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1、反比例函数 知识整理 1、反比例函数的概念 一般地,函数 x k y(k 是常数, k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 1 kxy的形式。自变量x 的取值范围是x0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零 实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、 四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0,函数 y0,所以,它的图像 与 x 轴、 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 当 k0 时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。 在每个象限内, y
2、随 x 的增大而减小。 当 k10 【举一反三】 1、已知 y 是 x 的反比例函数,当x0 时, y 随 x 的增大而减小请写出一个满足以上条件 的函数表达式 2、已知一次函数y1=kx+b(ky2时,实数x 的取值范围是 ( ) Ax3 DO0) 的图象上的一点,直线1xy分别交x轴、y 轴于点A、B,过点P分别作PMx轴于点M,交AB于点E,作PNy轴于点N, 交AB于点F,则AFBE的值为。 考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 【例 3】已知函数 1 y x 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c), 点 B(b,c1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程a
3、x 2bxc = 0 的两根 x1,x2判断正确的是【】 Ax1 x2 1,x1x2 0 Bx1 x2 0 C0 0 Dx1 x2与 x1x2 的符号都不确定 【举一反三】 1、( 2015湖南常德)已知A( 1,3)是反比例函数图象上的一点,直线AC经过点 A y x A B C O 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C ,求 C的坐标及反比例函数的解析式。 2、如图,若双曲线 x k y与边长为5 的等边 AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且 OC=3BD,则实数k的值为 3、如图,直线6yx交x轴、y轴于A、B两点,P是反比例函数 4 (0)yx x 图象上位 于直线下方
4、的一点,过点P作 x 轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂 线,垂足为点N,交AB于点F。则AF BE( ) A 8 B6 C4 D6 2 第 3 题图第 4 题图第 5 题图 4、如上图中,正比例函数xy3的图象与反比例函数)0(k x k y的图象交于点B,若k 取 1,2,3, 20,对应的 RtAOB的面积分别为 1 S, 2 S,20S,则 1 S 2 S 20 S= ; 5、两个反比例函数 k y x 和 1 y x 在第一象限内的图象如图所示,点P在 k y x 的图象上, PCx轴于点C,交 1 y x 的图象于点A,PDy轴于点D,交 1 y x 的图象于点B
5、,当点 P 在 k y x 的图象上运动时,以下结论: ODB与OCA的面积相等;四边形PAOB的面积不会发生变化; PA与PB始终相等;当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点 其中一定正确的是。 考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题 【例 4】如图, 一次函数y1=k1x+b 的图象和反比例函数y2=的图象交于A (1,2) ,B ( 2, 1)两点,若y1y2,则 x 的取值范围是() Ax1 Bx 2 C 2x0 或 x1 Dx 2 或 0x1 【举一反三】 1、如图,在平面直角坐标系中,A(3,1) ,以点 O为直角顶点作等腰直角三角形AOB ,双 曲线 1 1 k y x
6、在第一象限内的图象经过点B,设直线 AB的解析式为 22 yk xb,当 12 yy 时, x 的取值范围是( ). A 51x B0 1x或5x C61x D 01x或6x 2、已知反比例函数 x k y 2 与一次函数12xy,其中一次函数的图象经过(a,b)、 (a+1,b+k)两点 . (1)求反比例函数的解析式; (2)如图,已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点,求A点的坐标; (3)利用( 2)的结果,在x轴上是否存在点P,使 AOP为等腰三角形?若存在,请 把所有符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由. 3、如图,矩形OABC的顶点 A、C分别在 x、y 轴的正半
7、轴上,点 D 为对角线OB的中点,点 E (4, n) 在边 AB 上, 反比例函数 k y x (k 0)在第一象限内的图象经过点D、E,且 tan BOA= 2 1 ( 1)求反比例函数的解析式和n 的值; (2)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点 F,将矩形折叠,使点O 与点 F 重合,折 痕分别与x、y 轴正半轴交于点H、G,求线段OG的长 考点典例五、反比例函数的图象和k 的几何意义 【例 5】 (2015 凉山州) 以正方形ABCD 两条对角线的交点O为坐标原点, 建立如图所示的平 面直角坐标系,双曲线 3 y x 经过点 D ,则正方形ABCD 的面积是() A10 B11
8、C12 D13 【举一反三】 1、如图,AB是双曲线 x k y上的两点,过A点作ACx轴,交OB于D点,垂足为C若 ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为() A 3 4 B 3 8 C3 D4 2、如图,正方形OABC的面积是 4,点B在反比例函数(00) k ykx x ,的 图象上若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点,过点R分别作x 轴、y轴的垂线,垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重 合部分的面积,记剩余部分的面积为S则当S=m(m为常数,且0m4)时,则 点 R的坐标是。( 用含 m的代数式表示) y x C A B O G 3、如图,若点M
9、是 x 轴正半轴上的任意一点,过点M 作 PQy 轴,分 别交函数 x k1 y(x0)和 x k2 y( x0)的图象于点P 和 Q,连接 OP、 OQ,则下列结论正确的是() A.POQ 不可能等于90 0 B. 2 1 K K QM PM C.这两个函数的图象一定关于x 轴对称D. POQ 的面积是)(|k|k| 2 1 21 4、如图,点A( x1,y1) 、B(x2,y2)都在双曲线 (0) k yx x 上,且 21 4xx, 12 2yy;分别过点A、B 向 x 轴、 y 轴作垂线段,垂 足分别为 C、D、E、F,AC 与 BF 相交于 G 点,四边形FOCG 的面积 为2 ,
10、五 边 形AEODB的 面 积 为14 , 那 么 双 曲 线 的 解 析 式 为 课后练习 一、选择题 1. 已知反比例函数的图象 2 y x 上有两点A(x1,y1)、 B (x2,y2) ,若 y1y2,则 x1 x2的值是() A 正数 B 负数 C非正数 D不能确定 2. (2015. 河北省,第10 题,3 分) 一台印刷机每年可印刷的书本数量y( 万册 ) 与它的使用时 间x( 年) 成反比例关系,当x2 时,y20. 则y与x的函数图象大致是() A.B.C.D. 3. (2015 湖北武汉, 9 题,3 分)在反比例函数 x m y 31 图象上有两点A( 1 x, 1 y)
11、 、B( 2 x, 2 y) , 1 x0 2 x, 1 y 2 y,则 m的取值范围是() Am 3 1 B m 3 1 Cm 3 1 Dm 3 1 4.(2015 黑龙江绥化) 如图,反比例函数y= x k (x 0)的图象经过点P ,则 k 的值为() A. 6 B. 5 C. 6 D. 5 5(2015. 宁夏,第8 题, 3 分 ) 函数 k y x 与 2 ykxk(0k)在同一直角坐标系中的 大致图象可能是() 6.(2015 辽宁葫芦岛) (3 分)如图,一次函数2ykx与反比例函数 4 y x (0x) 的图象交于点A,与y轴交于点M,与x轴交于点N,且AM:MN=1:2,则k= 7.(2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、 大兴安岭) 如图, 点A是反比例函数图象上一点, 过点A作ABy轴于点B,点C、D在x轴上,且BCAD,四边形ABCD的面积为3,则这个 反比例函数的解析式为 8.(2015. 山东临沂第14 题,3 分)在平面直角坐标系中,直线 y =x2 与反比例函数 1 y x 的图象有唯一公共点. 若直线 yxb与反比例函数 1 y x 的图象有2 个公共点,则b 的 取值范围是()
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