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1、. 第一部分相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识 (一) A 字型、反A 字型(斜A 字型) A B C DE (平行) CB A D E (不平行) (二) 8 字型、反8 字型 JO A D B C A B C D (蝴蝶型) (平行)(不平行) (三)母子型 A B C D C A D (四)一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景 . (五)一线三直角型: (六)双垂型: C A D 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型:由 A字型旋转得到。8 字型拓展 CB ED A 共享性 G A B C E F . 一线三等角的变形 一线三
2、直角的变形 . 第二部分相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例 1:如图,梯形ABCD 中, ADBC,对角线 AC、BD 交于点 O, BECD 交 CA 延长线于E 求证:OEOAOC 2 例 2:已知:如图,ABC 中,点 E 在中线 AD 上, ABCDEB 求证: (1)DADEDB 2 ; (2)DACDCE 例 3:已知:如图,等腰ABC 中, ABAC, ADBC 于 D,CGAB,BG 分别交 AD、AC 于 E、F 求证:EGEFBE 2 相关练习: 1、如图,已知AD 为 ABC 的角平分线,EF 为 AD 的垂直平分线求证:FCFBFD 2 A C D E B .
3、 2、已知: AD是 RtABC中 A的平分线,C=90 , EF是 AD的垂直平分线交AD于 M ,EF、BC的延长线 交于一点N 。 求证: (1) AME NMD; (2)ND 2 =NC NB 3、已知:如图,在ABC中, ACB=90 , CD AB于 D , E是 AC上一点, CFBE于 F。 求证: EB DF=AE DB 4. 在ABC中, AB=AC ,高 AD 与BE交于 H, EFBC ,垂足为 F,延长 AD 到G,使 DG=EF ,M 是AH 的中点。 求证: GBM90 5 (本题满分14 分,第( 1)小题满分4 分,第( 2) 、 (3)小题满分各5 分) 已
4、知:如图,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PDAB,交边AC 于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且EPD=A 设 A、P两点的距离为x,BEP的面积为y (1)求证:AE=2PE; (2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当BEP与ABC相似时,求BEP的面积 A C B P D E (第 25 题图) G M F E H D C B A . E D C A B 双垂型 1、如图,在ABC中, A=60, BD 、 CE分别是 AC 、AB上的高 求证:(1) ABD ACE ; (2) ADE ABC ;(3)BC=
5、2ED 2、如图,已知锐角ABC ,AD 、CE 分别是 BC 、AB 边上的高, ABC 和 BDE 的面积分别是27 和 3, DE=62,求:点B 到直线 AC 的距离。 E D A BC 共享型相似三角形 1、 ABC是等边三角形,D、B、 C、E在一条直线上, DAE= 120 ,已知 BD=1 ,CE=3 , , 求等边三角形的边 长. A BC D E 2、已知:如图,在RtABC 中, AB=AC, DAE =45 求证: (1)ABEACD ;(2)CDBEBC2 2 D E A B C . 一线三等角型相似三角形 例 1:如图,等边ABC 中,边长为6,D 是 BC 上动点
6、, EDF =60 (1)求证: BDE CFD (2)当 BD=1,FC=3 时,求 BE 例 2: (1)在ABC中,5ACAB,8BC,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、 点B重合),且保持ABCAPQ. 若点P在线段CB上(如图),且6BP,求线段CQ的长; 若xBP,yCQ,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域; (2)正方形 ABCD的边长为5(如下图),点P、Q分别在直线 CB、 DC上(点P不与点C、点B重 合) ,且保持90APQ. 当1CQ时,求出线段BP的长 . 例 3:已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD 5,ABDC2 (1)如图 8,
7、P为AD上的一点,满足 BPCA 求证;ABPDPC 求AP的长 A B C 备用图 A B C D C A D B E F A B C D A B C P Q A B C 备用图 A B C D C D A B P . (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足BPEA,PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么 当点Q在线段DC的延长线上时,设APx,CQy,求y关于x的函数解析式,并写出函数的 定义域; 当CE1 时,写出AP的长 C B AD C B AD 例 4:如图,在梯形ABCD中,ADBC,6ABCDBC,3AD点M为边BC的中点,以 M为顶点作EMF
8、B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF (1)求证:MEFBEM; (2)若 BEM 是以BM为腰的等腰三角形,求 EF的长; (3)若EFCD,求BE的长 相关练习: 1、如图,在ABC 中,8ACAB,10BC,D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,且 CADE (1) 求证: ABD DCE; (2) 如果xBD,yAE,求y与x的函数解析式,并写出自变量x的定义域; (3) 当点D是BC的中点时,试说明ADE 是什么三角形,并说明理由 A B C D E . 2、如图,已知在ABC 中,AB=AC=6, BC=5,D 是 AB 上一点, BD=2,E 是 BC
9、上一动点,联结DE, 并作DEFB,射线 EF 交线段 AC 于 F (1)求证: DBE ECF;(2)当 F 是线段 AC 中点时,求线段BE 的长; (3)联结 DF,如果 DEF 与 DBE 相似,求FC 的长 3、已知在梯形ABCD 中, AD BC,ADBC,且 BC =6,AB=DC=4, 点 E 是 AB 的中点 ( 1)如图, P 为 BC 上的一点,且BP=2求证: BEP CPD; ( 2)如果点 P 在 BC 边上移动(点P 与点 B、C 不重合),且满足 EPF=C,PF 交直线 CD 于点 F, 同时交直线AD 于点 M,那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时,
10、设BP=x,DF =y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的 定义域; 当 BEPD MF SS 4 9 时,求 BP 的长 4、如图,已知边长为 3的等边ABC,点F 在边BC上, 1CF ,点E是射线BA上一动点, 以线段EF 为边向右侧作等边 EFG ,直线 ,EG FG 交直线 AC于点 ,M N , (1)写出图中与BEF相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似; (3)设 ,BEx MNy ,求 y 与x之间的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围; (4)若1AE,试求 GMN 的面积 F B A C D E E D C B A P ( 第25题 E D C B A (备用图
11、) 备用图 . 一线三直角型相似三角形 例 1、 已知矩形 ABCD 中, CD=2 , AD=3 , 点 P是 AD 上的一个动点, 且和点 A,D 不重合,过点 P作CPPE, 交边 AB 于点 E,设yAExPD,,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出x 的取值范围。 例 2、在ABC中,OBCACC, 3,4,90 o 是 AB 上的一点,且 5 2 AB AO ,点 P 是 AC 上的一个 动点,OPPQ交线段 BC 于点 Q, (不与点 B,C 重合) ,设yCQxAP,,试求 y关于 x 的函数关系, 并写出定义域。 【练习 1】 在直角ABC中, 4 3 tan, 5,90B
12、ABC o , 点 D 是 BC 的中点,点 E 是 AB 边上的动点,DEDF 交射线 AC 于点 F (1) 、求 AC 和 BC 的长 (2) 、当BCEF /时,求 BE 的长。 (3) 、连结 EF,当DEF和ABC相似时,求BE 的长。 Q C BA O P F D C B A E E BC AD P F D C B A E . P B A P B A F A B C D E F A B C D E 【练习 2】 在直角三角形ABC 中, DBCABC,90 o 是 AB 边上的一点, E 是在 AC 边上的一个动点,(与 A,C 不重合),DFDEDF,与射线 BC 相交于点F.
13、 (1)、当点 D 是边 AB 的中点时,求证:DFDE (2)、当m DB AD ,求 DF DE 的值 (3) 、当 2 1 , 6 DB AD BCAC,设yBFxAE, 求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域 【 练习 4】如图,在ABC中,90C,6AC, 3 tan 4 B,D是BC边的中点,E为AB边上 的一个动点,作90DEF,EF交射线BC于点F设BEx, BED的面积为y (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似,求BED的面积 . 【 练 习5 】、 (2015 年黄浦一模25) 如图 ,在梯形ABCD中,CDAB, 3 4 tan,4,2CADAB,PDABADC,90 0 是腰BC上 一个动点 (不含点 B、C),作APPQ 交CD于点Q.(图 1) (1)求BC的长与梯形ABCD的面积; (2)当DQPQ时 ,求BP的长; (图 2) (3)设yCQxBP,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域 . . (图 1)(图 2)单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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