曲线的参数方程(教案).pdf
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1、曲线的参数方程 教材上海教育出版社高中二年级(理科)第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程; 2、 通过对圆和直线的参数方程的研究, 了解某些参数的几何意义和物理意义; 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中, 形成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 (一)曲线的参数方程概念的引入 引例: 2002 年 5 月 1 日,中国第一座身高108 米的摩天轮,在上海锦江乐园正式 对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。 已知该摩天轮
2、半径为51.5 米,逆时针匀速旋转一周需时20 分钟。如图所示, 某游客现在点(其中点和转轴的连线与水平面平行)。问:经过秒,该游客的位 置在何处 ? 引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决 (1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣;2、通过引例明确学习参数 方程的现实意义; 3、通过对问题的解决,使学生体会到仅仅运用一种方程来研 究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线的参数方程的必要性;4、通过 具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备。) (二)曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 (1)一般的,设的圆心为原点,半径为, 0 OP所在
3、直线 为轴,如图,以 0 OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动,则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢? (其中与为常数,为变数) 结合图形,由任意角三角函数的定义可知: ), 0 sin cos t try trx 为参数 (2)点的角速度为,运动所用的时间为,则角位移 t,那么方程组可 以改写为何种形式? 结合匀速圆周运动的物理意义可得:), 0 sin cos ry rx 为参数 (在引例的基础上,把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作 准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力) (3)方程、是否是圆心在原点,半径为的圆方程?为什么? 由上述推导过程可知:对
4、于上的每一个点),(yxP都存在变数(或)的值,使 trxcos,trysin(或sinry,cosrx)都成立。 对于变数(或)的每一个允许值,由方程组所确定的点),(yxP都在圆上; (1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;2、学生从曲线 的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明以上由变数 (或)建立起来的方程 是圆的方程;) (4)若要表示一个完整的圆,则与的最小的取值范围是什么呢? ) 2 , 0 si n c o s t try trx ,)2, 0 si n c o s ry rx (5)圆的参数方程及参数的定义 我们把方程(或)叫做的参数方程 ,变数(或)叫做 参数
5、。 (6)圆的参数方程的理解与认识 ()参数方程)2,0 sin3 cos3 y x 与 2 , 0 sin3 cos3 y x 是否表 示同一曲线?为什么? ()根据下列要求, 分别写出圆心在原点、 半径为的圆的部分圆弧的参数 方程: 在轴左侧的半圆(不包括轴上的点) ; 在第四象限的圆弧。 (通过具体问题的解决,加深对圆的参数方程的理解与认识,体会到参数的 取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分;并为曲线的参数方程的定义及其理 解与认识作铺垫。) (7)曲线的参数方程的定义 ()一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标、都是 某个变数的函数)( )( )( Dt tgy tfx
6、 ,并且对于的每一个允许值, 由方程组 所确定的点),(yxP都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方 程。变数叫做 参变量 或参变数 ,简称 参数。 ()相对于参数方程来说,直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程 0),(yxF叫做曲线的 普通方程 。 (8)曲线的参数方程的理解与认识 ()参数方程的形式; (横、纵坐标、都是变量的函数,给出一个能唯一的求出对应的、的值,因而 得出唯一的对应点;但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系。) ()参数的取值范围; (在表述曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围的不同, 所表示的曲线也可能会有所不同。 ) ()参数方程与普通方
7、程的统一性; (普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量与之间的直接 联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系;普通方程和参数 方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化。) ()参数的作用; (参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量,起到了桥梁的 作用。 ) ()参数的意义。 (如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有 明确的物理意义, 可以给问题的解决带来方便。 即使是同一条曲线, 也可以用不 同的变数作为参数。) (三)巩固曲线的参数方程的概念 例题 1: (1)质点开始位于坐标平面内的点)1 ,3( 0
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