平面向量的坐标运算(教案).pdf
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1、平面向量的坐标运算(一) (教案) 教学目标: 知识与技能: (1)理解平面向量的坐标概念;(2)掌握平面向量的坐标运算 . 过程与方法: (1)通过对坐标平面内点和向量的类比,培养学生类比推理的 能力; (2)通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、 演绎的能力; (3)通过用代数方法处理几何问题,提高学生用数形结合的思想方法解决 问题的能力 . 情感、态度与价值观 : (1)让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣, 培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神,提高学生的数学素养; (2)使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性,进 而理解数学的本质
2、; (3)让学生体会从特殊到一般,从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点: 教学重点:平面向量的坐标运算; 教学难点:平面向量坐标的意义. 教学方法:“引导发现法”、 “探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段:利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性,提高课堂教学效率 . 教学过程设计: 一、创设问题情境,引入课题. 同学们,我们知道, 向量的概念是从物理中抽象出来的,人们最初对向量的 研究是从几何的的角度来进行的,但是随着问题的不断深入, 我们发现用图形来 研究向量有一些不便之处, 那么,有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢? 我国著名数学家华罗庚先生说过:“ 数无形,少直观;
3、形无数,难入微。” 图 形关系往往与某些数量关系密切联系在一起,数与形是互相依赖的, 所以我们想 到了用数来表示向量 . 思路一:用一个数能否表示向量?(请学生回答) (不能,因为向量既有大小,又有方向) 思路二:用两个数能否表示向量?(引导学生思考) 在平面直角坐标系内,一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系,那 么,向量是否也能找到与之对应的实数呢? 让我们先来探讨这样一个问题: 探究一:如图,为互相垂直的单位向量,请用, ij表示图中的向量, , , .a b c d 请学生动手完成并回答: 根据向量加法的几何意义,我们只要把分解在,ij的方向上,就可得到: 33aij,同理可得2b
4、ij 33cij42dij 我们用, ij来表示的这种形式是否唯一?根据是什么?(提问学生) 由此复习平面向量基本定理:如果 1 e , 2 e 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 12 ,使 1 12 2 =aee ,其 中的 1 e , 2 e 称为平面的一组基底 . 强调:基底不唯一,只要不共线,就可作为基底,而一旦基底选定,任一 向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念,加深认识. 根据平面向量基本定理,我们知道,在选定基底的情况下,所给, , , .a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的,也就是说, 这几个向量用基
5、底、 来表示 的形式是唯一的,每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量,我们怎样来定义向量的坐标?(引导学生思考, 请学生尝试给出定义) 如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作 为基底任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得 axiyj , 1 我们把),(yx叫做向量的(直角)坐标,记作 y x1 4 O 2 3 1 2 3 4 b a cd 1 1 2 3 4 5 3 4 5 i j 2 ( , )ax y, 2 其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标, 2式叫做 向量的坐标表示 在定义中,要注意 axiy
6、j( , )x y 定义实际上给出了求向量坐标的方法:写出向量在正交基底方向的分解形 式,就得到了向量的坐标;反过来,知道了一个向量的坐标,就相当于知道了它 在、方向的分解形式 . 结合定义,指导学生求出向量、 、 ,OP 的坐标 . (多媒体演示) 在坐标系中观察,向量及 OP 的坐标与其终点坐标有何关系?这几个向量在 坐标系中的位置有什么共同点?什么样的向量其坐标就是终点坐标?通过这样 的问题引导让学生得到结论:起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标. 类比点的坐标, 提出:向量平移后具体位置发生了改变,其坐标是否会发生 变化?结合向量坐标的定义, 将平移前后的向量分别分解在基底的方向上,
7、所得 四边形是全等的, 因此,这两个向量的坐标相同 . 也可这样理解, 通过动画演示, 指出:平移前后的向量是相等向量,通过平移, 可以使它们的起点平移到坐标原 点处,则其终点必然重合,此时,它们的坐标都对应着这个终点的坐标,由此得 到:相等向量的坐标相同,坐标相同的向量是相等向量. 三、自主探索,推导法则. 前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量, 因此,引入向量后,这些运算的结果也能用坐标表示, 1122 (,),(,), ( ,), axybxyab ab ax ya 探究二: (1)已知求的坐标 . (2)已知和实数求的坐标 . 请学生以四人小组为单位, 自己
8、讨论推导, 再将推导方法及所得结论在班上 进行交流,最后,教师再来归纳整理,由此得出平面向量的坐标运算法则: (1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差: ),( 2121 yyxxba(其中 ),(),( 2211 yxbyxa) (2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标: 若),(yxa,则 ),(yxa; (2,1),( 3,4),34abab abab练习1 . 已知求的坐标 . 探究三:通过前面的学习, 我们知道, 起点在原点的向量的坐标就是其终点 坐标,那么,对于起点不在原点的向量, 又该如何来确定其坐标?若已知其起点 坐标和终点坐标,如何求出
9、此向量的坐标? 先来看一个具体的例子: 求出图中的向量的坐标, 并观察其坐标与其起点坐 标、终点坐标之间有何关系? (引导学生从特殊到一般,归纳猜想) 学生不难发现:其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标. 再将 A,B 的坐标 推广到一般的),(),( 2211 yxyx,可得相应结论。教师指出:这只是我们从具体的 例子中得到的猜想, 要说明其正确性, 必须进行严密的推证。 指导学生进行证明, 关 键 说 明 : 已 知 A,B两 点 的 坐 标 相 当 于 知 道 了 向 量 , OB 的 坐 标 , 而 ABOBOA ,从而转化为坐标的运算. 由此,得到一个重要的结论: 一个向量的坐标等于
10、表示此向量的有向线段的 终点的坐标减去始点的坐标. 练习 2. (2,3),( 3,5),ABBA(1) 已知求的坐标 . (1, 2),(2,1),ABAB(2)已知求的坐标 . (1, 2),(2,1),ABBA(3)已知求的坐标 . 四、巩固应用,加深理解. 例1、 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C的坐标分别为( -2,1) 、 (-1,3) 、 (3,4) ,求顶点 D的坐标 . 解:设顶点 D的坐标为( ,)x y 例 2、已知平面上三点的坐标分别为 A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边 (1,2)(3, 4) ,
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