相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案.pdf
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1、 拔高相似三角形习题集 适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用。 一、基础知识(不局限于此) (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段; 2.比例性质: (1)基本性质:bcad d c b a acb c b b a 2 (2)合比定理: d dc b ba d c b a (3)等比定理:)0.( ndb b a ndb mca n m d c b a 3.黄金分割:如图,若ABPBPA 2 ,则点 P 为线段 AB 的黄金分割点 4平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义 :我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等 .
2、3.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4.相似三角形的性质 (1)对应边的比相等,对应角相等. (2)相似三角形的周长比等于相似比. (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方. (4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位
3、线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: 、利用三角形相似,可证明角相等;线段成比例(或等积式); 、利用三角形相似,求线段的长等 3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似 : 位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形 叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质:位似图形上任
4、意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例 1.如图在 44 的正方形方格中,ABC和 DEF的顶点都在长为1 的小正方形顶点上 BA P (1)填空: ABC=_ ,BC=_ (2)判定 ABC与 DEF是否相似? 考点透视 本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. 参考答案 135, 22能判断 ABC与 DEF相似, ABC= DEF=?135 , ABBC DEEF =2 【点评】注意从图中提取有效信息,再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断 例 2. 如图所示, D、E两点分别在ABC两条边上,且DE与 BC不平行,请填上一个你认 为适合的条件 _,使得
5、 ADE ABC 考点透视 本例主要是考查相似的判定 参考答案 1=B或 2=C,或 ADAE ABAC 点评:结合判定方法补充条件 例 3. 如图,王华晚上由路灯A 下的 B 处走到 C处时,测得影子CD? 的长为 1 米,继续往前走2 米到达 E 处时,测得影子EF的长为 2 米,已知王华的身高是1.5 米,那么路灯A的高度等于() A4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米 考点透视 本例主要是考查相似的应用 参考答案 B 例 4. 如图, ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高 AD=80mm,?要把它加工成正方 形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB
6、、AC上, ?这个正方形零件的 边长是多少? 考点透视 本例主要是考查相似的实际应用 参考答案 48mm 【点评】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题,?一般运用相似三角形“对 应高之比等于相似比”这一性质来解答 例 5. 如图所示,在ABC中, AB=AC=1 ,点 D、E在直线 BC上运动,设BD=x ,CE=y (1)如果 BAC=30 , DAE=105 ,试确定y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果 BAC的度数为 , DAE的度数为 ,当 、满足怎样的关系式时, (1)中 y 与 x?之间的 函数关系式还成立,试说明理由 考点透视 本例主要是考查相似与函数的综合运用.
7、 参考答案 解:在 ABC中, AB=AC=1 , BAC=30 , ABC=? ACB=75 , ABD= ACE=105 又 DAE=105 , DAB+ CAE=75 ? 又 DAB+? ADB= ABC=75 , CAE= ADB , ADB EAC , 1 , 1 ABBDx ECACy 即, y= 1 x 当1满足 - 2 =90 , y= 1 x 仍成立 此时 DAB+ CAE= - , DAB+ ADB= - , CAE= ADB 又 ABD= ACE , ADB EAC , y= 1 x 【点评】确定两线段间的函数关系,可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系 例 6.一般
8、的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm3.5cm,放映的荧屏的规格为2m 2m , 若放映机的光源距胶片20cm时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏? 解析:胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的,镜头就相当于位似中心,因此本题可以转化为位似问题解 答 考点透视 本例主要是考查位似的性质. 参考答案 80 7 m 【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形,因此位似图形具有相似图形的所有性质 三适时训练 (一)精心选一选 1梯形两底分别为m、n,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为() (A) mn nm (B) nm mn2 (C) n
9、m mn ( D) mn nm 2 2如图,在正三角形ABC 中, D,E 分别在 AC,AB 上,且 AC AD 3 1 ,AE BE,则() (A) AED BED(B) AED CBD(C) AED ABD(D) BAD BCD 题 2 题 4 题 5 3P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B、C 的一点,过点P作直线截 ABC,使截得的三角形与ABC 相似, 满足这样条件的直线共有() (A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条 4如图, ABD ACD ,图中相似三角形的对数是() (A)2(B)3(C)4(D)5 5如图, ABCD 是正方形, E 是 CD 的中点, P
10、 是 BC 边上的一点, 下列条件中, 不能推出 ABP 与 ECP 相似的是() (A) APB EPC(B) APE90( C)P 是 BC 的中点( D)BPBC23 6如图, ABC 中, ADBC 于 D,且有下列条件: (1) B DAC90; (2) B DAC; (3) AD CD AB AC ; (4)AB 2BDBC 其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有() (A)3 个(B)2 个(C)1 个(D)0 个 题 6 题 7 题 8 7如图,将ADE 绕正方形ABCD 顶点 A 顺时针旋转90,得 ABF,连结 EF 交 AB 于 H,则下列结 论中错误的是() (A)
11、AE AF(B)EFAF2 1(C)AF 2FH FE (D)FBFC HBEC 8如图,在矩形ABCD 中,点 E 是 AD 上任意一点,则有() (A) ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周长 (B) ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积 (C) ABE DEC( D) ABE EBC 9如图,在 ABCD 中, E 为 AD 上一点, DECE23,连结 AE、 BE、BD,且 AE、BD 交于点 F, 则 SDEFSEBFSABF等于() (A)41025(B)4925(C)235(D)25 25 题 9 题 10 题 11 10如图,直线ab,AFFB 35,BCC
12、D31,则 AEEC 为() (A)512(B)95(C)12 5( D) 32 11如图,在 ABC 中, M 是 AC 边中点, E 是 AB 上一点,且AE 4 1 AB,连结 EM 并延长,交BC 的延 长线于 D,此时 BC CD 为() (A)21(B)32(C)31(D)52 12如图,矩形纸片ABCD 的长 AD9 cm,宽 AB3 cm,将其折叠,使点D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长和折痕EF 的长分别为() (A)4 cm、10cm(B)5 cm、10cm(C)4 cm、23cm(D)5 cm、23cm 题 12 (二)细心填一填 13已知线段a 6 cm,b2
13、cm,则 a、b、ab 的第四比例项是_cm,ab 与 ab 的比例中项是_cm 14若 c ba a cb b ca m2,则 m_ 15 如图,在 ABC 中,ABAC27, D 在 AC 上,且 BDBC18, DEBC 交 AB 于 E, 则 DE_ 16如图,ABCD 中,E 是 AB 中点, F 在 AD 上,且 AF 2 1 FD,EF 交 AC 于 G,则 AGAC_ 题 16 题 17 题 18 17如图, ABCD,图中共有 _对相似三角形 18如图,已知ABC,P 是 AB 上一点,连结CP,要使 ACP ABC,只需添加条件_(只要写 出一种合适的条件) 19如图, A
14、D 是 ABC 的角平分线,DE AC,EFBC,AB15,AF4,则 DE 的长等于 _ 题 19 题 20 题 21 20如图, ABC 中, ABAC,ADBC 于 D,AEEC,AD18,BE15,则 ABC 的面积是 _ 21如图,直角梯形ABCD 中, AD BC,ACAB,AD 8,BC10,则梯形ABCD 面积是 _ 22如图,已知ADEFBC,且 AE2EB,AD 8 cm,AD 8 cm,BC14 cm, 则 S梯形 AEFDS 梯形 BCFE_ ( 三)认真答一答 23.方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的10 10 的方格纸
15、中,画出两个相似但不全等的格点三角形,并加以证明(要求所画三角形是钝角三角形,并标 明相应字母) 24.如图, ABC 中, CDAB 于 D,E 为 BC 中点,延长AC、DE 相交于点F, 求证 BC AC DF AF 25.如图,在 ABC 中, ABAC,延长 BC 至 D,使得 CDBC,CEBD 交 AD 于 E,连结BE 交 AC 于 F,求证 AFFC 26.已知:如图, F 是四边形ABCD 对角线 AC 上一点, EFBC,FGAD 求证: AB AE CD CG 1 27.如图, BD、CE 分别是 ABC 的两边上的高,过D 作 DGBC 于 G,分别交 CE 及 BA
16、 的延长线于F、 H,求证:( 1)DG 2 BGCG; ( 2)BGCGGFGH 28.如图, ABC CDB90, AC a,BCb (1)当 BD 与 a、 b 之间满足怎样的关系时,ABC CDB? (2)过 A 作 BD 的垂线,与DB 的延长线交于点E,若 ABC CDB 求证四边形AEDC 为矩形(自己完成图形) 29.如图,在矩形ABCD 中, E 为 AD 的中点, EFEC 交 AB 于 F,连结 FC (ABAE) (1) AEF 与 EFC 是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由; (2)设 BC AB k,是否存在这样的k 值,使得 AEF BFC,若存
17、在,证明你的结论并求出k 的值;若不存在,说明理由 30.如图,在 RtABC 中, C90, BC6 cm,CA8 cm,动点 P 从点 C 出发,以每秒2 cm 的 速度沿 CA、AB 运动到点B,则从 C 点出发多少秒时,可使SBCP 4 1 SABC? 31. 如图,小华家(点A处)和公路(L)之间竖立着一块35m?长且平行于公路的巨型广告牌(DE ) 广 告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A 的盲区,并将盲区内的那段公路设为BC 一辆以60km/h 匀 速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m ,求小华家到公路的距离(精 确到 1m ) 32. 某老
18、师上完“三角形相似的判定”后,出了如下一道思考题: 如图所示,梯形ABCD中, AD BC ,对角线 AC、BD相交于 O,试问: AOB和 DOC是否相似? 某学生对上题作如下解答: 答: AOB DOC 理由如下: 在 AOB和 DOC 中, AD BC , AODO OCOB , AOB= DOC , AOB DOC 请你回答,该学生的解答是否正确?如果正确,请在每一步后面写出根据;如果不正确,请简要说明 理由 33.如图:四边形ABCD 中, A=BCD=90 ,过 C作对角线 BD的垂线交 BD 、AD于点 E、F,求证: DADFCD 2 ;如图:若过BD上另一点 E作 BD的垂线
19、交 BA 、BC延长线于 F、G ,又有什么结 论呢?你会证明吗? A B C D F E A B C DF E G 34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区 (如图所示 ),已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC. 35. (1)如图一,等边 ABC 中,D 是 AB 上的动点,以 CD 为一边,向上作等边EDC,连结 AE。 求证: AE/BC ; (2)如图二,将 (1)中等边 ABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形。所作EDC 改成相似于 ABC。请问:是否仍有AE/BC ?证明你的结论。 36. 如图,
20、从 O外一点 A作 O的切线 AB 、AC ,切点分别为B、C,且 O直经 BD=6 ,连结 CD 、AO 。 (1)求证: CD AO ; (2)设 CD=x ,AO=y ,求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量x 的取值范围; (3)若 AO+CD=11 ,求 AB的长。 37.已知:如图,在正方形 ABCD 中,AD = 1 ,P、Q 分别为 AD 、BC 上两点,且 AP=CQ,连结 AQ、 BP 交于点 E,EF 平行 BC 交 PQ 于 F,AP、BQ 分别为方程0 2 nmxx的两根 . (1)求m的值(2) 试用 AP、BQ 表示 EF (3)若 SPQE = 8 1
21、 ,求 n 的值 38. 如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm ,OB=6cm ,点 P从 O点开始沿 OA边向点 A以 1cm/s 的 速度移动: 点 Q从点 B 开始沿 BO边向点 O以 1cm/s 的速度移动, 如果 P、Q同时出发, 用 t(s) 表示移动的时间(06t) ,那么: (1)设 POQ 的面积为y,求y关于t的函数解析式。 (2)当 POQ 的面积最大时, POQ沿直线 PQ翻折 后得到 PCQ ,试判断点C是否落在直线AB上, 并说明理由。 (3)当t为何值时,POQ 与AOB相似? 39.如图,矩形PQMN 内接于 ABC,矩形周长为24,ADBC 交 PN
22、于 E,且 BC10,AE16,求 ABC 的面积 40.已知:如图, ABC 中,ABAC,AD 是中线, P 是 AD 上一点,过C 作 CFAB, 延长 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F求证: BP2PEPF O P A X Y B Q 41.(09延庆一模 ) 在 RtABC中, C=90 , BC=9, CA=12,ABC的平分线BD交AC于点D, DEDB交AB于点E,O是BDE的外接圆,交BC于点 F (1)求证 :AC是O的切线 ; (2)联结EF ,求 EF AC 的值. 42.(09东城一模 ) 请阅读下列材料: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等即如
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