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1、第 1 页 共 6 页 题型专项 ( 八) 方程、不等式、函数的实际应用题 本专题主要是对方程( 组)应用和利用不等式以及函数进行方案设计的巩固和深化解决 这类题型时,我们需要认真审题,根据实际问题找出题目的已知条件并设出相应的未知数, 充分利用“倍数” “是” “比”“多” “少” “共”等关键词找出等量关系,列出方程或函数关 系式,利用“不超过” “不低于”“不少于”等关键词找出不等关系,利用函数的性质进行方 案决策,把实际问题转化为数学问题进行解答 类型 1 方程的实际应用题 1昆曲高速公路全长128 千米,甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速 开 出,经过 40 分钟相遇
2、,甲车比乙车每小时多行驶20 千米求甲、乙两车的速度 解:设乙车速度为x 千米 / 时,甲车速度为(x 20) 千米 / 时根据题意,得 2 3(x x20) 128. 解得 x 86. 则 x208620 106. 答:甲车速度为106 千米 / 时,乙车速度为86 千米 / 时 2某厂为了丰富大家的业余生活,组织了一次工会活动,准备一次性购买若干钢笔和笔记 本( 每支钢笔的价格相同,每本笔记本的价格相同) 作为奖品若购买2 支钢笔和3 本笔记 本共需 62 元,购买 5 支钢笔和1 本笔记本共需90 元问购买一支钢笔和一本笔记本各需多 少元? 解:设购买一支钢笔需x 元,一本笔记本需y 元
3、根据题意,得 2x3y62, 5xy90. 解得 x16, y10. 答:购买一支钢笔需16 元,一本笔记本需10 元 类型 2 函数的实际应用题 3宁德一中代表队荣获“中国谜语大会”金奖后,某校也准备举行“谜语”竞赛,规定每 位参赛 者需完成20 道题,每答对一题得10 分,答错或不答都扣5 分 (1) 设某位参赛者答对x 题,得分为y 分,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 已知学校规定竞赛成绩超过90 分为一等奖 若小辉参加本次比赛,他想获得一等奖, 则他至少要答对多少道题? 解: (1)y 10x5(20 x) 15x100(0 x20) (2) 由题意,得15x10090.
4、解得 x 38 3 . x 取最小整数x13. 答:他至少要答对13 道题 4) 环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化 物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15 天以内 ( 含 15 天) 排污达标整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L) 与时间 x( 天) 的变化规律如图所 示,其中线段AB表示前 3 天的变化规律,从第3 天起,所排污水中硫化物的浓度y 与时间 x 成反比例关系 (1) 求整改过程中硫化物的浓度y 与时间 x 的函数解析式; (2) 该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15 天以内不超过最高允许
5、的1.0 mg/L ? 第 2 页 共 6 页 为什么? 解: (1) 当 0x3 时,设线段AB对应的函数表达式为ykxb. 把 A(0,10) 、B(3, 4) 代入得 b10, 3kb4. 解得 k 2, b10. y 2x10. 当 x3 时,设 y m x , 把 B(3,4) 代入得 m 34, m 12. y 12 x . 综上所述: y 2x10(0x3), 12 x (x3). (2) 能令 y12 x 1,则 x1215. 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15 天内达标 5拟 ) 九(1) 班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1 x90) 天的售价与 销量的相
6、关信息如下表: 时间 x( 天) 1x50 50x90 售价 ( 元/ 件 ) x40 90 每天销量 ( 件) 2002x 已知该商品的进价为每件30 元,设销售该商品的每天利润为y 元 (1) 求出 y 与 x 的函数关系式; (2) 问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? 解: (1) 当 1x50 时, y(2002x)(x 4030) 2x 2180x2 000. 当 50x90 时, y (2002x)(90 30) 120x12 000. 综上所述: y 2x 2180x2 000 (1x50), 120x12 000 (50x90). (2) 当 1x50 时
7、,二次函数图象开口向下,对称轴为直线x45, 当 x45 时, y最大 2 45 2180452 000 6 050. 当 50x90 时, y 随 x 的增大而减小, 当 x50 时, y最大6 000. 综上所述,销售该商品第45 天时,当天销售利润最大,最大利润是6 050 元 类型 3 方案设计题 6拟) 某小区为了绿化环境,计划分两次购进A、B两种花草,第一次分别购进A、B两种花 第 3 页 共 6 页 草 30 棵和 15 棵,共花费675 元;第二次分别购进A 、B两种花草12 棵和 5 棵,共花费265 元( 两次购进的A、B两种花草价格均分别相同) (1)A 、B两种花草每棵
8、的价格分别是多少元? (2) 若购买 A、B两种花草共31 棵,且 B种花草的数量少于A种花草的数量的2 倍,请 你设计出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用 解: (1) 设 A种花草每棵的价格x 元, B种花草每棵的价格y 元由题意,得 30x15y675, 12x5y265, 解得 x20, y5. 答: A种花草每棵的价格是20 元, B种花草每棵的价格是5 元 (2) 设 A 种花草的数量为m棵,则B 种花草的数量为(31 m)棵,购买树苗总费用为W 元, B种花草的数量少于A种花草的数量的2 倍, 31m 2m.解得 m 31 3 . m是正整数, m最小值11. W 20m
9、5(31 m)15m 155. k0, W随 x 的减小而减小 当 m 11 时, W最小值1511155320(元) 答:购进 A、B两种花草的数量为11 棵、 20 棵,费用最省,最省费用是320 元 7拟 ) 为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买A,B两种型号的污水处理设备共 10 台已知用90 万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75 万元购买B型号的污水处 理设备的台数相同,每台设备价格及月处理污水量如下表所示: 污水处理设备A型B型 价格 ( 万元 / 台) m m 3 月处理污水量( 吨/ 台) 220 180 (1) 求 m的值; (2) 由于受资金限制,指挥部用于购
10、买污水处理设备的资金不超过165 万元,问有多少 种购买方案?并求出每月最多处理污水量的吨数 解: (1) 根据题意,得 90 m 75 m 3. 解得 m 18. 经检验, m 18 是所列方程的解 (2) 设购买 A型号的污水处理设备x 台,则购买 B型号的污水处理设备为(10 x) 台依 题意可得 18x15(10 x) 165. 解得 x5. x 为非负整数,x 取 0, 1,2,3,4, 5. 共有 6 种购买方案 设某种方案每月能处理的污水量为w吨,则 w220x180(10 x) 40x 1 800. 由一次函数的性质可知,w随 x 的增大而增大, 当 x5, W最多4051 8
11、00 2 000. 即购买 A型号、B型号的污水处理设备分别为5 台、 5 台时,月处理的污水量最多为2 000 吨. 第 4 页 共 6 页 1某车间计划加工360 个零件,由于技术上的改进,提高了工作效率,每天比原计划多加 工 20% ,结果提前10 天完成任务,原计划每天能加工多少个零件? 解:设原计划每天能加工x 个零件,根据题意,得 360 x 360 1.2x 10. 解得 x6. 经检验, x6 是原方程的解,且符合题意 答:原计划每天能加工6 个零件 2某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示: 技术 上场时间 ( 分钟 ) 出手投篮 ( 次) 投中 ( 次) 罚球 得分
12、篮板 ( 个) 助功 ( 次) 个人 总得分 数据46 66 22 10 11 8 60 注:表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球 根据以上信息,求本场比赛中该运动员投中2 分球和 3 分球各几个 解:设本场比赛中该运动员投中2 分球 x 个, 3 分球 y 个根据题意,得 102x3y60, xy 22. 解得 x16, y6. 答:本场比赛中该运动员投中2 分球 16 个, 3 分球 6 个 3昆明市某学校为创建书香校园,去年购进一批图书,经了解,科普书的单价比文学书的 单价多 4 元,用 12 000 元购进的科普书与用8 000 元购进的文学书本数相同,今年文学书 和科普书的单价和去
13、年相比保持不变,该校打算用10 000元再购进一批文学书和科普书问: (1) 科普书和文学书的单价各是多少元? (2) 若购进文学书550 本后至多还能购进多少本科普书? 解: (1) 设文学书的单价为x 元,则科普书的单价为(x 4) 元根据题意,得 12 000 x4 8 000 x . 解得 x8. 经检验, x8 是所列方程的解 x412. 答:科普书和文学书的单价各是12 元, 8 元 (2)(10 000 5508) 124662 3466( 本) 答:至多还能购进466 本科普书 4拟 ) 汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设,某汽车销售公司2012 年盈利 1 500 万 元
14、,到 2014 年盈利 2 160 万元,且从2012 年到 2014 年,每年盈利的年增长率相同 (1) 求该公司盈利的年增长率; (2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2016 年盈利多少万元? 解: (1) 设该公司每年盈利的年增长率是x. 根据题意,得1 500(1 x) 2 2 160 , 解得 x10.2 ,x2 2.2( 不合题意,舍去) 答:每年盈利的年增长率是20%. 第 5 页 共 6 页 (2)2 160(1 0.2) 23 110.4( 万元 ) 答:预计 2016 年盈利 3 110.4万元 5某农业观 光园计划将一块面积为900 m 2 的园圃分成A,B,
15、C三个区域,分别种植甲、乙、 丙三种花卉,且每平方米栽种甲3 株或乙 6 株或丙 12 株已知B区域面积是 A的 2 倍,设 A区域面积为x(m 2) (1) 求该园圃栽种的花卉总株数y 关于 x 的函数表达式; (2) 若三种花卉共栽种6 600 株,则 A,B,C三个区域的面积分别是多少? (3) 已知三种花卉的单价(都是整数 )之和为 45 元,且差价均不超过10 元,在 (2) 的前提 下,全部栽种共需84 000 元,请写出甲、乙、丙三种花卉中,种植面积最大的花卉总价 解: (1)y 3x12x 12(900 3x) , 即 y 21x10 800. (2) 当 y6 600 时,
16、21x10 800 6 600. 解得 x200. 2x400,9003x300. 答: A区域的面积是200 m 2,B区域的面积是 400 m 2, C区域的面积是 300 m 2 . (3) 种植面积最大的花卉总价为36 000 元 6荔枝是深圳特色水果,小明的妈妈先购买了2 千克桂味和3 千克糯米糍,共花费90 元; 后又购买了1 千克桂味和2 千克糯米糍,共花费55 元 ( 每次两种荔枝的售价都不变) (1) 求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元; (2) 如果还需购买两种荔枝共12 千克,要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍,请 设计一种购买方案,使所需总费用最低 解: (1)
17、设桂味售价为每千克x 元,糯米糍售价为每千克y 元由题意,得 2x3y90, x2y55, 解得 x15, y20. 答:桂味售价为每千克15 元,糯米糍售价为每千克20 元 (2) 设购买桂味t 千克,总费用为W元,则购买糯米糍(12 t) 千克 12t 2t. t 4. W 15t 20(12 t) 5t 240. k 50, W随 t 的增大而减小 当 t 4 时, Wmin220. 答:购买桂味4 千克,糯米糍8 千克时,总费用最少 7一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶,该茶叶的成本价是80 元 /kg ,销售单价不低于120 元/kg. 且不高于180 元/kg ,经销一段时间后得到如下数据: 销售单价x( 元/kg) 120 130 ,180 每天销量 y(kg) 100 95 ,70 设 y 与 x 的关系是我们所学过的某一种函数关系 (1) 直接写出y 与 x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围; (2) 当销售单价为多少时,销售利润最大?最大利润是多少? 解: (1) 由表格可知:销售单价每涨10 元,就少销售5 kg , y 与 x 是一次函数关系 y 与 x 的函数关系式为y1000.5(x 120) 0.5x 160. 销售单价不低于120 元/kg ,且不高于180 元/kg ,
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