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1、向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它 主要包括线线垂直, 线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题, 它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角 等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线 线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及 面面角的例题不多, 给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分 内容的题目造成一定的困难, 下面主要就这几方面问题谈一下自己的 想法,起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1. 数量积: cosa ba b 2. 射影公式:向量a在b上的射影为 a
2、 b b 3. 直线0AxByC的法向量为,A B,方向向量为,B A 4. 平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1. 平行关系 线线平行两线的方向向量平行 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行两面的法向量平行 2. 垂直关系 线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直 线面垂直线与面的法向量平行 面面垂直两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1. 点点距离 点 111 ,P x y z与 222 ,Q xyz的 距离为 222 212121 ()()()PQxxyyzz 2. 点线距离 求点 00 ,P xy到直线 :l0AxByC的距离: 方法:在直线上取一点,Q
3、x y, 则向量PQ在法向量,nA B上的射影 PQ n n = 00 22 AxByC AB 即为点P到l的距离. 3. 点面距离 求点 00 ,P x y到平面的距离: 方法:在平面上去一点,Q x y,得向量PQ , 计算平面的法向量n, 计算PQ在上的射影,即为点P到面的距离. 四、用向量法解空间角 1. 线线夹角(共面与异面) 线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2. 线面夹角 求线面夹角的步骤: 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可, 若 为钝角,则取其补角; 再求其余角,即是线面的夹角. 3. 面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的
4、夹角;法 向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角, 只要在两条异面直线 a, b上各任取一个向量AABB和,则角 =或-,因为 是锐角,所以 cos= AABB AABB , 不需要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面的法向量为 n=(x, y, 1) ,则直 线 AB和平面所成的角的正弦值为 sin = cos( 2 - ) = |cos| = AB AB n n 2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为 12 ,n n, 则或-是所求 角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,
5、来决定 n A 是所求,还是 -是所求角。 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公共法向量为( , , )nx y z, 在 a、b 上任取一点 A、B,则异面直线a、b 的距 离 d =ABcosBAA = | | ABn n 略证:如图,EF为 a、b 的公垂线段, a 为过 F与 a 平行的直线, 在 a、b 上任取一点 A、B,过 A作 AA / EF ,交 a 于 A , 则 ? /AAn,所以 BAA =(或其补角) 异面直线 a、b 的距离 d =ABcosBAA =| | | ABn n * 其中,n的坐标可利用 a、b 上的任一向量,a b(或图中的,AE BF) , 及n的定义得 0 0 nana nbnb 解方程组可得n。 2、求点到面的距离 求 A点到平面的距离,设平面的法向量法为( , ,1)nx y,在 内任取一点 B,则 A点到平面的距离为d = | | ABn n ,n的坐标由 n与 平面内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所 述, 若方程组无解,则法向量与 XOY 平面平行,此时可改设(1, ,0)ny, n
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