七年级数学9.3分式方程讲解与例题.pdf
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1、第 1 页共 6 页 9.3 分式方程 1 了解分式方程的意义,掌握解分式方程的一般步骤了解解分式方程验根的必要性 2能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程,并验根 3掌握列分式方程解应用题的基本步骤 4能熟练地应用分式方程的数学模型来解决现实情境中的问题 1分式方程的概念 (1) 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 (2) 分式方程有两个重要特征:一是方程;二是分母中含有未知数因此整式方程和分 式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数例如x 1 x2, 5 y 7 y2, 1 x 2 x 2 2x等 都是分式方程,而x 22x10,2x3 3 x1 2 ,x a b x b a 2(x是未
2、知数 ) 等都是整式方 程,而不是分式方程 【例 1】下列方程中,分式方程有( ) (1)x 1 3;(2) 1 x 2; (3) 2x 5 4 x 3 1 2;(4) 2 x2 1 x1. A1个 B2 个 C3 个 D4 个 解析: 对于方程 (1) ,因为 是常数, 所以该方程不是分式方程,是整式方程; 方程 (3) 中的分母不含字母,所以不是分式方程方程 (2)(4)符合分式方程的概念,都是分式方程 答案: B 2分式方程的解法 (1) 把分式方程转化为整式方程,然后通过解整式方程,进一步求得分式方程的解,这 是解分式方程的关键本章中, 解分式方程都是把分式方程转化为一元一次方程,通过
3、解一 元一次方程求解分式方程分式方程的解题思路如下图: (2) 解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是: 去分母,即在方程的两边乘以最简公分母,把原方程化为整式方程 解这个整式方程 验根: 把求得的根代入最简公分母,看它的值是否为零,使它不为零的根才是原方程 的根,使它为零的根即为增根,应舍去 (1) 增根能使最简公分母等于0;(2) 增根是去分母后所得的整式方程的根 以上步骤可简记为“一去( 去分母 ) 、二解 ( 解整式方程 ) 、三检验 ( 检查求出的根是否是 第 2 页共 6 页 增根) ” 【例 2】解分式方程:(1) x x2 6 x 21; (2) 7 x 2 x 3 xx
4、2 6 x 21. 分析: (1) 中方程的最简公分母是(x2)(x2) ;(2) 中方程的最简公分母是x(x1)(x 1) 当方程有根时,检验的过程可以简写为经检验 解: (1) 原方程两边同时乘以(x2)(x2) ,得x(x2) 6(x2) (x2)(x2) , 即x 22x6x12 x 24, 解这个整式方程,得x1. 经检验x1 是原方程的解 故原方程的解是x 1. (2) 原方程可化为 7 xx 3 xx 6 xx , 去分母,方 程两边都乘以x(x1)(x1) 后,原方程化为整式方程7(x1) 3(x 1) 6x, 解这个整式方程,得x1. 经检验,x1 时,最简公分母x(x1)(
5、x1) 0. 故x1 是原方程的增根,原分式方程无解 在去分母时,根据等式的基本性质,方程左右两端的每一项都要同乘以最简 公分母,要避免某一项漏乘,从而导致错误如本题(1) 小题中右端的1 去分母时,往往被 忽略,忘记乘以(x2)(x2) ,从而导致错误 3增根 (1) 增根的概念 将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去分母, 有时可能产生不适合原分式方程的解( 或根 ) ,这种根通常称为增根如:若方程 m x23 1x 2x有增根,则这个增根一定是 x2. (2) 增根产生的原因 把分式方程转化为整式方程过程中,方程的两边都乘以的整式可能使分母为零,这样无 形中
6、去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件,从而扩大了未知数的取值范围,于是就产 生了如下两种情况:(1) 如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内,那么整式方 程的根就是分式方程的根;(2) 如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内, 那么这种根就不是分式方程的根,是分式方程的增根 因此,解分式方程时,验根是必不可少的步骤 【例 31】解方程 3 y1 6 y 2 1. 分析:先去分母,再解整式方程,最后检验 解: 去分母,得3(y1) 6, 解这个整式方程,得y 1. 检验:当y 1 时,分母y10, 原分式方程无意义,因此y 1 是原方程的增根 故原分式方程无解 【例 32】
7、若解分式方程 2 x2 mx x 24 3 x2有增根,试求 m的值 分析:解分式方程会产生增根,即最简公分母等于0,则x 2 40,故解方程产生的增 根有两种可能:x2 或x 2,由增根的定义可知,x2 或x 2 是原方程去分母后化 成的整式方程的根,把其代入整式方程即可求出m的值 解: 原 方程两边都乘以(x2)(x2) , 第 3 页共 6 页 得 2(x2) mx3(x2), 这个方程有增根, x 240,解得 x 2 或x 2. 由于当x2 时,m 4;当x 2 时,m6. 故m 4 或 6. 解决此类问题可按如下步骤进行: (1) 根据最简公分母确定增根; (2) 化分式方程为整式
8、方程; (3) 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 4分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题,它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基 本思路和方法一样,不同的是, 因为有了分式的概念,表示数与数的相依关系的代数式不受 整式的限制 一般地,列分式方程解应用题步骤如下: (1) 审题,了解已知数与所求的各是什么 (2) 设未知数 (3) 找出相等关系,列出分式方程 (4) 解这个分式方程 (5) 检验,看方程的解是否满足方程,符合题意,写出答案 列分式方程解应用题的关键是用分式表示一些基本的数量关系,列分式方程 解应用题一定要验根,还要保证其结果符合实际意义 【例 41】2011
9、 年春季我国西南五省持续干旱,旱情牵动着全国人民的心“一方有 难、八方支援”,某厂计划生产1 800 吨纯净水支援灾区人民,为尽快把纯净水发往灾区, 工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5 倍,结果比原计划提前3 天完成了生产任务求 原计划每天生产多少吨纯净水? 解: 设原计划每天生产x吨纯净水,则依据题意,得 1 800 x 1 800 1.5x 3,整理得 4.5x 900, 解得x200. 把x代入原方程,成立, 因此x200 是原方程的解 故原计划每天生产200 吨纯净水 【例42】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏,商定:用球拍托着乒乓球从起跑线起 跑,绕过P点跑回到起跑线( 如图所示
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