4.2调和函数的基本性质.pdf
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1、, 0dS n u 性质 1(12) 4.2 调和函数的基本性质 设函数 它在上连续,且 不为常数 , ),(zyxu 则 内的 调和函数 ,是区域性质3 它的最大值、 最小值只能在边界上达到 ( 极值原理 ) 。 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质 2 (13) 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 若存在一点 则由函 1 M 以 , R K 为心, 事实上, 用反证法 . 假定函数 u 1 M达到最大值,在某点 在区域中, ).()( 1 MuMu 记 任意长R为半径作球 ( 极值原理 ) 使它完全落 R K的球面为, R S则在 R S上
2、满足 ,M使得 邻域, ),()( 1 MuMu 数的连续性,必可找到此点在球面 R S上的一个 因此,即使在此邻域中也有 ).()( 1 MuMu 在球面 R S的其余部分上满足 也有 ),()( 1 MuMu dSMudSMu RR SS )()( 1 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 1 M 以 , R K 为心, 用反证法 . 假定函数 u 1 M达到最大值,在某点 在区域中, ).()( 1 MuMu 记 任意长R为半径作球 ( 极值原理 ) 使它完全落 R K的球面为, R S则在 R S上满足 dSMu R dSMu R RR SS )( 4
3、1 )( 4 1 1 22 ),( 1 Mu ),()( 4 1 1 2 MudSMu R R S 但由 平均值公式 (13) 得 矛盾。 ).()( 1 MuMu 则在球面R S 上满足 事实上, 3 . 4 1 )( 2 0 dSu a Mu a 性质2 (13) 1 M 以 , R K 为心, 用反证法 . 假定函数 u 1 M达到最大值,在某点 在区域中, ).()( 1 MuMu 记 任意长R为半径作球 ( 极值原理 ) 使它完全落 R K的球面为, R S则在 R S上满足 同理,1 M 在以为心,任意)(Rrr为半径的球面 上,也有 ).()( 1 MuMu R K 因此,在 整
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- 4.2 调和函数 基本 性质
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