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1、 资料 黄金分割专题练习 一、选择题 1已知 C是线段 AB的一个黄金分割点,则AC AB为() A 2 15 B 2 53 C 2 15 D 2 15 或 2 53 2若 1y yx 黄金数,则 y x 的值是() A 5 5 B 2 1 C 2 5 D5 3把 2 米的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段长为() A 53 B 15 C 51 D 53 4美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割。在人体躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是 理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近
2、0.618 ,就越给别人一种美的感觉。如果某女士身高为1.60m, 躯干与身高的比为0.60 ,为了追求美,她想利用高跟鞋达到这一效果,那么她选的高跟鞋的高度约为() A2.5cm B5.1cm C7.5cm D 8.2cm 5如图,在正五边形ABCDE 中,对角线AD 、AC与 EB分别相交于点M 、N下列命题: 四边形 EDCN 是菱形; 四边形 MNCD 是等腰梯形; AEN与 EDM 全等; AEM 与 CBN相似; 点 M是线段 AD 、BE 、NE的黄金分割点, 其中假命题有() A0 个 B1 个 C2 个 D 4个 二、填空题 1 C是 AB的黄金分割点,则 BC AC 。 2
3、 P为线段 AB 10cm的黄金分割点,则AP cm(保留两个有效数字)。 3当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618 时,身材是最完美的。一位身高为165cm ,肚脐到 头顶高度为65cm的女性,应穿鞋跟为 cm的高跟鞋才能使身材最完美(精确到1cm)。 4如图,节目主持人现站在舞台AB的一端 A点,在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果, 若舞台 AB长 20 米,主持人要想站在舞台的黄金分割点处,她应走到距A点至少米处,如果向 B点再走米,也处在舞台的黄金分割点处(结果精确到0.1 米) 资料 5如图,在平行四边形ABCD 中,点 E是边 BC上的黄金分割
4、点,且BE CE ,AE与 BD相交于点 F那么 BF:FD的 值为。 6 如图,在 ABC中, 点 D是 AB的黄金分割点 (AD BD ) , BCAD , 如果 ACD 90, 那么 tanA 。 三、解答下列各题 1在人体躯干( 脚底到肚脐的长度) 与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618 越给人以 美感。张女士的身高为1.68 米,身体躯干 ( 脚底到肚脐的高度) 为 1.02 米,那么她应选择约多大的高跟鞋看起 来更美。 ( 精确到十分位 ) 2一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看。如图,是一个参加 空姐选拔的选手的身
5、高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看?(精确到1cm ) 参考数据:黄金分割比为 2 15 , 52.236 。 3要设计一座2m高的维纳斯女神雕像(如图),使雕像的上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比, 等于下部与全部的高度比,即点C (肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点,这个比值叫做黄金分割比。试求出雕 像下部设计的高度以及这个黄金分割比?(结果精确到0.001 ) 资料 4如图,在ABC中, AB AC , A36, 1 2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点。请说明理由。 5如图, ABC中, ABAC , BAC 108,在 BC边上取一点D,使 BD BA,连接 A
6、D 。求证: (1) ADC BAC ; (2)点 D是 BC的黄金分割点。 6如图 1,点C将线段AB分成两 部分,如果 ACBC ABAC ,那么称点C为线段AB的黄金分割点。 某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直 线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 1 S, 2 S,如果 12 1 SS SS ,那么称直线l为该图 形的黄金分割线。 (1)研究小组猜想:在ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是ABC的黄金 分割线。你认为对吗?为什么? (2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄
7、金分割线? (3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DFCE,交AC 于点F,连接EF(如图 3),则直线EF也是ABC的黄金分割线。请你说明理由。 (4) 如图 4,点 E是ABCD的边 AB的黄金分割点, 过点 E作 EFAD , 交 DC于点 F, 显然直线EF是ABCD 的黄金分割线。请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点。 资料 7( 2013?黄石)如图1,点 C将线段 AB分成两部分,如果 ACBC ABAC ,那么称点C为线段 AB的黄金分割点。 某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”
8、,类似地给出 “黄金分割线” 的定义: 直线 l 将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1、S2,如果 12 1 SS SS ,那么称直线l 为该 图形的黄金分割线。 (1)如图 2,在 ABC中, A36, AB AC , C的平分线交AB于点 D,请问点D是否是 AB边上的黄金分 割点,并证明你的结论; (2)若 ABC在( 1)的条件下,如图3,请问直线CD是不是 ABC的黄金分割线,并证明你的结论; (3)如图 4,在直角梯形ABCD 中, D C90,对角线AC 、BD交于点 F,延长 AB 、DC交于点 E,连接 EF 交梯形上、下底于G 、 H两点,请问直线GH是
9、不是直角梯形ABCD 的黄金分割线,并证明你的结论。 8已知线段AB ,求作线段AB的黄金分割点C,使 AC BC 。 相似形专题练习答案 一、选择题 1 D 资料 2 D 3 A 4 C 5 B 二、填空题 1 2 15 或 2 15 ; 2 6.2 或 3.8 。 3解:设她应选择高跟鞋的高度是xcm,则618.0 165 )65165( x x 解得: x5cm 。 故答案为: 5。 4 7.6 ,4.8 。 5 2 15 。 6解:点D是 AB的黄金分割点(AD BD), 2 15 AB AD ,AD 2AB ?BD , BC AD , BC 2 AB ?BD , BC AB BD B
10、C , 又 B B, BCD BAC , 2 15 AB AD AB BC AC CD 。 在 ACD中, ACD 90, tanA 2 15 AC CD 。 故答案为 2 15 三、解答下列各题 1设张女士应该选择xcm高的高跟鞋,则 618.0 168 102 x x ,解得x4.8 (cm )。 2解:设应穿xcm高的鞋子, 根据题意,得 2 15 95 65 x 。解得 x10cm。 3解:设维纳斯女神雕像下部的设计高度为xm,那么雕像上部的高度为(2x)m 。依题意,得 资料 2 2x x x , 解得 236. 151 1 x,51 1 x(不合题意,舍去)。 经检验 51 1 x
11、是原方程的根。 答:维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m。 故这个黄金分割比为:618.0 2 15 。 4解: D是 AC的黄金分割点理由如下: 在 ABC中, AB AC , A36, ABC ACB 2 1 (180 36) 72。 1 2, 1 2 2 1 ABC 36。 在 BDC中, BDC 180 2 C72, C BDC , BC BD 。 A 1, AD BC 。 ABC和 BDC中, 2 A, C C, ABC BDC , CD BC BD AB , 又 AB AC,AD BC BD , CD AD AD AC , AD 2 AC ?CD ,即 D是 AC的黄金分割点。
12、5证明:( 1) AB AC , BAC 108, B C36, BD BA , BAD 72, CAD 36, CAD B, C C, ADC BAC ; (2) ADC BAC , AC BC CD AC , AC 2 BC ?CD , AC AB BD , BD 2 BC ?CD , 点 D是 BC的黄金分割点。 6( 1)直线CD是ABC的黄金分割线。理由如下: 设ABC的边AB上的高为h。 资料 1 2 ADC SAD h , 1 2 BDC SBD h , 1 2 ABC SAB h , 所以, ADC ABC SAD SAB , BDC ADC SBD SAD 。 又因为点D为边
13、AB的黄金分割点,所以有 ADBD ABAD 因此 ADCBDC ABCADC SS SS 。 所以,直线CD是ABC的黄金分割线。 (2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 12 1 2 sss,即 12 1 ss ss ,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。 (3)因为DFCE,所以DEC和FCE的公共边CE上的高也相等, 所以有 DECFCE SS 。 设直线EF与CD交于点G所以 DGEFGC SS 所以 ADCFGCAFGD SSS 四边形 DGEAEFAFGD SSS 四边形 , BDCBEFC SS 四边形 。 又因为 ADCBDC ABCADC SS
14、SS ,所以 BEFC AEF ABCAEF SS SS 四边形 。 因此,直线EF也是ABC的黄金分割线。 (4)画法不惟一,现提供两种画法; 画法一:如答图1,取EF的中点G,再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直 线MN就是ABCD的黄金分割线 画法二:如答图 2, 在DF上取一点N, 连接EN, 再过点F作FMNE交AB于点M, 连接MN, 则直线MN就是ABCD的黄金分割线。 7解:( 1)点 D是 AB边上的黄金分割点理由如下: AB AC , A36, B ACB 72。 CD是角平分线, ACD BCD 36, A ACD , AD CD 。 CDB 180 B B
15、CD 72, CDB B, F C B D E A N M G (第 6 题答图 1) F C B D E A N M (第 6 题答图 2) 资料 BC CD 。 BC AD 。 在 BCD与 BCA中, B B, BCD A36, BCD BCA , BC BD AB BC , AD BD AB AD , 点 D是 AB边上的黄金分割点。 (2)直线 CD是 ABC的黄金分割线理由如下: 设 ABC中, AB边上的高为h,则 SABC 2 1 AB ?h, S ACD 2 1 AD ?h,SBCD 2 1 BD ?h。 SACD:SABCAD :AB,SBCD:SACDBD :AD。 由(
16、 1)知,点D是 AB边上的黄金分割点, AD BD AB AD , SACD:SABCS BCD:SACD, CD是 ABC的黄金分割线。 (3)直线不是直角梯形ABCD 的黄金分割线理由如下: BC AD, EBG EAH , EGC EHD , EH EG AH BG , EH EG HD GC , HD GC AH BG ,即 HD AH GC BG 同理,由 BGF DHF , CGF AHF得: AH GC HD BG ,即 AH HD GC BG 由、得: AH HD HD AH , AH HD , BG GC 。 梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等,高也相等, S
17、梯形 ABGHS梯形 GCDH 2 1 S梯形 ABCD。 GH不是直角梯形ABCD 的黄金分割线。 8解:作法: (1)延长线段AB至 F,使 AB BF ,分别以 A、F为圆心,以大于等于线段AB的长为半径作弧,两弧相交于 点 G ,连接 BG ,则 BG AB ,在 BG上取点 D,使 BD 2 1 AB , (2)连接 AD ,在 AD上截取 DE DB 。 (3)在 AB上截取 AC AE 。 如图,点C就是线段a 的黄金分割点。 资料 另一种作法: 经过点B作 BD AB,使 BD 1 2 AB; 连接 AD ,在 AD上截取 DE DB 。 在线段AB上截取 AC AE 。 如图,点C就是线段AB的黄金分割点。 单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。 A E BC D
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