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1、高考精品试题 高三数学专题线性规划 1简单的线性规划问题应注意取点是否取得到 例 1:已知实数,满足,则的最小值是() A4 B5 C6 D7 2目标函数为二次式 例 2:若变量,满足,则的最大值为() ABCD 3目标函数为分式 例 3:设变量,满足约束条件,则的取值范围是() ABCD 4面积问题 例 4:若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分,则 的值为() ABCD 一、单选题 24 24 0 xy xy y 32zxy 1 20 x xy xy 22 zxy 10 220 220 10 xy xy xy 1 1 y s x 3 1, 2 1 ,1 2 1,2 1 ,2
2、2 0 34 34 x xy xy 4ykx 7 3 3 7 17 3 3 17 高考精品试题 1若实数,满足,则的最大值为() A B1 C0 D 2已知实数,满足线性约束条件,则其表示的平面区域的面积为() ABCD 3已知实数,满足,若只在点处取得最大值,则的取值范围 是() A B C D 4已知实数,满足约束条件,则的取值范围为() AB C D 5若实数,满足约束条件,则的最大值是() A B C D 0 0 10 x y xy zxy 30 230 04 xy xy x 9 4 27 4 27 2 1 220 22 xy xy xy zxay 4 3, 1,2,1 , 1 2 ,
3、 2 220 20 x xy xy 5x z y 2 4 3 3 , 4 2 3 3 , 33 24 U, 33 42 U, 2 239 0 xy xy x 22 zxy 10 高考精品试题 6已知点,若动点的坐标满足,则的最小值为() ABCD 7 ,满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为 () A或B2 或C2 或 1 D2 或 8若,满足不等式组,则成立的概率为() A B C D 9若,满足不等式组,则的最小值为() A7 B6 CD4 10已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定若为上动点, 点的坐标为则的最大值为() ABC4 D3 11 若不等式组所表示的平面区域
4、内存在点,使成立, 12A ,P x y, 0 2 x yx xy AP 2 2 20 220 220 xy xy xy zyax 1 2 1 2 40 240 4 xy xy x 2 15 y x 15 56 11 16 5 8 3 8 20 5100 80 xy xy xy 32zxy 26 5 xOy 02 2 2 x y xy ()M x y, 2,1 zOMOA uuuv uuv 423 2 20 5100 80 xy xy xy 00 xy, 00 20xay 高考精品试题 则实数的取值范围是() ABCD 12已知圆,平面区域,若圆心,且圆与轴 相切, 则圆心与点连线斜率的取值范
5、围是() AB CD 二、填空题 13设,满足,则的最大值为 _ 14若变量,满足约束条件,则的最小值为 _ 15已知实数,满足,则的最小值为 _ 16某公司计划明年用不超过6 千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队 经过对本地 养鱼场年利润率的调研,其结果是: 年利润亏损的概率为, 年利润获利的概率为, 年利润获利的概率为,对远洋捕捞队的调研结果是:年利润获利为的概率为,持 平的概率为,年利润亏损的可能性为为确保本地的鲜鱼供应,市政府要求该公司对 远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2 倍根据调研数据, 该公司如何分配投资 1, 1,11, 22 :1Cxayb 60 :40 0 x
6、y xy y C ,C a b2,8 77 , 35 U 77 , 35 U 7 7 , 3 5 7 7 , 3 5 10 30 2 xy xy x 21zxy 2 10 220 x xy xy 22 zxy 1 1 0 xy xy x 22xy x 10%30% 50%60% 20% 高考精品试题 金额,明年两个项目的利润之和最大值为_千万 答案 1简单的线性规划问题应注意取点是否取得到 例 1:已知实数,满足 24 24 0 xy xy y ,则 32zxy的最小值是( ) A4 B5 C6 D7 【答案】 C 【解析】不等式组对应的可行域如图所示: 由当动直线 3 22 z yx 过 2
7、,0 时,取最小值为 6,故选C 2目标函数为二次式 例 2:若变量,满足 1 20 x xy xy ,则 22 zxy的最大值为() A 10 BCD 【答案】 D 【解析】目标函数 22 zxy可视为点到原点距离的平方, 高考精品试题 所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可,作出可行域, 观察可得最远的点为 1, 3B ,所以 2 max 10zOB 3目标函数为分式 例 3:设变量,满足约束条件 220 220 10 xy xy xy ,则 1 1 y s x 的取值范围是() A 3 1, 2 B 1 ,1 2 C 1,2 D 1 ,2 2 【答案】 D 【解析】所求 1 1 y s
8、 x 可视为点, x y 与定点1, 1 连线的斜率 从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可, 可得在 1,0 处的斜率最小,即min 011 112 k , 在 0,1 处的斜率最大,为max 11 2 01 k, 高考精品试题 结合图像可得 1 1 y s x 的范围为 1 ,2 2 故选 D 4面积问题 例 4:若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4ykx 分成面积相等的两部分,则 的值为() A 7 3 B 3 7 C 17 3 D 3 17 【答案】 C 【解析】在坐标系中作出可行域, 如图所示为一个三角形,动直线 4ykx 为绕定点0,4的一条动直线,
9、 高考精品试题 设直线交于,若将三角形分为面积相等的两部分,则 ABMBCM SS , 观察可得两个三角形高相等,所以AMMC ,即为中点, 联立直线方程可求得 4 0, 3 A , 1,1C ,则 1 7 , 2 6 M ,代入直线方程可解得 17 3 k 一、单选题 1若实数,满足 0 0 10 x y xy ,则 zxy的最大值为( ) AB1 C0 D 【答案】 B 【解析】由图可知,可行域为封闭的三角区域, 由 zxy 在轴上的截距越小,目标函数值越大, 所以最优解为 1,0 ,所以的最大值为1,故选 B 2已知实数,满足线性约束条件 30 230 04 xy xy x ,则其表示的
10、平面区域的面积为() A 9 4 B 27 4 CD 27 2 高考精品试题 【答案】 B 【解析】满足约束条件 30 230 04 xy xy x ,如图所示: 可知 14x 范围扩大,实际只有03x, 其平面区域表示阴影部分一个三角形,其面积为 1327 33 224 S 故选 B 3已知实数,满足 1 220 22 xy xy xy ,若 zxay只在点 43 ,处取得最大值,则的取值范围 是() A1,B2,C1 ,D 1 2 , 【答案】 C 【解析】由不等式组 1 220 22 xy xy xy 作可行域如图, 高考精品试题 联立 22 1 xy xy ,解得 4 3C, ,当0a
11、时,目标函数化为 zx, 由图可知,可行解 4 3, 使 zxay取得最大值,符合题意; 当0a时,由 zxay,得 1z yx aa ,此直线斜率大于0, 当在轴上截距最大时最大, 可行解 43 , 为使目标函数 zxay的最优解, 1a符合题意; 当0a时,由 zxay,得 1z yx aa ,此直线斜率为负值, 要使可行解 43, 为使目标函数 zxay取得最大值的唯一的最优解, 则 1 0 a ,即0a 综上,实数的取值范围是 1 , 故选 C 4已知实数,满足约束条件 2 220 20 x xy xy ,则 5x z y 的取值范围为() A 2 4 3 3 , B 4 2 3 3
12、, 高考精品试题 C 33 24 U, D 33 42 U, 【答案】 C 【解析】画出不等式表示的可行域,如图阴影三角形所示, 由题意得 2 2A, , 24B, 由 5x z y 得 10 5 y zx , 所以 1 z 可看作点 x y, 和 5 0P, 连线的斜率,记为, 由图形可得PAPBkkk, 又 202 253 PA k, 404 253 PB k,所以 24 33 k, 因此 3 2 z或 3 4 z,所以 5x z y 的取值范围为 33 24 U, 故选 C 5若实数,满足约束条件 2 239 0 xy xy x ,则 22 zxy的最大值是() A 10 B C D 【
13、答案】 D 高考精品试题 【解析】由实数,满足约束条件 2 239 0 xy xy x 作出可行域,如图: 03A, , 0 2C, , OAOC , 联立 2 239 xy xy ,解得31B,, 22 xy 的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方,其最大值 22 2 3110OB 故选 D 6已知点 12A , ,若动点 P x y, 的坐标满足 0 2 x yx xy ,则 AP 的最小值为() ABC 2 2 D 【答案】 C 【解析】作出可行域如图: 高考精品试题 观察图象可知,AP 最小距离为点到直线 20xy 的距离, 即 max 122 2 2 11 AP,故选 C 7 ,满
14、足约束条件 20 220 220 xy xy xy ,若 zyax 取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为 () A 1 2 或B2 或 1 2 C2 或 1 D2 或 【答案】 D 【解析】由题意作出约束条件 20 220 220 xy xy xy ,平面区域, 将 zyax化为yaxz ,相当于直线 yaxz 的纵截距, 高考精品试题 由题意可得, yaxz与22yx 或与 2yx平行, 故2a或;故选 D 8若,满足不等式组 40 240 4 xy xy x ,则 2 15 y x 成立的概率为() A 15 56 B 11 16 C 5 8 D 3 8 【答案】 A 【解析】作出不等式
15、组 40 240 4 xy xy x 表示的平面区域,如图所示: 因为 0 11 yy xx 表示点,P x y 与定点1,0 连线的斜率, 所以 2 15 y x 成立的点,P x y 只能在图中 ADE 的内部(含边界) , 所以由几何概型得: 2 15 y x 成立的概率为 ADE ABC S S , 由 10 4 xy x ,得4 0A,,由 210 4 xy x ,得4 4B,, 由 40 240 xy xy ,得 4 8 3 3 C,,由 2 1 5 10 yx xy ,解得 18 10 77 D,, 高考精品试题 由 2 1 5 4 yx x ,解得4 2E,,所以 1416 4
16、4 233 ABC S , 11810 42 277 ADE S , 所以 2 15 y x 成立的概率为 10 15 7 16 56 3 ADE ABC S S ,故选 A 9若,满足不等式组 20 5100 80 xy xy xy ,则 32zxy的最小值为( ) A7 B6 C 26 5 D4 【答案】 C 【解析】画出可行城如图所示, 目标函数可化为 1 3 22 z yx,共图象是对称轴为3x的两条射线, 由 3 5100 x xy 得 2 z 取得最小值时的最优解为 3 13 5 x y 即 min 1326 332 55 z故选 C 10已知平面直角坐标系 xOy上的区域由不等式
17、组 02 2 2 x y xy 给定若 ()M x y, 为上动点, 高考精品试题 点的坐标为 2,1 则 zOMOA uuuv uuv 的最大值为() A 42 B 3 2 C4 D3 【答案】 C 【解析】如图所示:2zOM OAxy uuuv uuv ,即2yxz, 首先做出直线: 2yx,将平行移动, 当经过点时在轴上的截距最大,从而最大 因为 2, 2B ,故的最大值为4故选 C 11 若不等式组 20 5100 80 xy xy xy 所表示的平面区域内存在点00xy,, 使 00 20xay成立, 则实数的取值范围是() A 1, B , 1 C ,1 D 1, 【答案】 B 【
18、解析】作出不等式 20 5100 80 xy xy xy ,可行域如图: 高考精品试题 平面区域内存在点 00 ,Mxy ,满足 00 20xay , 直线 20xay 与可行域有交点,解方程组 20 5100 xy xy 得 02B, 点在直线20xay下方可得 0220a解得1a故选 B 12已知圆 22 :1Cxayb,平面区域 60 :40 0 xy xy y ,若圆心C,且圆与轴 相切, 则圆心,C a b 与点2,8 连线斜率的取值范围是() A 77 , 35 U B 77 , 35 U C 7 7 , 3 5 D 7 7 , 3 5 【答案】 A 【解析】画出可行域如图, 高考
19、精品试题 由圆的标准方程可得圆心 ,C a b ,半径为 1, 因为圆与轴相切,所以1b, 直线 1y 分别与直线 60xy 与 40xy 交于点 51B, , 3,1A , 所以35a,圆心,C a b 与点2,8 连线斜率为 87 22 b k aa , 当32a时, 7 , 5 k ;当 25a 时 7 , 3 k ; 所以圆心 ,C a b 与点 2,8 连线斜率的取值范围是 77 , 35 U ,故选 A 二、填空题 13设,满足 10 30 2 xy xy x ,则 21zxy 的最大值为 _ 【答案】 13 【解析】如图,作出可行域(图中阴影部分), 目标函数 21zxy 在点2
20、,5A取得最大值13故答案为13 14若变量,满足约束条件 2 10 220 x xy xy ,则 22 zxy 的最小值为 _ 【答案】 1 高考精品试题 【解析】作可行域, 0,1A , 22 zxy 表示可行域内点到坐标原点距离的平方, 由图可得 22 zxy 最小值为 2 1OA 15已知实数,满足 1 1 0 xy xy x ,则 22xy x 的最小值为 _ 【答案】 4 【解析】由实数,满足 1 1 0 xy xy x ,作出可行域如图, 联立 1 1 xy xy ,解得 10A, , 222 2 xyy xx , 其几何意义为可行域内的动点与定点02P,连线的斜率加2 02 2
21、 1 PAk, 22xy x 的最小值为4故答案为4 16某公司计划明年用不超过6 千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队经过对本地 养鱼场年利润率的调研,其结果是: 年利润亏损 10%的概率为, 年利润获利30% 的概率为, 高考精品试题 年利润获利50% 的概率为,对远洋捕捞队的调研结果是:年利润获利为60% 的概率为,持 平的概率为,年利润亏损20% 的可能性为为确保本地的鲜鱼供应,市政府要求该公司对 远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2 倍根据调研数据, 该公司如何分配投资 金额,明年两个项目的利润之和最大值为_千万 【答案】 【解析】设本地养鱼场平均年利润,远洋捕捞队平均平均年利润; 1010 2030 40 5040 3E,20 60 700 20 2010 4E; 设本地养鱼场投千万元,远洋捕捞队投千万元, 则利润之和 0 30 4zxy , 6 2 00 xy yx xy, , 如图,当目标函数经过点2 4B,时利润最大,0 320 442 2z 千万元
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