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1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件: (1) lim0 xa fx及lim0 xa g x;(2) 在点 a 的 去 心 邻 域 内 , f(x) 与g(x) 可 导 且g(x) 0;(3) lim xa fx l gx , 那 么 lim xa fx g x =lim xa fx l gx 。 法则 2 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件:(1)lim0 x fx及lim0 x g x; (2)0A, f(x) 和 g(x) 在, A 与,A上 可导 , 且 g(x) 0;(3) lim x fx l gx , 那 么 lim
2、x fx g x =lim x fx l gx 。 法则 3 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件: (1) lim xa fx及lim xa g x; (2) 在点 a 的 去 心 邻 域 内 , f(x) 与g(x) 可 导 且g(x) 0;(3) lim xa fx l gx , 那 么 lim xa fx g x =lim xa fx l gx 。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 1. 将上面公 式中的 xa,x换成 x+,x- ,x a ,x a 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 0 0 ,0,1, 0 , 0 0 ,型。 3.
3、在着手求极限以前,首先要检查是否满足 0 0 ,0,1, 0 , 0 0 ,型定 式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时 称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 4. 若条件符合,洛必达法则可连续多次使 用,直到求出极限为止。 二高考题处理 1.(2010年全国新课标理 )设函数 2 ( )1 x f xexax 。 (1)若0a, 求( )f x的单调区间; (2) 若当0x时( )0f x,求 a的取值范围 解:(II)当0x时,( )0fx,对任意实数a,均在( )0f x;当0x时,( )0f x等价于 2 1 x x a e x 令 2 1
4、x x g x e x (x0),则 3 22 ( ) xx xx gx ee x ,令 220 xx h xxxx ee ,则1 xx hxxe e ,0 x hxxe, 知 hx在 0,上 为 增 函 数 ,00hxh; 知 h x 在 0,上 为 增 函 数 , 00h xh;0gx, g(x) 在0,上 为 增 函 数 。 由 洛 必 达 法 则 知 , 2 000 1 1 222 limlimlim xxx xxx x x eee x ,故 1 2 a综上,知 a的取值范围为 1 , 2 。 2 ( 2011 年 全国 新课 标理 )已 知 函 数 , 曲 线( )yf x 在点 (
5、1, (1)f处 的切 线方 程为 230xy。 ()求 a、b的值; ()如果当0x,且1x时, ln ( ) 1 xk f x xx ,求k的 取值范围。 解: (II)由题设可得,当0,1xx时,k 1h=0 h x 在 0,上为增函数1h=0当(0,1)x时,0h x,当 x(1,+)时, 0h x当(0,1)x时,0gx,当 x(1,+)时,0gx g x 在 0,1 上为减函数,在1,上为增函数 洛必达法则知 2 111 ln1ln1 2121210 221 limlimlim xxx xxx g x xx 0k ,即 k 的取值范围为( -,0 3.已知函数 f(x)=x(1+a
6、)lnx在 x=1 时,存在极值。(1)求实数 a 的值; (2)若 x1, mlnx fx)-1 x-1 ( 成立, 求正实数 m的取值范围 解: ln1ln1(1)ln11 ln 1(1)ln(1)ln(1)lnln1 xxxxxx mxm xxxxxxxxx =g( x) -11 22 11 ( )(ln+x-1) ,( )- (1) x ln g xxg x x x ) (则= 22 2 (ln )(1) , (1)(ln ) xxx x xx 令 h(x)= 22 (ln )(1)xxx 2 ( )(ln )2ln22,h xxxx令( )(r xh x),则 2ln22 r ( )
7、 xx x x ,令 M (x) =r(x) , M 2-2x (x)= x 0) ,分 子 r(x)= 2 (1) 1 x exx,(x0, ),扩展定义域,求导 2 ( )(3 x r xexx)0,可知, r(x) 为定义域内增函数,而r(x)r(0)=0.所以( )h x0.为增函数。则ah(0)- 不 存在,罗比达法则可得为1 练习 1.2006 年全国 2 理 设函数 f(x)(x1)ln( x1),若对所有的x0 ,都有 f(x) ax 成立,求实数a 的取值范围 2.2006 全国 1 理 已知函数 1 1 ax x fxe x .()设0a,讨论yfx的单调性; ()若对任意
8、0,1x恒有1fx,求a的取值范围 . 3.2007 全国 1 理 4.设函数( )ee xx f x ()证明:( )f x的导数( )2fx ; ()若对所有0x都有( )f xax,求a的取值范围 5.2008 全国 2 理 设函数 sin ( ) 2cos x f x x ()求( )f x的单调区间; ()如果对任何0x,都有( )f xax,求a的取值范围 解: () 22 (2cos )cossin( sin)2cos1 ( ) (2cos )(2cos ) xxxxx fx xx 当 22 2 2 33 kxk(kZ)时, 1 cos 2 x,即( )0fx; 当 24 2 2
9、 33 kxk(kZ)时, 1 cos 2 x,即( )0fx 因 此( )f x在 每 一 个 区 间 22 2 2 33 kk ,(kZ) 是 增 函 数 ,( )f x在 每 一 个 区 间 24 2 2 33 kk ,(kZ)是减函数 解: ()略 () 应用洛必达法则和导数 sin ( ) 2cos x f xax x 若0x,则aR; 若0x,则 sin 2cos x ax x 等价于 sin (2cos ) x a xx ,即 sin ( ) (2cos ) x g x xx 则 22 2 cos2sinsincos ( ) (2cos ) xxxxxx gx xx . 记( )2 cos2sinsincosh xxxxxxx, 2 ( )2cos2 sin2coscos21 2 sincos212sin2 sin2sin (sin) h xxxxxx xxxxxxxxx 而 000 sincos1 lim( )limlim (2cos )2+cossin3 xxx xx g x xxxxx .
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