相似三角形模型分析汇总精.pdf
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1、. 第一部分相似三角形知识要点大全 知识点 1. 相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形) 解读 : (1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即不仅形状相同,大小也相同 (3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同,与其他因素无关 例 1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢? 分析:要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变 解:是相似图形。因为它们的形状相同,大小不一定相同 例 2下列各组图形:两个平行四边形;两个圆;两个矩形;有一个内角80的两个等腰三角 形;
2、两个正五边形;有一个内角是100的两个等腰三角形,其中一定是相似图形的是_( 填 序号 ) 解析:根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,而平行四边形、矩形、等腰三 角形都属于形状不唯一的图形,而圆、正多边形、 顶角为 100的等腰三角形的形状不唯一,它们都相似 答 案: 知识点 2比例线段 对于四条线段a,b,c,d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即 ac bd (或 a:b=c:d )那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段 解读 : (1)四条线段a,b,c,d成比例,记作 ac bd (或 a:b=c:d ) ,不能写成其他形式,即比例线
3、段 有顺序性 (2)在比例式 ac bd (或 a:b=c:d )中,比例的项为a,b,c,d,其中 a,d 为比例外项, b,c 为比例内项, d 是第四比例项 (3)如果比例内项是相同的线段,即 ab bc 或 a:b=b:c ,那么线段b 叫做线段和的比例中项。 (4) 通常四条线段a,b,c,d的单位应一致,但有时为了计算方便,a 和 b 统一为一个单位,c 和 d 统一为另 一个单位也可以,因为整体表示两个比相等 例 3已知线段a=2cm, b=6mm, 求 a b 分析:求 a b 即求与长度的比,与的单位不同,先统一单位,再求比 例 4已知 a,b,c,d成比例,且a=6cm,b
4、=3dm,d= 3 2 dm ,求 c 的长度 分析:由a,b,c,d成比例,写出比例式a:b=c:d ,再把所给各线段a,b,d统一单位后代入求c 知识点 3相似多边形的性质 相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等 解读 : (1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系 (2)明确相似多边形的“对应”来自于书写,且要明确相似比具有顺序性 例 5若四边形ABCD 的四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为 30,则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少? 分析:四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1相似,且它们的相似比为对应
5、的最大边长的比,即为 1 3 ,再根据相似 多边形对应边成比例的性质,利用方程思想求出最小边的长 . 知识点 4相似三角形的概念 对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形 解读 : (1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; (4)相似用“”表示,读作“相似于”; (5)相似三角形的对应边之比叫做相似比 注意 :相似比是有顺序的,比如ABC A1B1C1,相似比为k, 若 A1B1C1 ABC ,则相似比为 1 k 。若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等,全等三 角形是相似三角形的特殊
6、情况。若两个三角形全等,则这两个三角形相似;若两个三 角形相似,则这两个三角形不一定全等 例 6如图,已知ADE ABC ,DE=2,BC=4 ,则和的相似比是多少?点D,E 分别是 AB , AC的中点吗? 注意 :解决此类问题应注意两方面:(1)相似比的顺序性, (2)图形的识别 解:因为 ADE ABC ,所以 DEADAE BCABAC ,因为 21 42 DE BC , 所以 1 2 ADAE ABAC ,所以 D,E分别是 AB ,AC的中点 知识点 5相似三角的判定方法 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似; (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延
7、长线)所构成的三角形与原三角形相似 (3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似 (4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形 相似 (5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 (6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似 例 7如图,点D在 ABC的边 AB上,满足怎样的条件时,ACD与 ABC相似?试分别加以列举 分析:此题属于探索性问题,由相似三角形的判别方法可知,ACD与 ABC已有公共角A,要使此 两个三角形相似,可根据相似三角形的判别
8、方法寻找一个条件即可 解:当满足以下三个条件之一时,ACD ABC 条件一:1=B;条件二:2=ACB ;条件三:,即 AC 2=AD AB 知识点 6相似三角形的性质 (1)对应角相等,对应边的比相等; (2)对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比; (3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方 例 8如图,已知ADE ABC ,AD=8 ,BD=4 ,BC=15 ,EC=7 (1)求 DE 、AE的长; (2)你还能发现哪些线段成比例 A B C DE ADAC ACAB . B C A D E 分析:此题重点考查由两个三角形相似,可得到对应边成例,即 例
9、9已知 ABC A1B1C1,= 2 3 ,ABC的周长为20cm ,面积为40cm 2 求( 1) A1B1C1的周长;(2) A1B1C1的面积 分析:根据相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方求解 易求出 A1B1C1的周长为30cm; A1B1C1的面积 90cm 2 第二部分相似三角形模型分析大全 一、相似三角形判定的基本模型认识 (一) A 字型、反A 字型(斜A 字型) A B C D E (平行) C B A D E (不平行) (二) 8 字型、反8 字型 JO A D B C A B C D (蝴蝶型) (平行)(不平行) (三)母子型 DEADAE BCA
10、BAC 11 AB A B . A B C D C A D (四)一线三等角型: 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景 (五)一线三直角型: (六)双垂型: . C A D 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型:由 A字型旋转得到。8 字型拓展 CB ED A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 . 一线三直角的变形 第三部分相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例 1:如图,梯形ABCD 中, ADBC,对角线 AC、BD 交于点 O, BECD 交 CA 延长线于E 求证:OEOAOC 2 例 2:已知:如图,ABC 中,点 E 在中线 AD
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