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1、 直线、平面平行的判定及其性质 1.下列命题中,正确命题的是 . 若直线l 上有无数个点不在平面内,则 l ; 若直线l 与平面平行,则l 与平面内的任意一条直线都平行; 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平 行;若直线l 与平面平行,则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中,不能判断两个平面平行的是(填序号) . 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 3.对于平面和共面的直线m 、 n,下列命题中假命题是(填序号)
2、. 若 m ,m n,则 n 若 m ,n,则 m n 若 m,n,则 m n 若 m 、n 与所成的角相等,则m n 答案 4.已知直线a, b,平面,则以下三个命题: 若 ab, b, 则 a; 若 ab, a, 则 b; 若 a, b, 则 ab. 其中真命题的个数是 . 答案0 5.直线a/ 平面M, 直线bM, 那么a/b是b/M的条件 . A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不必要 6.能保证直线a与平面平行的条件是 A. baba/, B. bab/, C. cabacb/, D. bDbCaBaAb, 且 BDAC 7.如果直线a平行于平面, 则 A. 平面 内
3、有且只有一直线与a平行B.平面内无数条直线与a平行 C.平面 内不存在与 a平行的直线 D.平面内的任意直线与直线 a都平行 8.如果两直线ab, 且a平面,则b与的位置关系 A. 相交B. /b C. b D. /b 或b 9.下列命题正确的个数是 10.(1)若直线l上有无数个点不在平面内, 则l (2)若直线l与平面 平行 ,则l与平面 内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a和平面 内一直线b平行 ,则a A.0个B.1个C.2个D.3个 11.b是平面 外的一条直线,下列条件中可得出b 是 A.b与内的一条直线不相交
4、B.b与内的两条直线不相交 C.b与内的无数条直线不相交D.b与 内的所有直线不相交 12.已知两条相交直线a、b,a平面 ,则b与 的位置关系 A.bB.b与相交C.bD.b或b与相交 13.如图所示,已知S 是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA =SB =SC,SG为 SAB上 的高, D、E、F 分别是 AC 、BC、SC的中点,试判断SG与平面 DEF的位置关系,并给 予证明 . 解SG 平面 DEF ,证明如下: 方法一:三角形中位线连接 CG交 DE于点 H, 如图所示 . DE是 ABC的中位线, DE AB . 在 ACG中, D是 AC的中点, 且 DH AG . H为
5、CG的中点 . FH是 SCG的中位线, FHSG . 又 SG 平面 DEF ,FH平面 DEF , SG 平面 DEF . 方法二:平面平行的性质 EF为 SBC的中位线,EF SB . EF平面 SAB , SB 平面 SAB , EF平面 SAB . 同理可证, DF平面 SAB ,EF DF=F, 平面 SAB 平面 DEF ,又 SG 平面 SAB , SG 平面 DEF . 14.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中, E 、 F、G、H分别是 BC 、CC1、 C1D1、A1A的中点 . 求证: (1)BFHD1; (2)EG 平面 BB1D1D; (3)平面 BDF
6、 平面 B1D1H. 证明平行四边形的性质,平行线的传递性 (1)如图所示,取BB1的中点 M ,易证四边形HMC1D1是平行四边形, HD1MC1. 又 MC1BF , BF HD1. (2)取 BD的中点 O ,连接 EO ,D1O,则 OE 2 1 DC , 又 D1G 2 1 DC , OED1G , 四边形OEGD 1是平行四边形,GE D1O . 又 D1O平面 BB1D1D, EG 平面 BB1D1D . (3)由(1)知 D1HBF ,又 BDB1D1,B1D1、HD1平面 HB1D1,BF、BD平面 BDF ,且 B1D1 HD1=D1,DB BF=B,平面BDF 平面 B1
7、D1H. 15.如图所示,在三棱柱ABC A1B1C1中, M 、N分别是 BC和 A1B1的中点 . 求证: MN 平面 AA1C1C. 证明方法一: 平行四边形的性质 设 A1C1中点为 F,连接 NF, FC, N为 A1B1中点, NFB1C1,且 NF= 2 1 B1C1, 又由棱柱性质知B1C1BC , 又 M是 BC的中点, NFMC , 四边形NFCM 为平行四边形 . MN CF ,又 CF平面 AA1C1,MN 平面 AA1C1, MN 平面 AA1C1C. 方法二: 三角形中位线的性质 连接 AM交 C1C于点 P ,连接 A1P , M是 BC的中点,且MC B1C1,
8、 M是 B1P的中 点, 又 N为 A1B1中点, MN A1P,又 A1P 平面 AA1C1,MN 平面 AA1C1, MN 平面 AA1C1C. 方法三: 平面平行的性质 设 B1C1中点为 Q,连接 NQ ,MQ , M 、 Q是 BC 、B1C1的中点, MQCC1,又 CC1平面 AA1C1C, MQ平面 AA1C1C, MQ 平面 AA1C1C. N、 Q是 A1B1、B1C1的中点, NQA1C1,又 A1C1平面 AA1C1C, NQ平面 AA1C1C, NQ 平面 AA1C1C. 又 MQ NQ= B,平面MNQ 平面 AA1C1C, 又 MN 平面 MNQ MN 平面 AA
9、1C1C. 16.如图所示, 正方体 ABCD A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别 有两点 E,F,且 B1E=C1F. 求证: EF平面 ABCD . 方法一: 平行四边形的性质 过 E作 ES BB1交 AB于 S,过 F 作 FTBB1交 BC于 T, 连接 ST,则 11 AEES ABB B ,且 11 BFFT BCC C B1E=C1F, B1A=C1B, AE=BF 11 ESFT B BCC , ES=FT 又 ES B1BFT,四边形EFTS为平行四边形 . EFST,又 ST平面 ABCD ,EF平面 ABCD , EF 平面 ABCD . 方法二: 相似
10、三角形的性质 连接 B1F 交 BC于点 Q ,连接 AQ , B1C1BC , 11 11 B FC F B QC B B1E=C1F, B1A=C1B, 11 11 B EB F B DB Q EFAQ ,又 AQ 平面 ABCD ,EF平面 ABCD ,EF平面 ABCD . 方法三: 平面平行的性质 过 E作 EG AB交 BB1于 G , 连接 GF,则 BB GB AB EB 1 1 1 1 , B1E=C1F, B1A=C1B, BB GB BC EC 1 1 1 1 , FG B1C1BC , 又 EG FG =G,AB BC =B, 平面 EFG 平面 ABCD ,而 EF平
11、面 EFG , EF平面 ABCD . 17.如图所示, 在正方体 ABCD A1B1C1D1中, O为底面 ABCD 的中心, P是 DD1的中点, 设 Q 是 CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ 平面 PAO ? 解面面平行的判定 当 Q为 CC1的中点时, 平面 D1BQ 平面 PAO . Q为 CC1的中点, P为 DD1的中点, QB PA . P、O为 DD1、 DB的中点, D1BPO . 又 PO PA =P,D1B QB =B, D1B平面 PAO ,QB 平面 PAO , 平面 D1BQ 平面 PAO . 直线与平面平行的性质定理 18.如图所示,四边形EF
12、GH 为空间四边形ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形. (1)求证: AB 平面 EFGH ,CD 平面 EFGH . (2)若 AB =4, CD =6,求四边形EFGH 周长的取值范围. (1)证明四边形EFGH为平行四边形,EF HG . HG 平面 ABD , EF 平面 ABD . EF平面 ABC ,平面 ABD 平面 ABC =AB , EFAB . AB 平面 EFGH . 同理可证, CD 平面 EFGH . (2) 解设 EF=x(0x4) ,由于四边形EFGH为平行四边形, 4 x CB CF . 则 6 FG = BC BF = BC CFBC =1- 4 x .
13、 从 而FG =6-x 2 3 . 四 边 形EFGH 的 周 长 l =2( x+6-x 2 3 )=12- x. 又 0x4, 则有 8 l 12, 四边形EFGH周长的取值范围是(8, 12). 19.如图所示,平面平面,点 A,C,点 B, D, 点 E,F 分别在线 段 AB , CD上,且 AE EB =CFFD . (1)求证: EF; (2)若 E,F 分别是 AB ,CD的中点, AC =4,BD =6,且 AC ,BD所成的角为60,求 EF 的长 . (1)证明两个平行平面同时与第三个平面相交,则交线平行;平行 线分线段成比例 方法当 AB , CD在同一平面内时, 由,
14、平面平面 ABDC =AC , 平面平面 ABDC =BD , AC BD , AE EB =CFFD, EFBD , 又 EF, BD, EF. 方法当 AB与 CD异面时, 设平面 ACD =DH ,且 DH =AC . ,平面 ACDH =AC , AC DH ,四边形ACDH 是平行四边形, 在 AH上取一点G ,使 AG GH =CFFD , 又 AE EB =CFFD, GF HD ,EG BH , 又 EG GF =G,平面EFG 平面. EF平面 EFG , EF . 综上, EF. (2)解三角形中位线 如图所示,连接AD ,取 AD的中点 M ,连接 ME ,MF . E,
15、F 分别为 AB ,CD的中点, ME BD ,MF AC , 且 ME = 2 1 BD =3,MF = 2 1 AC =2, EMF为 AC与 BD所成的角(或其补角) , EMF =60或 120, 在 EFM中由余弦定理得, EF=EMFMFMEMFMEcos2 22 = 2 1 23223 22 =613, 即 EF=7或 EF=19. 20.正方形 ABCD 与正方形ABEF所在平面相交于AB , 在 AE 、 BD上各有一点P、 Q , 且 AP =DQ . 求证: PQ 平面 BCE . 证明方法一: 平行四边形的性质如图所示, 作 PM AB交 BE于 M , 作 QN AB
16、交 BC于 N,连接 MN . 正方形ABCD 和正方形ABEF有公共边AB , AE =BD . 又 AP =DQ , PE =QB , 又 PM AB QN , AE PE AB PM , BD BQ DC QN , DC QN AB PM , PM QN, 四边形PMNQ 为平行四边形,PQ MN . 又 MN 平面 BCE ,PQ 平面 BCE , PQ 平面 BCE . 方法二: 相似三角形的性质如图所示,连接AQ ,并延长交BC于 K, 连接 EK , AE =BD ,AP =DQ , PE =BQ , PE AP = BQ DQ 又 AD BK , BQ DQ = QK AQ 由
17、得 PE AP = QK AQ , PQ EK . 又 PQ 平面 BCE ,EK 平面 BCE , PQ 平面 BCE . 方法三: 平面平行的性质如图所示,在平面ABEF内,过点P 作 PM BE ,交 AB于点 M , 连接 QM . PM BE ,PM 平面 BCE , 即 PM 平面 BCE , PE AP = MB AM 又 AP =DQ , PE =BQ , PE AP = BQ DQ 由得 MB AM = BQ DQ , MQ AD , MQ BC ,又 MQ 平面 BCE , MQ 平面 BCE . 又 PM MQ =M ,平面PMQ 平面 BCE , PQ 平面 PMQ ,
18、 PQ 平面 BCE . 21.如图所示, 正四棱锥PABCD 的各棱长均为13,M ,N分别为 PA ,BD上的点, 且 PM MA =BN ND =58. (1)求证:直线MN 平面 PBC ; (2)求线段 MN的长 . (1)证明:方法一:相似三角形的性质 连接 AN并延长交BC于 Q , 连接 PQ ,如图所示 . AD BQ , AND QNB , NQ AN = NB DN = BQ AD = 5 8 , 又 MA PM = ND BN = 8 5 , MP AM = NQ AN = 5 8 , MN PQ , 又 PQ 平面 PBC ,MN 平面 PBC , MN 平面 PBC
19、 . 方法二: 平行四边形的性质 如图所示,作MQ AB交 PB于 Q,作 NR AB交 BC于 R, 连接 QR. MQ AB NR , PMMQ PAAB , NRBN DCBD , 又 PMBN MAND , MQ NR , 四边形MNRQ 为平行四边形,MN QR. 又 QR 平面 PBC ,MN 平面 PBC , MN 平面 PBC. 方法三: 平面平行的性质 如图所示,在平面ABP内,过点M作 MN PB,交 AB于点 O, 连接 ON. MO PB,MO 平面 PBC ,PB 平面 PBC 即 MO 平面 PBC , AM AP = AO AB 又 MA PM = ND BN = 8 5 , AO AB =DN DB , NO AD , NO BC ,又 NO 平面 PBC , BC平面 PBC NO 平面 PBC . 又 MO NO=O ,平面MNO 平面 PBC , MN 平面 MNO , MN 平面 P BC . (2)解在等边 PBC中, PBC =60, 在 PBQ中由余弦定理知PQ 2=PB2+BQ2-2 PB BQ cosPBQ =13 2+ 2 8 65 -2 13 8 65 2 1 = 64 2818 , PQ = 8 91 , MN PQ ,MN PQ =813, MN = 8 91 13 8 =7.
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