高考数学试题分类汇编—函数.doc
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1、欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 2012 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编函数函数 若实数x、y、m满足xmym,则称x比y接近m. (1)若 2 1x 比 3 接近 0,求x的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数a、b,证明: 22 a bab比 33 ab接近2ab ab; (3)已知函数( )f x的定义域,D x xkkZ xR.任取xD,( )f x等于1 sin x和 1 sin x中接近 0 的那个值.写出函数( )f x的解析式,并指出它的奇偶性
2、、最小正周期、最小值 和单调性(结论不要求证明). 解析:(1) x(2,2); (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 22 2a babab ab, 33 2abab ab, 因为 22332 |2|2|()()0a babab ababab abab ab , 所以 2233 |2| |2|a babab ababab ab,即 a2bab2比 a3b3接近2ab ab; (3) 1sin ,(2,2) ( )1 |sin|, 1sin ,(2,2) xxkk f xx xk xxkk ,kZ, f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T,函数 f(x)的最小值为 0, 函
3、数 f(x)在区间,) 2 kk 单调递增,在区间(, 2 kk 单调递减,kZ (2010 湖南文数)湖南文数)21 (本小题满分 13 分) 已知函数( )(1)ln15 , a f xxaxa x 其中 a0), 由已知得 x=alnx, 1 2 x = a x , 解德 a= 2 e ,x=e2, 两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为 k=f(e2)= 1 2e , 切线的方程为 y-e= 1 2e (x- e2). (2)由条件知 当 a.0 时,令h (x)=0,解得 x= 2 4a, 所以当 0 2 4a时,h (x)0,h(x)在(0, 2 4a)上递增。 所以x 2
4、 4a是h(x)在(0, + )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点。 所以 (a)=h( 2 4a)= 2a-aln 2 4a=2 当 a 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在(0,+)递增,无最小值。 故 h(x) 的最小值 (a)的解析式为 2a(1-ln2a) (ao) (3)由(2)知 (a)=2a(1-ln2a) 则 1(a )=-2ln2a,令 1(a )=0 解得 a =1/2 当 00,所以 (a ) 在(0,1/2) 上递增 当 a1/2 时, 1(a )0,为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 max 1 (1) 2 ffa。 (
5、2010 安徽文数)安徽文数)20.(本小题满分 12 分) 设函数 sincos1f xxxx,0 2 x ,求函数 f x的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数 学知识解决问题的能力. 【解题指导】 (1)对函数 sincos1f xxxx求导,对导函数用辅助角公式变形,利用 导数等于 0 得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极 值. 欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 , ,
6、 , ( )12(). 4 23 ( )0() 422 ( ) xx xxxx xx 解:由f (x)=si nx-cosx+x+1, 00. ()若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; ()若在区间 1 1 , 2 2 上,f(x)0 恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础 知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. 欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 ()解:
7、当 a=1 时,f(x)= 32 3 xx1 2 ,f(2)=3;f(x)= 2 33xx, f(2)=6.所 以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. ()解:f(x)= 2 333 (1)axxx ax.令 f(x)=0,解得 x=0 或 x= 1 a . 以下分两种情况讨论: (1)若 11 0a2 a2 ,则,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: X 1 0 2 , 0 1 2 0, f(x)+0- f(x)A 极大值A 当 1 1 xfx 2 2 ,时,()0等价于 5a1 0,()0, 82 15a ( )
8、0,0. 28 f f 即 解不等式组得-52,则 11 0 a2 .当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: X 1 0 2 , 0 1 a 0, 1 a 1 1 a 2 , f(x)+0-0+ f(x)A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 ,时,f(x)0 等价于 1 f(-) 2 1 f()0, a 0, 即 2 5 8 1 1-0. 2 a a 0, 解不等式组得 2 5 2 a或 2 2 a .因此 21 时,2x-20,从而 2x-2 e10,0,F x e 又所以(x)0,从而函数 F(x)在1,+) 是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0 ,所以x1时
9、,有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). )证明:(1) 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx 12 由()及f (xf (x则与矛盾。 (2)若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx 12 由()及f (xf (x得与矛盾。 欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 根据(1) (2)得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 由()可知,) 2 f (x) 2 g(x,则) 2 g(x=) 2 f (2-x,所以) 2 f (x) 2
10、f (2-x,从而) 1 f (x ) 2 f (2-x.因为 2 1x ,所以 2 21x,又由()可知函数 f(x)在区间(-,1)内事增函数, 所以 1 x 2 2x,即 12 xx2. (20102010 福建文数)福建文数)22 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= 32 1 3 xxaxb的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2 ()求实数 a,b 的值; ()设 g(x)=f(x)+ 1 m x 是2,上的增函数。 (i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图 形,
11、则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。 欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 (20102010 福建文数)福建文数)21(本小题满分 12 分) 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口 O北偏西 30且与该港口相距 20 海里的A处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀 速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。 ()若希望相遇时小艇的航行距离最小,
12、则小艇航行速度的大小应为多少? ()为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; ()是否存在,使得小艇以海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船 欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 相遇?若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由。 欢迎光临欢迎光临中中学学数数学学信息网信息网 中中学学数数学学信息网信息网系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有中中学学数数学学信息网信息网 (20102010 全国卷全国卷 1
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