最新北师大版九年级上册数学复习知识点及例题.pdf
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1、精品文档 精品文档 数学九年级上册知识点总结 第一章 特殊的平行四边形复习 中考考点综述: 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是历年中考的必考内容之一,主要出现的题型多 样,注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要 包括:矩形、菱形、正方形的性质与判定,以及相关计算,了解平行四边形与矩形、菱形、正方形 之间的联系,掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,通过定理的证明和应 用的教学,使学生逐步学会分别从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法。 重难点: 1. 矩形
2、、菱形性质及判定的应用 2.相关知识的综合应用 知识点归纳 矩形菱形正方形 性 质 边对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等 角四个角都是直角对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条 对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等 , 每条对角线平 分一组对角 判定 有三个角是直角; 是平行四边形且 有一个角是直角 ; 是平行四边形且 两条对角线相等 . 四边相等的四边形; 是平行四边形且有一 组邻边相等; 是平行四边形且两条 对角线互相垂直。 是矩形,且有一组邻边相等; 是菱形,且有一个角是直角。 对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形 一矩形 矩形定义:
3、有一角是直角的平行四边形叫做矩形 【强调】矩形( 1)是平行四边形; ( 2)一一个角是直角 矩形的性质 性质 1矩形的四个角都是直角; 性质 2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。; 矩形的判定 矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形 精品文档 精品文档 注意此方法包括两个条件: (1)是一个平行四边形; (2)对角线相等 矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形 矩形判断方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例 1:若矩形的对角线长为8cm ,两条对角线的一个交角为60 0,则该矩形的面积为 例 2:菱形具有而矩形不具有的性质是() A 对角线互相平分; B. 四
4、条边都相等; C. 对角相等; D. 邻角互补 例 3: 已知:如图,ABCD 各角的平分线分别相交于点E,F,G,?H, ?求证: ?四边形 EFGH是矩形 二菱形 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 【强调】菱形( 1)是平行四边形; ( 2)一组邻边相等 菱形的性质 性质 1菱形的四条边都相等; 性质 2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角; 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件: (1)是一个平行四边形; (2)两条对角线互相垂直 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形 例 1已知:如图,四边形ABCD 是菱形,
5、 F 是 AB 上一点, DF 交 AC 于 E 求证: AFD= CBE 精品文档 精品文档 例 2 已知:如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E、 F 求证:四边形AFCE 是菱形 例3 、如 图 , 在ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,过点O 作 AC 的垂线与边AD 、BC 分别 交于 E、F,求证:四边形AFCE 是菱形 . 例 4、已知如图,菱形ABCD 中, E 是 BC 上一点, AE 、BD 交于 M, 若 AB=AE, EAD=2 BAE 。求证: AM=BE 。 例 5 (10 湖南益阳)如图,在菱形ABCD 中, A=60 ,AB=
6、4,O 为对角线BD 的中点,过O 点 作 OEAB,垂足为E (1)求线段BE的长 例 6、 ( 2011 四川自贡) 如图,四边形ABCD 是菱形, DEAB 交 BA 的延长线于E,DFBC,交 BC 的延长线于F。请你猜想DE 与 DF 的大小有什么关系?并证明你的猜想 A B C D E F O 1 2 B M A D C E D A B C O E 60 精品文档 精品文档 例 7、 ( 2011山东烟台) 如图,菱形 ABCD 的边长为2, BD=2,E、 F 分别是边 AD , CD 上的两个动点, 且满足 AE+CF=2. ( 1)求证: BDE BCF; ( 2)判断 BE
7、F 的形状,并说明理由; ( 3)设 BEF 的面积为S,求 S的取值范围 . 三正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义 的,它包含两层意思: 有一组邻边相等的平行四边形(菱形) 有一个角是直角的平行四边形(矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形 正方形定义:有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形 正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对 称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴; 因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质 总结如下: 边: 对边平行,四边
8、相等; 角: 四个角都是直角; 对角线: 对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 注意: 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是 45 ;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质 正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质 正方形的判定方法: ?(1)有一个角是直角的菱形是正方形; ?(2)有一组邻边相等的矩形是正方形 ?注意: 1、正方形概念的三个要点: ?(1)是平行四边形; 精品文档 精品文档 ?(2)有一个角是直角; ?(3)有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相
9、应的条件,确定 是正方形 . OB例 1 已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E 是 上的一点, DGAE 于 G,DG 交 OA 于 F 求证: OE=OF 例 2 已知:如图,四边形ABCD 是正方形,分别过点A、C 两点作 l1l2,作 BM l1于 M, DN l1于 N,直线 MB、 DN 分别交 l2于 Q、 P点 求证:四边形PQMN 是正方形 例 3、 ( 2011 海南) 如图, P 是边长为1 的正方形ABCD 对角线 AC上一 动点( P 与 A、C 不重合),点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB . (1)求证:PE=PD; PEPD; (2)设 AP=
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