶段),P=P0sin t,简谐激励是激励形式中最简单的一种,是理解系统对其他激励的基础,2、运动微分方程:,按达朗伯原理(动静法):,(1),注1:达朗伯原理:当一个力学系统运动时,它的任何位置都可以看作是平衡位置,只要我们在原动力
3、上再加上惯性力。这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理。,按牛顿第二定律:,最后都得到:,一个自由度系统的振动,注2:简单说明一下各力方向,我们设位移x向下为正,取所有与x一致的力、速度和加速度为正。则PP0sint(为正),kx(因弹性恢复力与位移反向), (因阻尼力与速度反向), (因惯性力与加速度反向),2、运动微分方程:,(1),(关于x2,由方程(1)的非齐次P0sint可得特解,也是简谐函数,其频率与激振力一致。),一个自由度系统的振动,我们现在解这个微分方程,它比有阻尼自由振动微分方程多了右端激振力,是一个非齐次线性微分方程。它的解包含两部分,当阻尼为小阻尼时,x1是
4、上章讨论的有阻尼自由振动,特点是 振动频率为阻尼固有频率,振幅为指数衰减,称为瞬态振动或 瞬态响应,x2是一种持续的等幅振动,它是由于简谐激振力的 持续作用而产生的,称为稳态强迫振动或稳态振动。可见,系 统受简谐振激励后的响应分为两个阶段,一开始的过程称为过 渡阶段,经充分长时间后,瞬态响应消失,进入稳态阶段,其中,其中B和是特定常数,可以把x2代回微分方程(1)求出。,齐次方程解,非齐次方程(1)之特解,注3:为什么这里“-”,只要系统有阻尼,振动位移肯定滞后于干扰力,注4:非齐次方程(1)的特解一般用参数变换法求出,但须积分。当(1)的右端具有某些特殊形式时,可直接用代数方法求出,叫待定系
5、数法。,一个自由度系统的振动,用复数方法求特解,复数形式:,其中x是复数,设复数形式的特解为,一个自由度系统的振动,记,为频率比,定义为,其中,齐次方程解,非齐次方程(1)之特解,一个自由度系统的振动,我们这里利用矢量平衡关系定常数B、。,一个自由度系统的振动,这样,我们看到激振力P超前位移x2为;速度超前位移90;加速度超前位移180,又知,弹性力与位移x2反向;阻尼力与速度 反向;惯性力与加速度 反向。,由方程(1)它是个力的平衡方程可见,惯性力、阻尼力、弹性力及干扰力在任何瞬时都是“平衡的”,我们取 即位移x2达到最大值 振幅B这一瞬时,此时各力相位如图,便于确定常数B、。作旋转矢量图。
6、,一个自由度系统的振动,(1),由矢量平衡必有:,即,一个自由度系统的振动,P0,和以下公式等效:,一个自由度系统的振动,稳态强迫振动的基本特点: 1)线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率而相位滞后于激振力的简谐振动 2)稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质(质量,刚度,阻尼)和激振的频率及力幅,而与系统进入运动的方式(初始条件)无关,这样,我们就完全确定了特解x2。,一个自由度系统的振动,P0,无阻尼系统对简谐振动的稳态响应,当,时,得到:,这时:,这样,我们就完全确定了特解x2。,一个自由度系统的振动,P0,无阻尼系统对简谐振动的稳态响应,当,时,得到:,这时:,我
7、们知道,x的前一项代表有阻尼自由振动,随时间t增加而衰减至消失,称为瞬态振动。而第二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下,它是简谐振动,它与激振力有相同频率,其振幅B,相位差只与系统本身性质、激振力大小、频率有关,与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。,一个自由度系统的振动,讨论,我们主要感兴趣的是强迫稳态振动,即,经过一段时间后,有:,一个自由度系统的振动,1、幅频特性,频率比(激振力频率与固有频率之比),我们设:,把振幅写成,这就是用频率比和阻尼比所表示的动力放大系数。,再引进两个参数:,振幅放大系数或动力放大系数(由于动加载而使位移加大的程度)。,于是得到:,一个自由度系统的振动
8、,a、当由零开始从小到大时,动力放大系数从小到大,再从大到小。,我们做出幅频特性曲线, 可见:,0时,1(静态),1时,0(当激振频率远大于固有频率时,系统不响应),一个自由度系统的振动,b、当接近1时达最大值,即振幅达BBmax,称为共振,这时系统的动应力最大,对系统(或结构)的破坏最大。,注意到,位移共振时1,就是说,这时激振动的频率并不等于系统的固有频率,所以不能用这种方法测定系统的固有频率。,但是,当阻尼很小时(一般 )1。,c、阻尼越大(即接近1),共振峰越低(即小)。,一个自由度系统的振动,位移滞后于激振力的相位角。,2、相频特征,注: ,该式显示了相位差随、变化的规律。作相频特性
9、曲线:,一个自由度系统的振动,a、 当 有 (静)01 0/2 1 /2,2、相频特征,可见:,b、阻尼不同时特 征曲线不同,但当 时,无论阻尼如何,位移落后于激振力的相位差总是/2。我们可以利用这一特点测定系统的固有频率n,这种方法叫相位共振法。,一个自由度系统的振动,由公式及图可见:,3、速度幅频特性,作速度幅频特征曲线,类似于位移振幅放大系数(动力放大系数) ,可定义速度幅放大系数:,当0时,v0(无振动,静态),当1时,v(v)max发生共振。,当时,v0。,一个自由度系统的振动,4、加速度幅频特性,作加速度幅频特性曲线,定义加速度幅放大系数:,当0时,g0(静态),当稍1处,g(g)
10、max,当时,g1,一个自由度系统的振动,前边,我们由曲线说明了发生位移共振、速度幅共振及加速度幅共振时的大小,实际上,我们有、v、g的解析函数,用求函数极值的方法可以解析地确定共振时频率比的大小。,一个自由度系统的振动,只有速度共振发生在1处,即当激振力频率等于系统固有频率时发生速度共振,我们可利用这一特点测定系统的固有频率n。,令 ,得 ,可见位移共振发生在1处;,令 ,得1,可见速度共振发生在1处;,令 ,得 ,可见加速度共振发生在1处。,一个自由度系统的振动,位移放大系数:,证明:当 ,发生共振,5、共振现象的实质,a、共振点,我们在确定x2=Bsin(t-)中常数B、时曾画过矢量平衡
11、图,那时没有发生共振,激振力幅P0超前位移角。,当1,即n时,发生速度共振,,弹性力与惯性力平衡,即kBmn2B,外加激振力仅用于克服阻尼力,即p0rnB,一个自由度系统的振动,这时/2,力的平衡图如右。特点是:,5、共振现象的实质,a、共振点,弹性力与惯性力平衡,即kBmn2B,外加激振力仅用于克服阻尼力,即p0rnB,一般系统阻尼很小,要平衡激振力,只有靠振幅B的不断增大,直到产生的阻尼力rnB足以平衡激振力p0为止。,从能量观点看,功率N=Fvcos,共振时激振力与速度同向,即0,此时激振力以最有效方式对系统做功,使系统能量增加,表现在振幅B加大。,一个自由度系统的振动,b、共振区,所谓
12、共振区,就是共振点(1)附近振幅相对比较大的区域。共振区一般指相频特性曲线上45和135相对应的频率上的1和2之间的区域。,由公式,当45时,,当135时,,注:由tg451,则212,2210,所以共振区宽度:122,可见,阻尼越大,共振区越宽。,一个自由度系统的振动,由速度幅放大系数公式,为求1,2时的v值,把公式变化为:,共振时1,(v)max1/(2),当2时,135,,注: ,当1时,145,,在共振区内, 。,一个自由度系统的振动,(v)max1/(2),一个自由度系统的振动,共振时的振幅放大因子也称为品质因子,,在共振区内。,低频,高频及共振时的三种力多边形,P0,P0,振动缓慢
13、,速度及加速度都很小,因而阻尼力与惯性力很小,主要由弹性力与激振力平衡,相位差为0。,高频,加速度都很大,主要由惯性力与激振力平衡,相位差为180。,共振时,振动剧烈,振幅很大,这时弹性力,阻尼力及惯性力都很大,弹性力与惯性力相互平衡,而激振力全部用于克服阻尼力,相位90。,机械阻抗工程机械领域,机械阻抗定义为简谐振动时复数形式的输入与输出之比。,位移阻抗为:,输入即:,输出即:x(t),又:,位移阻抗为:,速度阻抗为:,加速度阻抗为:,机械阻抗的倒数称为机械导纳,机械阻抗的倒数称为机械导纳,所以分别称为位移导纳,速度导纳及加速度导纳,工程中把位移阻抗和位移导纳又分别称为动刚度和动柔度,速度阻
14、抗称为阻抗,加速度阻抗简称为视在质量,6、避免与利用共振,共振时系统的振动特别强烈,动应力很大,对结构强度及仪表使用造成威胁。因此,在结构设计中,避免发生共振是很重要的问题。,例如直升飞机的螺旋桨就是一个振源,而整个飞机通过起落架与地面接触,这有一定的固有频率,如果两者频率相等,就会在直升飞机着陆的一瞬间发生地面共振,可能在几秒钟内造成机毁人亡的严重后果,其速度之快使飞行员来不及或无法采取措施。因此,不但在飞机设计过程中要尽量避免,而且在造出这样的飞机后还须作地面试验以检验是否满足要求。,一个自由度系统的振动,防止共振总的来说有两方面:,a、消除振源。例如做动平衡试验,发现有惯性力偶作用时用加
15、配重方法调整。,b、若振源无法完全消除,则要使激振力频率与系统固有频率之比远离共振区范围工作。这又分为两种情况:若已定,则要调整设计使n远离;若n已定,则设法使远离n。,这里要说明一点,若一系统须稳定在1以右较远处工作时,这样就必须越过共振区。从实践和理论上都表现:在短时间内越过共振区没有什么危险,因为共振是一个能量积累的过程,振幅增大需要一定的时间。,另外,认识了共振,人们可以利用共振,例如用共振法测系统的固有频率。,一个自由度系统的振动,一个自由度系统的振动,一个自由度系统的振动,系统的固有频率为,阻尼系数为:,相对阻尼系数为:,除去阻尼后的振幅为:,(1/(2),B=P0/(2k)=P0
16、/(c*wn) c=P0/(B*wn)),一个自由度系统的振动,其中频率比为,于是得到:,有阻尼的振幅为:,例2、用图示共振试验得到的速度幅频特性曲线,求系统的阻尼比。,一个自由度系统的振动,我们知道,共振区宽度与阻尼比有关即,解:图中Bv为速度幅,即B,该图是速度幅随激振力频率变化的曲线,当n时BvBvmax即共振点。,例2、用图示共振试验得到的速度幅频特性曲线,求系统的阻尼比。,一个自由度系统的振动,这就是说,用速度共振方法可测定系统的阻尼。,在曲线上量取,于是得到1,2,则,(或 ),注: , , ,一个自由度系统的振动,例二、电机转速1760转/分,由于未很好平衡,产生不平衡力70公斤
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